पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 10 (Surface Area and Volume Class 10th)

परिचय

हम घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोले आदि जैसी ठोस आकृतियों या त्रिविमीय (3D) आकृतियों से परिचित हैं। हमने पिछली कक्षाओं में इन आकृतियों और उनके गुणों का अध्ययन किया है। कक्षा 9वीं में, हमने पृष्ठीय क्षेत्रफलों की मूल बातें और ठोस आकृतियों के आयतनों का अध्ययन किया। हम ठोस आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों और आयतनों (Surface Area and Volume) से संबंधित सभी सूत्र जानते हैं। इस कक्षा में, हम और अधिक अध्ययन करेंगे और ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन, एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में परिवर्तन, शंकु के छिन्नक आदि का पता लगाएंगे। इस अध्याय के मुख्य भाग को शुरू करने से पहले, हम एक-एक करके ठोस आकृतियों और उनके सूत्रों को याद करते हैं जिनका हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं।

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) क्या हैं?

ठोस आकृतियों के कुल सतह का क्षेत्रफल पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में जाना जाता है। ठोस आकृतियों द्वारा घेरे गए स्थान की माप को आयतन कहते हैं।

घन

घन एक ठोस आकृति है जिसमें 6 फलक, 8 शीर्ष और 12 किनारे होते हैं। सभी फलक और किनारे समान माप के होते हैं। घन का प्रत्येक फलक एक वर्ग के आकार का होता है।

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a²

घन का आयतन = a³

जहाँ, a = घन का प्रत्येक किनारा (कोर)।

नोट – कभी-कभी घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल को कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल भी कहा जाता है।

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

एक घन की नीचे और ऊपर की सतहों के अलावा शेष बची सतह पार्श्व सतह होती है। इसका मतलब है कि पार्श्व सतह में केवल चार सतहें होंगी। इन चारों सतहों के क्षेत्रफल को घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कहते हैं।

घन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a²

घन का विकर्ण

घन में विपरीत (सम्मुख) शीर्षों के बीच की दूरी को घन के विकर्ण के रूप में जाना जाता है। यह दूरी घन के अंदर की अधिकतम दूरी होती है।

घन का विकर्ण = a√3

नोट – घन के विकर्ण को दूरी के मात्रक में मापा जाता है।

घनाभ

घनाभ एक ठोस आकृति है जिसमें 6 फलक, 8 शीर्ष और 12 किनारे होते हैं। घनाभ के विपरीत फलक समान माप के होते हैं। घनाभ का प्रत्येक फलक एक आयत के आकार का होता है।

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2lb + 2bh + 2hl = 2(lb + bh + hl)

घनाभ का आयतन = l×b×h

जहाँ, l, b, और h = घनाभ के तीन किनारे (लम्बाई, चौड़ाई, और ऊँचाई)।

घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

घनाभ की ऊपरी और निचली सतहों के अलावा, शेष सतहें पार्श्व सतह होती हैं। इसका मतलब है कि पार्श्व सतह में केवल चार सतहें होंगी। इन चारों सतहों का क्षेत्रफल घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है। नीचे और ऊपर की सतहों में, लंबाई (l) और चौड़ाई (b) किनारों के माप होते हैं इसलिए हम पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल में 2lb पद का उपयोग नहीं करेंगे।

घनाभ का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2lh + 2bh = 2(lh + bh)

घनाभ का विकर्ण

घनाभ में विपरीत शीर्षों के बीच की दूरी को घनाभ का विकर्ण कहते हैं। यह दूरी घनाभ के अंदर की अधिकतम दूरी होती है।

घन का विकर्ण = √(l² + b² + h²)

नोट – घनाभ के विकर्ण को दूरी के मात्रक में मापा जाता है।

बेलन

बेलन को लम्ब वृत्तीय बेलन के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि यह कई वृत्ताकार भागों से बना होता है और इन भागों को समकोण पर उर्ध्वाधर रखा जाता है।

बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

एक बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)

बेलन का आयतन = πr²h

जहाँ, r = वृत्ताकार भाग की त्रिज्या

h = बेलन की ऊंचाई

नोट – लम्ब वृत्तीय बेलन के स्थान पर सामान्यतः हम बेलन शब्द का प्रयोग करते हैं।

शंकु

शंकु को लंब वृत्तीय शंकु के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि इसका आधार एक वृत्ताकार भाग है और इसके शीर्ष को इसके आधार के केंद्र से मिलाने वाली रेखा समकोण पर स्थित होती है।

शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl + πr² = πr(l + r)

शंकु का आयतन = 1/3 (πr²h) = πr²h/3

जहाँ, r = वृत्ताकार आधार की त्रिज्या

l = शंकु की तिर्यक ऊँचाई

h = शंकु की ऊँचाई

शंकु की तिर्यक (तिरछी) ऊँचाई

जब हम शंकु के वृत्ताकार आधार की त्रिज्या खींचते हैं और इस वृत्ताकार आधार के केंद्र को शंकु के शीर्ष से मिलाते हैं तो हमें एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता है। इस समकोण त्रिभुज की कर्ण भुजा शंकु की तिर्यक ऊँचाई कहलाती है। पाइथागोरस प्रमेय का समकोण त्रिभुज में उपयोग करके हम तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कर सकते हैं।

शंकु की तिर्यक ऊँचाई (l) = √(h² + r²)  

गोला

गोला एक वृत्त का त्रिविमीय (3D) रूप है। यदि हम एक वृत्त के केंद्र से होते हुए एक अक्ष स्थापित करते हैं और उस अक्ष के सापेक्ष वृत्त को घुमाते हैं तो हमें एक ठोस आकार मिलता है। उस ठोस आकार को गोला कहा जाता है। गोला एक गेंद के समान होता है।

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

गोले का आयतन = 4/3 (πr³) = 4πr³/3

जहाँ, r = गोले की त्रिज्या

अर्ध गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

यदि हम एक गोले को दो बराबर भागों में बाँटें तो प्रत्येक भाग गोले का आधा होता है। प्रत्येक बराबर भाग को अर्ध गोला कहा जाता है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = ½ (4πr²) = 2πr²

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल का आधा + वृत्त का क्षेत्रफल

अर्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr² + πr² = 3πr²

अर्धगोले का आयतन = गोले के आयतन का आधा

अर्धगोले का आयतन = ½ (4πr³/3) = 2/3 (πr³) = 2πr³/3

जहाँ, r = अर्धगोले की त्रिज्या

नोट – पृष्ठीय क्षेत्रफल को वर्ग इकाई में तथा आयतन को घन इकाई में मापा जाता है।

गोलाकार खोल का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

ठोसों के संयोजन का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

एक ठोस का एक आकार से दूसरे आकार में रूपांतरण

शंकु का छिन्नक

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 10 (Surface Area and Volume Class 10th) अँग्रेजी में

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (Surface Area and Volume) के बारे में अधिक जानकारी