प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th)

परिचय

गणित में कई शाखाएँ होती हैं और इन सब में प्रायिकता (The Probability) एक बहुत ही रोचक शाखा है। कक्षा 9वीं में, हमने वास्तविक जीवन के प्रयोगों के आधार पर प्रायिकता का अध्ययन किया है जिसे प्रायोगिक प्रायिकता के रूप में जाना जाता है। हमने देखा कि वास्तविक जीवन के प्रयोग सैद्धान्तिक प्रायिकता प्राप्त करने में सहायक होते हैं। कक्षा 10वीं में हम सैद्धान्तिक प्रायिकता का अध्ययन करेंगे जो बिना प्रयोग किए प्रायिकता के आधार पर समस्याओं को हल करने में बहुत सहायक होती है।

परिभाषा

किसी भी घटना के घटित होने की संभावना को प्रायिकता के रूप में जाना जाता है। जब कोई घटना घटित होती है, तो अनुकूल परिणामों की संभावनाएँ प्रायिकता का मान होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्के को उछालते हैं तो चित और पट आने की संभावना बराबर होती है। सिक्का उछालना एक प्रयोग है और चित या पट के आने की संभावना क्रमशः चित या पट के आने की प्रायिकता है। एक चित और एक पट प्राप्त करना इस प्रयोग की घटनाएँ हैं।

प्रायिकता का सूत्र (Formula of the Probability)

किसी भी घटना की प्रायिकता का सूत्र इस प्रकार दिया जाता है:

प्रायिकता = अनुकूल परिणामों की संख्या/संभावित परिणामों की कुल संख्या

किसी घटना A के लिए, उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

घटना A की प्रायिकता, P (A) = घटना A के अनुकूल परिणामों की संख्या / घटना A के परिणामों की कुल संख्या

नोट – उपरोक्त सूत्र केवल सैद्धान्तिक प्रायिकता ज्ञात करने में सहायक है जिसे पारंपरिक प्रायिकता भी कहते हैं।

व्याख्या

प्रायिकता में, प्रत्येक प्रयोग के परिणामों को आदर्श स्थिति में समान माना जाता है। लेकिन व्यावहारिक रूप से हर प्रयोग के परिणाम समान नहीं होते हैं। यदि हम एक सिक्के को समतल सतह पर उछालते हैं तो परिणाम एक चित या एक पट होगा लेकिन यदि हम एक सिक्के को रेत पर उछालते हैं तो परिणाम समान नहीं होंगे क्योंकि सिक्का इसके किनारे के अनुदिश गिर सकता है। इस स्थिति में, तीन परिणाम होंगे लेकिन हम उन पर विचार नहीं करते हैं और आदर्श स्थिति के लिए केवल दो समान परिणामों (चित या पट) पर विचार करते हैं।

इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए हम एक और उदाहरण लेते हैं। एक बॉक्स है और बॉक्स में 5 पेंसिल और 2 पेन हैं और हमें एक पेंसिल या एक पेन निकालने की प्रायिकता ज्ञात करनी है। चूँकि बॉक्स में 5 पेंसिल और 2 पेन हैं इसलिए पेंसिल मिलने की संभावना पेन मिलने से ज्यादा है। इसका मतलब है कि इस प्रयोग के परिणाम समान नहीं हैं।

यह देखते हुए कि सभी प्रयोगों के परिणाम हमेशा समान नहीं होते हैं, इस कक्षा में, हम मान लेंगे कि सभी प्रयोगों के समान परिणाम हैं।

उदाहरण – एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल – इस उदाहरण में, एक सिक्के को एक बार उछाला जाता है, इसलिए दो संभावित परिणाम होंगे चित या पट। मान लीजिए A चित आने की घटना है।

एक सिक्के को एक बार उछालने पर चित आने का परिणाम 1 होता है। इसका अर्थ है कि घटना A के अनुकूल परिणाम 1 है और कुल संभावित परिणाम 2 हैं।

इसलिए,

घटना A की प्रायिकता, P(A) = अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

P(A) = ½         उत्तर

नोट -1) उपरोक्त उदाहरण में, एक पट प्राप्त करने की संभावना भी ½ होगी क्योंकि पट प्राप्त करने का अनुकूल परिणाम भी 1 है। माना B पट प्राप्त करने की घटना है। तब

P(A) = ½ और P(B) = ½

अब दोनों प्रायिकताओं को जोड़ने पर, P(A) + P(B) = ½ + ½ = 1

उपरोक्त व्यंजक से हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसी प्रयोग की सभी घटनाओं की प्रायिकताओं का योग 1 होता है।

