गुणनखंड विधि कक्षा 10 (Factoring Method Class 10th)

Gunanakhand Vidhi

परिचय

गुणनखंड विधि (Factoring Method) में, हम द्विघात समीकरण का गुणनखंड करते हैं और प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखते हैं और फिर x के मान ज्ञात करते हैं। x के ये मान द्विघात समीकरण के हल हैं और इन्हे द्विघात समीकरण के मूल कहा जाता है।

गुणनखंड विधि (FACTORING METHOD)

इसे निम्नलिखित उदाहरणों से समझा जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण -1) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण x2 + 5x + 6 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल दिया गया समीकरण   x2 + 5x + 6 = 0

चरण (1) मानक रूप ax2 + bx + c = 0 के साथ समीकरण की तुलना करने पर,

a = 1, b = 5, c = 6

हम a×c = 1×6 = 6 और b = 5 लेते हैं

चरण (2) अब हमें ऐसे दो अंकीय मान लेने हैं ताकि उनका योग b अर्थात 5 के बराबर हो और उनका गुणा a×c अर्थात 6 के बराबर हो। इसलिए हम संख्या 2 और 3 लेते हैं।

नोट – यदि दो अंकीय मान ज्ञात करना कठिन है, तो हम a×c पद का गुणनखंड कर सकते हैं और इसे आसानी से प्राप्त करने के लिए युग्म बना सकते हैं।

चरण (3) अब जाँच करने पर,

2+3 = 5 और 2×3 = 6 (ये मान संतुष्ट करते हैं)

चरण (4) अब उपरोक्त योग 2+3 = 5 की सहायता से समीकरण x2 + 5x + 6 के मध्य पद (5x) को तोड़ने पर,

x2 + (2+3)x + 6 = 0

x2 + 2x + 3x + 6 = 0

चरण (5) अब पहले दो पदों और अंतिम दो पदों में से उभयनिष्ठ पद निकालते है।

x(x + 2) + 3(x+2) = 0

(x+2) फिर से उभयनिष्ठ पद है इसलिए,

(x+2) (x+3) = 0

चरण (6) अब प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर,

(x+2) = 0   और    (x+3) = 0

x = -2    और     x = -3 उत्तर

x के दोनों मान दिए गए द्विघात समीकरण के हल हैं और इस समीकरण के मूल कहलाते हैं।

हम दिए गए द्विघात समीकरण में x का मान रखकर अपने उत्तर की जांच कर सकते हैं।

x2 + 5x + 6 = 0

x = -2 पर,    (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0               

4 – 10 + 6 = 0                                       

– 6 + 6 = 0                                                  

0 = 0                                                               

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष                                    

x = -3 पर,     (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0

– 6 + 6 = 0

0 = 0

बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष

दोनों मानों पर, बायाँ पक्ष = दायाँ पक्ष है, इसका अर्थ है कि हमारा उत्तर सही है।

उदाहरण – 2) गुणनखंड विधि द्वारा द्विघात समीकरण 2x2 – 5x + 3 = 0 के मूल ज्ञात कीजिए।

हल – 2x2 – 5x + 3 = 0           यहाँ, a⨯c = 2⨯3 = 6 और b = -5

2x2 – (2+3)x + 3 = 0             दो अंकीय मान -2 और -3 होंगे

2x2 – 2x – 3x + 3 = 0             -2⨯(-3) = 6 और -2 + (-3) = -2 – 3 = -5 

2x(x-1) -3(x-1) = 0

(x-1) (2x-3) = 0

(x-1) = 0   और   (2x-3) = 0

x = 1    और      x = 3/2     

इस प्रकार द्विघात समीकरण 2x2 – 5x + 3 = 0 के मूल x = 1 और x = 3/2 हैं। उत्तर

गुणनखंड विधि (Factoring Method) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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