त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग कक्षा 10 (Some Application of Trigonometry Class 10th)

त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग

त्रिकोणमिति के कई अनुप्रयोग (Application of Trigonometry) हैं लेकिन हम उनमें से कुछ का अध्ययन इस भाग में करेंगे। त्रिकोणमिति का उपयोग कई अलग-अलग क्षेत्रों में किया जाता है जैसे कि खगोल विज्ञान, पथ प्रदर्शन, सर्वेक्षण, आवधिक कार्य, प्रकाशिकी, ध्वनिकी और ऊँचाई और दूरी ज्ञात करने में आदि।

ऊँचाई और दूरी

यहां हम वास्तव में उन्हें मापने के बिना विभिन्न वस्तुओं की ऊँचाई और दूरी को ज्ञात करने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करेंगे।

कुछ महत्वपूर्ण पद

1) दृष्टि रेखा (Line of Sight) – प्रेक्षक की आँख से वस्तु के बिंदु तक खींची जाने वाली रेखा को दृष्टि रेखा कहा जाता है।

उपरोक्त आकृति में, प्रेक्षक की आँख बिंदु O पर है और वस्तु बिंदु A पर है तो OA दृष्टि रेखा होगी। OX क्षैतिज रेखा है।

2) उन्नयन कोण (The Angle of Elevation) – जब वस्तु आँख के ऊपर होती है और हम वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को ऊपर उठाते हैं तब दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बने कोण को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसे वस्तु की कोणीय ऊंचाई भी कहा जाता है। इस स्थिति में, वस्तु क्षैतिज रेखा के ऊपर होगी।

∠AOX दृष्टि रेखा OA और क्षैतिज रेखा OX के बीच बना कोण है।

इसलिए, उन्नयन कोण = ∠AOX

3) अवनमन कोण (The Angle of Depression) – जब वस्तु आँख के नीचे होती है और हम वस्तु को देखने के लिए अपने सिर को नीचे करते हैं तब दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच निर्मित कोण को अवनमन कोण कहा जाता है। इस स्थिति में, वस्तु क्षैतिज रेखा से नीचे होगी।

∠BOX दृष्टि रेखा OB और क्षैतिज रेखा OX के बीच बना कोण है।     

इसलिए, अवनमन कोण = ∠BOX

कुछ उदाहरण –

उदाहरण – 1) जमीन पर एक बिंदु से टॉवर के शीर्ष का उन्नयन कोण 45° है और टॉवर के आधार से इस बिंदु की दूरी 60 मीटर है। टॉवर की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

हल –

माना टॉवर AB की ऊंचाई h मीटर है।

दूरी BC = 60 मीटर

उन्नयन कोण ∠ACB = 45°

समकोण त्रिभुज △ABC में,

tan 45° = AB/BC

1 = h/60                                                                                                    

h = 60 मीटर

इसलिए टॉवर AB की ऊंचाई 60 मीटर है।        उत्तर

नोट – उपरोक्त उदाहरण में, समकोण त्रिभुज में लंब भुजा और आधार भुजा का उपयोग किया गया है, इसलिए हमने त्रिकोणमितीय फलन tan ϴ का उपयोग किया हैं। cot ϴ का भी उपयोग किया जा सकता है। इसी तरह सभी प्रश्न हल होंगे।

उदाहरण – 2) एक ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊंचाई उसकी छाया के बराबर है। सूर्य का उन्नयन कोण ज्ञात कीजिए।

हल –

माना सूर्य का उन्नयन कोण ϴ है।

AC एक ऊर्ध्वाधर खंभा है और BC इसकी छाया है।

प्रश्न के अनुसार,

ऊर्ध्वाधर खंभे की ऊँचाई (AC) = छाया की लंबाई (BC)         

△ABC में,

tan ϴ = AC/BC

tan ϴ = AC/AC = 1               [∵ tan 45° = 1]        

tan ϴ = tan 45°         

      ϴ = 45°

अतः सूर्य का उन्नयन कोण 45° है।          उत्तर 

उदाहरण – 3) 10 मीटर ऊंचे टॉवर के शीर्ष से, जमीन पर एक बिंदु का अवनमन कोण 60° है। टॉवर के आधार से बिंदु की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल –

यहां, टॉवर की ऊँचाई PQ  = 10 मीटर

हमें दूरी QR ज्ञात करनी है।  

PS एक क्षैतिज रेखा है क्योंकि अवनमन कोण, टॉवर के शीर्ष से दिया गया है।

∠SPR = ∠PRQ = 60° (एकान्तर कोण)           

△PQR में,

tan 60° = PQ/QR

√3 = 10/QR

QR = 10/√3     

QR = (10/√3)⨯(√3/√3)      (परिमेयकरण करने पर)

QR = 10√3/3 = 3.33⨯1.732               [∵ √3 = 1.732]

QR = 5.767 मीटर

इस प्रकार टॉवर के आधार से बिंदु की दूरी 5.767 मीटर है।         उत्तर

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