2) उपरोक्त उदाहरण में, हमने एक चित आने की प्रायिकता ज्ञात की है लेकिन हम यह भी कह सकते हैं कि हमने पट न मिलने की प्रायिकता ज्ञात की है। दोनों प्रायिकताएँ समान हैं। A एक चित आने की घटना है और माना A एक पट न आने की घटना है।

इसलिए, दो समान घटनाएँ P(A) और P(A`) हैं। दोनों घटनाओं को जोड़ने पर,

P(A) + P(A`) = ½ + ½ = 1

जहाँ, P(A) = चित आने की प्रायिकता

P(A`) = पट न आने की प्रायिकता

सामान्य तौर पर, एक घटना E के लिए, हम लिख सकते हैं, P(E) + P(E`) = 1

जहाँ, P(E) = घटना E की प्रायिकता

P(E`) = घटना E की नहीं प्रायिकता

हम यह भी लिख सकते हैं, P(E) = 1 – P(E`) या P(E`) = 1 – P(E)

3) घटना E`, घटना E की पूरक है इसलिए घटना E और घटना E` को पूरक घटना (Complementary Event) कहा जाता है।

प्रायिकता से संबंधित पद (Terms Related to the Probability)

प्रयोग (Experiment) – प्रायिकता ज्ञात करने के लिए कार्य करना एक प्रयोग (Experiment) है। जैसे- एक सिक्का उछालना, पासा फेंकना, डिब्बे में से कोई वस्तु निकालना प्रयोग हैं।

घटना (Event) – किसी प्रयोग के परिणाम को घटना (Event) कहते हैं। उदाहरण के लिए – पासे को फेंकने के बाद कोई संख्या प्राप्त करना एक घटना है।

असंभव घटना (Impossible Event) – यदि किसी घटना की प्रायिकता 0 है तो वह असंभव घटना (Impossible Event) कहलाती है। इस प्रकार की घटना का घटित होना असंभव है।

उदाहरण – एक लकड़ी के बक्से में, 3 नीली गेंदें और 2 लाल गेंदें हैं। एक काली गेंद आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल – मान लीजिए कि एक काली गेंद प्राप्त होने की घटना A है, लेकिन जैसा कि हम देख सकते हैं कि लकड़ी के बक्से में केवल 3 नीली गेंदें और 2 लाल गेंदें हैं। इसमें कोई काली गेंद नहीं है।

अतः अनुकूल परिणामों की संख्या 0 होगी और संभावित परिणामों की कुल संख्या 3 + 2 = 5 है।

इसलिए,

एक काली गेंद मिलने की प्रायिकता, P(A) = अनुकूल परिणामों की संख्या / कुल संभावित परिणाम

P(A) = 0/5

P(A) = 0

यह एक असंभव घटना का उदाहरण है।          उत्तर

निश्चित घटना (Certain Event) – यदि किसी घटना की प्रायिकता 1 है तो वह घटना निश्चित घटना (Certain Event) कहलाती है। निश्चित घटना को Sure event भी कहा जाता है।

उदाहरण – एक पासे को एक बार फेंकने पर 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल – हम जानते हैं कि एक पासे के फलक पर अंकित अंक 1, 2, 3, 4, 5 और 6 हैं। हमें 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है और पासे के फलक पर प्रत्येक अंक 0 से बड़ा और 7 से छोटा है। इसलिए, पासे के फलक पर प्रत्येक संख्या अनुकूल परिणाम है और 6 संख्याएँ हैं इसलिए 6 अनुकूल परिणाम होंगे।

मान लीजिए B, 0 से बड़ी और 7 से छोटी संख्या प्राप्त करने की घटना है और कुल परिणाम भी 6 हैं।

इसलिए, प्रायिकता P(B) = 6/6 = 1

यह एक निश्चित घटना का उदाहरण है।          उत्तर

नोट -1) उपरोक्त उदाहरणों से हम समझ सकते हैं कि प्रायिकता का न्यूनतम मान 0 हो सकता है और प्रायिकता का अधिकतम मान 1 हो सकता है। इसका अर्थ है कि किसी घटना E के लिए प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है या हम लिख सकते हैं 0 ≤ P(E) ≤ 1

2) क्योंकि प्रायिकता का मान 0 और 1 के बीच होता है इसलिए प्रायिकता के सूत्र में अंश (किसी घटना के अनुकूल परिणामों की संख्या) हमेशा हर (संभावित परिणामों की कुल संख्या) से कम या उसके बराबर होता है।

कुछ उदाहरण

प्रायिकता कक्षा 10 (Probability Class 10th) अँग्रेजी में

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