पूर्णांक संख्याएँ कक्षा 6 (Integer Class 6th)

Poornaank Sankhyaen Kaksha 6

परिचय

संख्या प्रणाली में हमने प्राकृत संख्याओं और पूर्ण संख्याओं का अध्ययन किया है। अब हम ऋणात्मक संख्याओं का भी अध्ययन करेंगे। हम जानते हैं कि शून्य (0)  सहित पूर्ण संख्याएँ धनात्मक संख्याएँ होती हैं। यदि हम धनात्मक संख्याओं, ऋणात्मक संख्याओं और शून्य (0) को एक साथ रख दें, तो इस प्रकार की संख्याओं के संग्रह को पूर्णांक संख्याएँ (Integer Class 6^th) कहते हैं।

……… -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ………

परिभाषा

पूर्ण संख्याएँ और ऋणात्मक संख्याएँ मिलकर पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं।

या

शून्य सहित सभी धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं।

पूर्णांक संख्याओं को Z द्वारा निरूपित किया जाता है। पूर्णांक संख्याओं में धनात्मक संख्याएँ, धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं और ऋणात्मक संख्याएँ, ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं। धनात्मक पूर्णांक संख्याओं को Z⁺ से और ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं को Z^– से प्रदर्शित किया जाता है।

पूर्णांक संख्याएँ Z = {……. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 …….}

धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ Z⁺ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 ………….}

ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ Z^– = {-1, -2, -3, -4, -5, -6 …………}

महत्वपूर्ण बिंदु

• पूर्णांक संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
• पूर्णांक संख्याओं में प्राकृत संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ शामिल होती हैं।
• 0 न तो ऋणात्मक पूर्णांक संख्या है और न ही धनात्मक पूर्णांक संख्या है, यह उदासीन है।
• पूर्णांक संख्याओं में भिन्न और दशमलव संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं। जैसे 7/9, 5.6 आदि।

पूर्णांक संख्याओं के पूर्ववर्ती और परवर्ती

पूर्ववर्ती – यदि हम किसी संख्या में से 1 घटाते हैं, तो हमें उस संख्या का पूर्ववर्ती प्राप्त होता है। पूर्णांकों के लिए, प्रत्येक संख्या का अपना पूर्ववर्ती होता है।

उदाहरण – 2 का पूर्ववर्ती = 2 – 1 = 1

-11 का पूर्ववर्ती = -11 – 1 = -12

परवर्ती – किसी भी संख्या में 1 जोड़ने पर हमें उस संख्या का परवर्ती प्राप्त होता है। पूर्णांकों के लिए, प्रत्येक संख्या का अपना परवर्ती होता है।

उदाहरण – 0 का परवर्ती = 0 + 1 = 1

-56 का परवर्ती = -56 + 1 = -55

संख्या रेखा पर पूर्णांक संख्याएँ

यदि हम एक रेखा खींचते हैं और उस पर 0 अंकित करते हैं तो शून्य (0) के दाईं ओर धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ अंकित होती हैं और शून्य (0) के बाईं ओर ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ अंकित होती हैं। यह रेखा पूर्णांक संख्याओं की संख्या रेखा है।

संख्या रेखा पर पूर्णांक संख्याओं का निरूपण

किसी संख्या को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए पहले हम धनात्मक और ऋणात्मक दोनों पूर्णांक संख्याओं वाली संख्या रेखा खींचते हैं। फिर उस संख्या के चिन्ह के अनुसार हम उस संख्या को या तो दायीं ओर या बायीं ओर निरूपित करते हैं। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – संख्या रेखा पर 8 और -5 को निरूपित कीजिये।

हल – 8 = धनात्मक पूर्णांक संख्या = शून्य (0) के दायी ओर

–5 = ऋणात्मक पूर्णांक संख्या = शून्य (0) के बाईं ओर

8 को निरूपित करने के लिए, एक धनात्मक पूर्णांक संख्या होने के कारण, हम शून्य के दाईं ओर 8 कदम चलते हैं, और -5 को निरूपित करने के लिए, एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या होने के कारण, हम शून्य के बाईं ओर 5 कदम चलते हैं।

संख्या रेखा पर पूर्णांक संख्याओं का योग

1) यदि हमें दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं को जोड़ना है तो वह दो पूर्ण संख्याओं के योग के समान है। दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं के योग का परिणाम दोनों पूर्णांक संख्याओं के दाईं ओर होगा। आइए एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं।

पूर्णांक संख्याओं 3 और 4 का जोड़

3 और 4 को जोड़ने के लिए, पहले हम 0 से दायीं ओर 3 कदम चलते हैं और संख्या 3 पर पहुँचते हैं। संख्या 3 से हम फिर से 4 कदम दायीं ओर चलते हैं और हम संख्या 7 पर पहुँचते हैं। इसलिए, जोड़ 7 है।

3 + 4 = 7

2) यदि हमें दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं को जोड़ना है तो परिणाम दोनों पूर्णांक संख्याओं के बाईं ओर होगा।

