घात और घातांक कक्षा 8 (Powers and Exponents Class 8th)

परिचय

पिछली कक्षा में हम घातों और घातांकों का अध्ययन कर चुके हैं। हम जानते हैं कि घातांक का उपयोग बड़ी संख्याओं को उपयुक्त और सुविधाजनक रूप में लिखने के लिए होता हैं। बड़ी गणनाओं में, घात और घातांक बहुत महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं। कक्षा 8 में, हम इसके नियमों, तुलना, उपयोग और उदाहरणों की सहायता से घातों और घातांकों (Powers and Exponents Class 8^th) के बारे में अधिक अध्ययन करेंगे।

उदाहरण के लिए – 126000000000 एक बहुत बड़ी संख्या है। हम इस संख्या को 1.26×10¹² जैसे घातांक का उपयोग करके लिख सकते हैं। इस संख्या में, हम 10¹² को दस (10) की घात बारह (12) के रूप में पढ़ते हैं। 10¹² में, संख्या 10 को आधार कहा जाता है और संख्या 12 को घातांक कहा जाता है। जिस स्थान पर घातांक लिखा होता है, उसे घात कहते हैं।

घात में ऋणात्मक घातांक वाली संख्याएँ

सामान्यतः हम किसी संख्या के घात में धनात्मक घातांक लिखते हैं। यदि घातांक ऋणात्मक है तो हम इस प्रकार के घातांकों को कैसे हल कर सकते हैं? आइए कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं।

उदाहरण – 1) 5^-2 का मान क्या है?

हल – हम लिख सकते हैं 5^-2 = 1/5² = 1/25 उत्तर

ऋणात्मक घातांक को हल करने के लिए हम घातांक को हर में ले जाते हैं यदि घातांक अंश में है और यदि घातांक हर में है, तो हम उसे अंश में ले जाते हैं। ऐसा करने से ऋणात्मक घातांक, धनात्मक घातांक में बदल जाता है।

उदाहरण – 2) 1/10^–3, 10^–5, 1/8^–4 को हल करें।

हल – 1/10^–3 = 10³

10^–5 = 1/10⁵

1/8^-4 = 8⁴ उत्तर

उदाहरण – 3) 10⁶, 1/3⁹, 7² को ऋणात्मक घातांक में बदलें।

हल – 10⁶ = 1/10^–6

1/3⁹ = 3^–9

7² = 1/7^-2 उत्तर

नोट – उपरोक्त उदाहरणों से हम कह सकते हैं कि यदि कोई धनात्मक घातांक a^m है तो उसका ऋणात्मक घातांक 1/a^-m होता है या हम कह सकते हैं कि a^m = 1/a^-m। जहाँ a एक शून्येतर पूर्णांक है। a^m, a^-m का गुणनात्मक प्रतिलोम है।

घातांक के नियम

घातांकों को हल करने के लिए कुछ ऐसे नियम हैं जो बहुत उपयोगी हैं। मान लीजिए कि नीचे दिए गए घातांकों के नियमों को सत्यापित करने के लिए दो गैर-शून्य पूर्णांक a और b और दो पूर्णांक m और n हैं।

1) a^m × aⁿ = a^m+n

2) a^m / aⁿ या a^m ÷ aⁿ = a^{m – n}

3) a^m × b^m = (ab)^m

4) a^m / b^m या a^m ÷ b^m = (a/b)^m

5) (a^m)ⁿ = a^mn

6) a⁰ = 1

7) यदि a^m = aⁿ तब m = n

नोट -1) नियम के अनुसार, a⁰ = 1

आइए इस नियम को सिद्ध करें, बायाँ पक्ष = a⁰

= a^1-1 (चूंकि 1 – 1 = 0)

= a^{1 + (-1)}

= a¹ × a^–1 (नियम के विपरीत क्रम a^m × aⁿ = a^m+n का उपयोग करने पर)

= a¹ / a¹

= 1

= दायाँ पक्ष

2) उपरोक्त सभी नियम ऋणात्मक घातांकों के लिए भी प्रयुक्त होते हैं जिन्हें हम उदाहरणों की सहायता से समझेंगे।

कुछ उदाहरण –

उदाहरण 1) 3⁵ × 3³ को हल कीजिये।

हल – नियम a^m × aⁿ = a^m+n का उपयोग करने पर

3⁵ × 3³ = 3⁵⁺³ = 3⁸ उत्तर

उदाहरण 2) घातांकीय रूप में मान ज्ञात कीजिए।

(1) 6^-2 × 6⁷ (2) (-9)⁴ × 2⁴

हल – (1) 6^-2 × 6⁷

नियम a^m × aⁿ = a^m+n का प्रयोग करने पर

6^–2 × 6⁷ = 6^–2+7 = 6⁵

(2) (-9)⁴ × 2⁴

नियम a^m × b^m = (ab)^m का उपयोग करने पर

(-9)⁴ × 2⁴ = (-9 × 2)⁴ = (-18)⁴ उत्तर

उदाहरण 3) 2^–1 / 2³ को सरल कीजिए।

हल – नियम a^m / aⁿ या a^m ÷ aⁿ = a^{m – n} का उपयोग करने पर

2^-1 / 2³ = 2^-1-3 = 2^-4 = 1/2⁴ उत्तर

घातांक का उपयोग

छोटी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए

बड़ी संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए

बहुत छोटी और बहुत बड़ी संख्याओं की तुलना

उदाहरण

घात और घातांक कक्षा 8 (Powers and Exponents Class 8^th) अँग्रेजी में

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