त्रिभुजों की समरूपता कक्षा 10 (Similarity of Triangles Class 10th)

परिचय

त्रिभुज किस प्रकार की आकृति है, हम इसके और इसके गुणों के बारे में अच्छी तरह से जानते हैं। हमने विभिन्न त्रिभुजों और उनसे संबंधित पदों का अध्ययन किया है जैसे कि एक विषमबाहु त्रिभुज, समद्विबाहु त्रिभुज, समबाहु त्रिभुज, त्रिभुज का क्षेत्रफल, त्रिभुज का परिमाप, त्रिभुज की माध्यिका, त्रिभुज का शीर्षलम्ब आदि। पिछली कक्षा में, हमने त्रिभुजों की सर्वांगसमता और त्रिभुजों की सर्वांगसमता की विभिन्न कसौटियाँ का भी अध्ययन किया। सर्वांगसमता के अनुसार, दो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं यदि उनके आकार और माप समान हों। सर्वांगसम त्रिभुज एक दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब होते हैं। इस कक्षा में, हम विभिन्न प्रकार के उदाहरणों की सहायता से त्रिभुजों की समरूपता (Similarity of Triangles), समरूपता की कसौटियाँ, समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म और क्षेत्रफलों का अध्ययन करेंगे।

समरूप आकृतियाँ

समरूप आकृतियाँ वे आकृतियाँ होती हैं जिनका आकार समान होता है लेकिन माप समान नहीं होता है। समान आकार वाली दो आकृतियाँ समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं। समरूप आकृतियों में, समान माप का होना आवश्यक नहीं है। आइए कुछ आकृतियों की मदद से समझते हैं।

आकृति (i) में, विभिन्न मापों की हीरे की आकृतियाँ खींची गई हैं। क्या सभी हीरे सर्वांगसम हैं? सभी हीरे सर्वांगसम नहीं हैं लेकिन उनमें से कुछ (आकृतियाँ 2 और 3) समान माप के कारण सर्वांगसम हैं। सभी हीरे समान आकार के हैं इसलिए सभी समरूप आकृतियाँ हैं।

इसी प्रकार, आकृति (ii) और आकृति (iii) में, सभी वृत्त और सभी त्रिभुज समान आकार के कारण समरूप आकृतियाँ हैं। आकृति (ii) और आकृति (iii) दोनों में, कुछ वृत्त (आकृतियाँ 2 और 4) और कुछ त्रिभुज (आकृतियाँ 1 और 3) समान माप के कारण सर्वांगसम हैं।

उपरोक्त आकृतियों से, हम कह सकते हैं कि सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती हैं लेकिन सभी समरूप आकृतियाँ आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं होती हैं।

नोट – एक बात का भी ध्यान रखना चाहिए कि केवल एक ही प्रकार की आकृतियाँ समान हो सकती हैं, विभिन्न प्रकार की आकृतियाँ नहीं। इसका अर्थ है कि एक वृत्त दूसरे वृत्त के समरूप हो सकता है और एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज के समरूप हो सकता है। एक वृत्त एक त्रिभुज के समरूप नहीं हो सकता क्योंकि दोनों अलग-अलग प्रकार की आकृतियाँ हैं।

क्या होता है जब दो आकृतियाँ एक जैसी दिखती हैं लेकिन हम उनके बारे में निश्चित नहीं हो सकते। इसलिए, हमें यह सुनिश्चित करने के लिए और नियम बनाने के लिए कुछ शर्तों या परिभाषा की आवश्यकता है कि दी गई दो आकृतियाँ समरूप हैं या नहीं। आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

जैसा कि हम देख सकते हैं कि चतुर्भुज ABCD और PQRS समान दिखते हैं लेकिन उनके बीच कुछ अनिश्चितता है। इस स्थिति में, यदि हमारे पास चतुर्भुज ABCD की प्रत्येक भुजा का माप है और हम प्रत्येक भुजा को एक निश्चित माप से बढ़ाते हैं। तब चतुर्भुज ABCD की प्रत्येक भुजा और चतुर्भुज PQRS की प्रत्येक संगत भुजा का अनुपात बराबर होगा। आइए उपरोक्त आकृतियों की सहायता से इसे स्पष्ट रूप से समझते हैं।