-2 और -3 का जोड़

-2 और -3 को जोड़ने के लिए, पहले हम 0 से 2 कदम बाईं ओर चलते हैं और संख्या -2 पर पहुँचते हैं। -2 से हम फिर से बाईं ओर 3 कदम चलते हैं और संख्या -5 पर पहुँचते हैं। अतः योग -5 है।

-2 + (-3) = -5

3) यदि हमें एक धनात्मक पूर्णांक संख्या और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या को जोड़ना है तो एक धनात्मक पूर्णांक संख्या के लिए हम दाईं ओर जाते हैं और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या के लिए, हम बाईं ओर जाते हैं।

-1 और 4 का जोड़

-1 और 4 को जोड़ने के लिए, पहले हम 0 से बाईं ओर 1 कदम चलते हैं और -1 पर पहुँचते हैं। -1 से हम फिर से 4 कदम दाहिनी ओर बढ़ते हैं और संख्या 3 पर पहुँचते हैं। इसलिए, योग 3 है।

-1 + 4 = 3

5 और -7 का जोड़

5 और -7 को जोड़ने के लिए, सबसे पहले हम 0 से दायीं ओर 5 कदम चलते हैं और 5 पर पहुँचते हैं। 5 से हम 7 कदम बायीं ओर बढ़ते हैं और संख्या -2 पर पहुँचते हैं। अतः योग -2 है।

5 + (-7) = -2 

-4 और 4 का जोड़

-4 और 4 को जोड़ने के लिए, पहले हम 0 से बाईं ओर 4 कदम चलते हैं, और फिर -4 से हम फिर से दाईं ओर 4 कदम चलते हैं और संख्या 0 पर पहुँचते हैं। इसलिए, जोड़ 0 है।

इसका अर्थ है कि भिन्न चिह्न वाली समान संख्याओ का योग हमेशा 0 होता है। इस प्रकार की संख्याओं को एक दूसरे का योगात्मक प्रतिलोम कहते हैं।

संख्या रेखा पर पूर्णांक संख्याओं का घटाव

एक पूर्णांक संख्या को दूसरी पूर्णांक संख्या में से घटाने के लिए, घटायी जाने वाली पूर्णांक संख्या का योगात्मक प्रतिलोम दूसरी संख्या में जोड़ा जाता है। दूसरी संख्या में योगात्मक प्रतिलोम का योग, दो पूर्णांक संख्याओं के योग के समान ही होता है।आइए कुछ उदाहरण लेते हैं।

1) 7 में से 3 का घटाव

3 का योगात्मक प्रतिलोम = -3     

अब 7 + (-3) = 4

2) 6 में से -2 का घटाव

-2 का योगात्मक प्रतिलोम = 2    

अब 6 + 2 = 8

3) -3 में से 4 का घटाव

4 का योगात्मक प्रतिलोम = -4    

अब -3 + (-4) = -7

4) -2 में से -1 का घटाव

-1 का योगात्मक प्रतिलोम  = 1     

अब -2 + 1 = -1

पूर्णांक संख्याओं पर संक्रियाएँ

पूर्णांक संख्याओं का योग

1) दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का योग – दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं का योग दो पूर्ण संख्याओं के योग के समान होता है। जब हम दो धनात्मक पूर्णांक संख्याओं को जोड़ते हैं तो परिणाम हमेशा एक बड़ा धनात्मक पूर्णांक संख्या होती है।

उदाहरण – 1) 4 + 5 = 9

2) 1 + 6 = 7

2) दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं का योग – दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं के योग में, हम केवल दोनों संख्याओं को जोड़ते हैं लेकिन ऋणात्मक चिह्न (-) के साथ। जब हम दो ऋणात्मक पूर्णांक संख्याओं को जोड़ते हैं तो परिणाम हमेशा एक छोटा ऋणात्मक पूर्णांक संख्या होती है।

उदाहरण – 1) -2 + (-3) = -(2 + 3) = -5

2) -9 + (-7) = -(9 + 7) = -16

3) एक धनात्मक पूर्णांक संख्या और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या का योग – एक धनात्मक पूर्णांक संख्या और एक ऋणात्मक पूर्णांक संख्या के योग में, हम आम तौर पर छोटी संख्या को बड़ी संख्या में से घटाते हैं और परिणाम में, हम बड़ी संख्या का चिह्न लगाते हैं।

उदाहरण – 1) -8 + 5 = -(8 – 5) = -3 (बड़ी संख्या 8 है इसलिए हम परिणाम में – लगाते हैं)

2) +10 – 3 = +(10 – 3) = +7 (बड़ी संख्या 10 है इसलिए हम परिणाम में + लगाते हैं)

3) -2 + 9 = +(9 – 2) = +7 (बड़ी संख्या 9 है इसलिए हम परिणाम में + लगाते हैं)

पूर्णांक संख्याएँ कक्षा 6 (Integer Class 6^th) अँग्रेजी में

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