द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध कक्षा 10 (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial Class 10th)

Dvighaatee Bahupad Ke Shoonyako Aur Gunaanko Ke Beech Sambandh

परिचय

द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial) ज्ञात करने के लिए हम द्विघाती बहुपद के मानक रूप का उपयोग करते है। हम जानते हैं कि द्विघाती बहुपद का मानक रूप f(x) = ax2 + bx + c है।

सूत्र की व्युत्पत्ति

माना α और β इस बहुपद के दो शून्यक हैं। तब (x – α) और (x – β), f(x) के गुणनखंड होंगे।  

इसलिए, अचर k के लिए हम लिख सकते हैं

f(x) = k(x – α) (x – β)

ax2 + bx + c = k{x2 – (α + β)x + αβ}

ax2 + bx + c = kx2 – k(α + β)x + kαβ

तुलना करने पर,     a = k,   b= – k(α + β),   c = kαβ

∵ b= – k(α + β)       और c = kαβ

α + β = b/-k         और       αβ = c/k

∵ a = k                                   

α + β = b/-a या -b/a     और        αβ = c/a

इसलिए, द्विघाती बहुपद f(x) = ax2 + bx + c के लिए,

शून्यको का योग (α + β) = -b/a = -(x का गुणांक)/(x2 का गुणांक)

शून्यको का गुणनफल (αβ) = c/a = (अचर पद)/(x2 का गुणांक)

द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (RELATION BETWEEN ZEROES AND COEFFICIENTS OF A QUADRATIC POLYNOMIAL)

कुछ उदाहरण

उदाहरण -1) द्विघाती बहुपद 3x2 + 5x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध की पुष्टि कीजिए।

हलमान लीजिए f(x) = 3x2 + 5x – 2

अब f(x) = 0

3x2 + 5x – 2 = 0

3x2 + 6x – x – 2 = 0

3x(x + 2) – 1(x + 2) = 0

(x + 2)(3x – 1) = 0

x + 2 = 0     और     3x – 1 = 0

x = – 2       और       x = ⅓

इसलिए, बहुपद f(x) के शून्यक x = – 2 और x = ⅓ है।

अब शून्यकों का योग = – 2 + ⅓ = (-6 + 1)/3 = -5/3 = -(x का गुणांक)/(x2 का गुणांक)

शून्यको का गुणनफल = – 2⨯⅓ = -2/3 = (अचर पद)/(x2 का गुणांक)

अतः द्विघाती बहुपद के शून्यकों और गुणांकों के बीच संबंध सत्यापित होता है। उत्तर

उदाहरण – 2) एक द्विघाती बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः -6 और 5 है।

हल – मान लीजिए α और β एक द्विघाती बहुपद के शून्यक हैं।

किसी अचर k के लिए द्विघाती बहुपद होगा।

k{x2 – (α+β)x + αβ}

प्रश्न में, शून्यकों का योग (α+β) = – 6

शून्यकों का गुणनफल (αβ) = 5

मान रखने पर,

k{x2 – (- 6)x + 5}

k{x2 + 6x + 5}                  

अतः अभीष्ट द्विघाती बहुपद x2 + 6x + 5 है।       उत्तर

उदाहरण – 3) बहुपद f(x) = x3 + 13x2 + 32x + 20 के सभी शून्यक ज्ञात कीजिए, यदि इसका एक शून्यक -2 है।

हल – यहाँ -2 शून्यक है अतः गुणनखंड (x + 2) होगा। यह f(x) का एक गुणनखंड है।

अन्य शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद f(x) को गुणनखंड (x + 2) से भाग देंगे।

विभाजन एल्गोरिथ्म से, भागफल x2 + 11x + 10 इसका गुणनखंड होगा क्योंकि शेषफल 0 है।

अब         भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल

x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯(x2 + 11x + 10) + 0

x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯{ x2 + 10x + x + 10}

x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯{ x(x + 10) + 1(x + 10)}

x3 + 13x2 + 32x + 20 = (x + 2)⨯(x + 10)(x + 1)

शून्यक ज्ञात करने के लिए, f(x) = 0

(x + 2)(x + 10)(x + 1) = 0

x = -2, x = -10 और x = -1

अतः बहुपद f(x) के सभी शून्यक -2, -10 और -1 हैं।       उत्तर

द्विघाती बहुपद के शून्यको और गुणांको के बीच संबंध (Relation Between Zeroes and Coefficients of a Quadratic Polynomial) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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