बीजगणित प्रश्नोत्तर (The Algebra Q & A)

प्रश्न 1) क्या बहुपद रैखिक होते हैं?

उत्तर – हाँ, बहुपद रैखिक होते हैं और रैखिक बहुपद कहलाते हैं। एक रैखिक बहुपद का मानक रूप ax + b होता है, जहाँ a ≠ 0 है। उदाहरण – 2x + 3, x – 5, 7x, आदि।

प्रश्न 2) क्या बहुपद विभाजन के अंतर्गत संवृत (closed) होते हैं?

उत्तर – नहीं, बहुपद विभाजन के अंतर्गत संवृत नहीं होते हैं, क्योंकि दो बहुपदों के विभाजन में, परिणामस्वरूप, हर बार बहुपद प्राप्त करना आवश्यक नहीं है। उदाहरण – यदि हम x² को x से विभाजित करते हैं तो हमें x प्राप्त होता है लेकिन यदि हम उल्टे क्रम में विभाजित करते हैं अर्थात x को x² से विभाजित करते हैं तो हमें 1/x या x^-1 प्राप्त होता है।

x² / x = x (बहुपद है) लेकिन x / x² = 1/x या x^-1 (बहुपद नहीं है)

प्रश्न 3) क्या बहुपद योग के अंतर्गत संवृत (closed) होते हैं?

उत्तर – हाँ, बहुपद योग के अंतर्गत संवृत (closed) होते हैं क्योंकि जब हम दो या दो से अधिक बहुपद जोड़ते हैं, तो हमें हर बार एक बहुपद प्राप्त होता है। उदाहरण – (1) 8x⁵ + 7x⁵ = 15x⁵ (2) 2x + 3x² = 3x² + 2x

प्रश्न 4) क्या बहुपद घटाव के अंतर्गत संवृत (closed) होते हैं?

उत्तर – हाँ, बहुपद घटाव के अंतर्गत संवृत होते है क्योंकि जब हम एक बहुपद को दूसरे बहुपद में से घटाते हैं, तो हमें हर बार एक बहुपद प्राप्त होता है। उदाहरण – (1) 7x³ – 3x³ = 4x³ (2) 6x – 3x = 3x

प्रश्न 5) क्या बहुपद गुणन के अंतर्गत संवृत (closed) होते हैं?

उत्तर – हाँ, बहुपद गुणन के अंतर्गत होते हैं क्योंकि जब हम दो या दो से अधिक बहुपदों को गुणा करते हैं, तो हमें हर बार एक बहुपद प्राप्त होता है। उदाहरण – (1) x² × 2x² = 2x⁴ (2) 2x × 3x = 6x²

प्रश्न 6) क्या बहुपदों के ऋणात्मक घातांक हो सकते हैं?

उत्तर – नहीं, बहुपद के ऋणात्मक घातांक नहीं हो सकते क्योंकि बहुपद में केवल धनात्मक घातांक या ऋणेतर पूर्णांक हो सकते हैं।

प्रश्न 7) क्या बहुपद में वर्गमूल हो सकते हैं?

उत्तर – नहीं, बहुपदों की परिभाषा के कारण बहुपद के चर वर्गमूल में नहीं हो सकते हैं।

प्रश्न 8) क्या बहुपदों में भिन्न हो सकते हैं?

उत्तर – नहीं, बहुपदों में भिन्नों के रूप में चर नहीं हो सकते।

प्रश्न 9) क्या बहुपद में मूलक (Radicals) हो सकते हैं?

उत्तर – बहुपद के नियमों के अनुसार बहुपद में मूलक नहीं हो सकते।

प्रश्न 10) क्या बहुपदों में अनंतस्पर्शी (Asymptotes) हो सकते हैं?

उत्तर – हाँ, घात 0 (क्षैतिज अनंतस्पर्शी) और घात 1 (तिर्यक अनंतस्पर्शी) वाले बहुपदों में अनंतस्पर्शी होते हैं क्योंकि उनके ग्राफ़ सीधी रेखाएँ होते हैं।

प्रश्न 11) क्या बहुपद के चर घातांक में हो सकते हैं?

उत्तर – नहीं, बहुपदों में चर घातांक में नहीं हो सकते क्योंकि चर घातांक, घातांक फलन में मौजूद होते हैं।

प्रश्न 12) दैनिक जीवन में बहुपदों का प्रयोग किस प्रकार किया जाता है?

उत्तर – गणित और विज्ञान के क्षेत्र में बहुपदों का प्रयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में, बहुपद का उपयोग निर्माण के क्षेत्र में इमारतों और वस्तुओं के मॉडलिंग के रूप में किया जाता है और उद्योगों में उपयोग किया जाता है। बहुपद का उपयोग विपणन, वित्त, स्टॉक आदि के क्षेत्र में भी किया जाता है।

प्रश्न 13) कौन से बहुपद अभाज्य होते हैं?

उत्तर – जिस बहुपद को निम्न घात बहुपद में विभाजित नहीं किया जा सकता है, उसे अभाज्य बहुपद या अलघुकरणीय बहुपद कहा जाता है। उदाहरण – 2x, x² + x + 1, x² – 2, आदि।

प्रश्न 14) कौन से बहुपदों का गुणनखंड नहीं किया जा सकता है?

उत्तर – बहुपद जो अभाज्य हैं या अलघुकरणीय हैं, उनका गुणनखंड नहीं किया जा सकता है।

प्रश्न 15) बहुपद x² + 3x + 2 का मानक रूप क्या है?

उत्तर – बहुपद x² + 3x + 2 का मानक रूप ax² + bx + c है।

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