आकृतियों के अनुसार, चतुर्भुज ABCD और PQRS में, हम संगत भुजाओं की माप लिखते हैं।

AB = 1.5 सेमी और PQ = 3 सेमी

BC = 2 सेमी और QR = 4 सेमी

CD = 2.5 सेमी और RS = 5 सेमी

DA = 1.6 सेमी और SP = 3.2 सेमी

अब, संगत भुजाओं का अनुपात लेने पर,

AB/PQ = 1.5/3 = ½

BC/QR = 2/4 = ½

CD/RS = 2.5/5 = ½

DA/SP = 1.6/3.2 = ½

या हम लिख सकते हैं, AB/PQ = BC/QR = CD/RS = DA/SP = ½

इस उदाहरण की सहायता से हम समझ सकते हैं कि दोनों चतुर्भुजों ABCD और PQRS में संगत भुजाओं का अनुपात बराबर है। इसका अर्थ है कि चतुर्भुज ABCD की प्रत्येक भुजा को समान माप से बढ़ाया गया है। अतः दोनों चतुर्भुज भुजाओं के आधार पर समरूप हैं। लेकिन उनके कोणों का क्या? क्या दोनों चतुर्भुज ABCD और PQRS के कोण बराबर हैं? दोनों चतुर्भुजों के कोण समान होने चाहिए अन्यथा वे समान आकार के नहीं होंगे और समरूप नहीं होंगे।

कोण गुणधर्म के अनुसार, दो रेखा खंडों के बीच का कोण उनके झुकाव पर निर्भर करता है, न कि उनके माप पर। उपरोक्त चतुर्भुज ABCD और PQRS के लिए भी यही गुणधर्म यहाँ लागू होता है। अत: दोनों चतुर्भुजों के सभी संगत कोण बराबर होंगे।

चतुर्भुज ABCD और PQRS में समान संगत कोण इस प्रकार हैं।

∠A = ∠P = 95°

∠B = ∠Q = 110°

∠C = ∠R = 85°

∠D = ∠S = 70°

समरूपता की परिभाषा

उपरोक्त विस्तृत व्याख्या हमें समरूपता की परिभाषा बताने में मदद करती है। त्रिभुज, चतुर्भुज, आदि बहुभुज के प्रकार हैं इसलिए परिभाषा दो बहुभुजों के लिए है। समान भुजाओं वाले दो बहुभुज समरूप कहलाते हैं यदि उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हों और उनके संगत कोण बराबर हों।

समरूपता के लिए शर्त

परिभाषा के अनुसार, समान भुजाओं वाले बहुभुज की समरूपता के लिए दो शर्तें हैं। दो शर्तें इस प्रकार हैं-

1) दोनों बहुभुजों के संगत कोण बराबर होने चाहिए।

2) दोनों बहुभुजों की संगत भुजाएँ समान अनुपात में होनी चाहिए।

बहुभुज की समरूपता के लिए दोनों शर्तें महत्वपूर्ण और अनिवार्य हैं। दो बहुभुजों की समरूपता की दो स्थितियों 1) और 2) में से कोई एक भी उनके समरूप होने के लिए पर्याप्त नहीं है।

यदि दो बहुभुज हैं और उनकी संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं लेकिन संगत कोण समान नहीं हैं तो वे समरूप नहीं हैं। इसी प्रकार, यदि उनके संगत कोण बराबर हों लेकिन संगत भुजाएँ समान अनुपात में न हों तो वे भी समरूप नहीं होते हैं।

नोट – यदि दो समरूप बहुभुज हैं और तीसरा बहुभुज भी उनमें से एक के समरूप है तो तीनों बहुभुज एक दूसरे के समरूप होते हैं।