यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय कक्षा 9 (Introduction to Euclid’s Geometry Class 9th)

यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय (Introduction to Euclid’s Geometry) जानने से पहले हम यह जान लेते है कि शब्द ‘ज्यामिति’ (Geometry) एक ग्रीक शब्द है और दो शब्दों से बना है, ‘जियो’ (geo) जिसका अर्थ है ‘पृथ्वी’ या ‘भूमि’ और ‘मीट्रीन’ (metrein) का अर्थ है ‘मापना’।
मिस्र के गणितज्ञ यूक्लिड, जो मिस्र में अलेक्जेंड्रिया में गणित के शिक्षक थे, ने ‘एलिमेंट्स‘ (Elements) नामक अपने प्रसिद्ध ग्रंथ की खोज की।
‘एलिमेंट्स’ उस समय तक ज्ञात गणित के सभी ज्ञान का संग्रह था, जो यूक्लिड द्वारा व्यवस्थित किया गया था।
‘एलिमेंट्स’ को तेरह अध्यायों में विभाजित किया गया, प्रत्येक अध्याय को ‘पुस्तिका’ कहते है।

यूक्लिड की परिभाषाएँ, अभिगृहीत और अभिधारणाएँ (Euclid’s Definitions, Axioms, and Postulates)

यूक्लिड ने ‘एलिमेंट्स’ की पुस्तक 1 में 23 परिभाषाएँ सूचीबद्ध की हैं। उनमें से कुछ नीचे दी गई हैं:

एक बिंदु (point) वह है जिसका कोई भाग नहीं होता।
एक रेखा (line) चौड़ाई रहित लंबाई की होती है।
एक रेखा के सिरे बिंदु होते हैं।
एक सीधी रेखा वह रेखा होती है जो स्वयं पर बिन्दुओं के साथ समान रूप से स्थित होती है।
एक पृष्ठ (Surface) वह होता है जिसमें केवल लंबाई और चौड़ाई होती है।
पृष्ठ के किनारे (Edges) रेखाएँ होती हैं।
एक समतल पृष्ठ (Plane Surface) ऐसा पृष्ठ है जो स्वयं पर सीधी रेखाओं के साथ सपाट रूप से स्थित होता है।

यूक्लिड ने कुछ ऐसे गुण बताए जो उसके द्वारा कल्पना किए गए थे और जिन्हें सिद्ध नहीं किया गया था।। दरअसल, ये कल्पनाएँ ‘स्पष्ट सार्वभौमिक सत्य’ थे। इन धारणाओं के दो प्रकार थे : अभिगृहीत और अभिधारणाएँ।

अभिगृहीत (Axioms) – अभिगृहीत सामान्य धारणाएँ थी और पूरे गणित में प्रयोग की जाने वाली धारणाएँ थी और विशेष रूप से ज्यामिति से जुड़ी नहीं थी।

यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत नीचे दिए गए हैं:

वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
यदि बराबरों को बराबरों में जोड़ा जाए, तो पूर्ण भी बराबर होते हैं।
यदि बराबरों में से बराबरों को घटाया जाए, तो शेषफल भी बराबर होते हैं।
वे वस्तुएँ जो एक दूसरे के सम्पाती होती हैं, वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।
पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की दोगुनी होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी हों, एक दूसरे के बराबर होती हैं।

पहले अभिगृहीत को समतल आकृतियों पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वर्ग का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल के बराबर है और आयत का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर है, तो वर्ग का क्षेत्रफल भी त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

चौथे अभिगृहीत के अनुसार, यदि दो आकृतियाँ सर्वसम हैं तो वे बराबर होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिभुज दूसरे त्रिभुज के सम्पाती है तो दोनों त्रिभुज बराबर होते हैं।

पाँचवाँ अभिगृहीत ‘से बड़ा है’ की परिभाषा देता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वर्ग एक आयत का भाग है तो आयत वर्ग से बड़ा है। आयत > वर्ग

अभिधारणाएँ (Postulates) – अभिधारणाएँ वे कल्पनाएँ थीं जो विशेष रूप से ज्यामिति से जुड़ी हुई थीं।

यहाँ, हम यूक्लिड की पाँच अभिधारणाओं पर चर्चा करेंगे।

अभिधारणा 1: किसी एक बिंदु से किसी अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।

इस अभिधारणा के अनुसार एक सरल रेखा दो भिन्न बिन्दुओं से होकर गुजरती है, परन्तु हम जानते हैं कि यदि दो भिन्न बिन्दु हों तो उनसे केवल एक ही सरल रेखा गुजर सकती है। यूक्लिड ने यह उल्लेख नहीं किया कि ऐसी एक से अधिक रेखाएँ नहीं हो सकतीं। दो अलग-अलग बिंदुओं को मिलाने वाली एक अद्वितीय रेखा होगी। हम इस परिणाम को एक अभिगृहीत के रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं:

अभिगृहीत: दिए हुए दो भिन्न बिंदुओं से होकर एक अद्वितीय रेखा खींची जा सकती है।

यदि हम दो बिंदुओं A और B पर विचार करें, तो बिंदु A से होकर जाने वाली कितनी रेखाएँ बिंदु B से भी गुजरती हैं? हम जानते हैं कि केवल एक, और वह रेखा AB है। इसी प्रकार, बिंदु B से होकर जाने वाली कितनी रेखाएँ बिंदु A से भी होकर गुजरती हैं? फिर से, केवल एक, और वह रेखा AB है। आकृति इसे स्पष्ट रूप से दिखाती है।

अभिधारणा 2 : एक सांत रेखा को अनिश्चित रूप से बढ़ाया जा सकता है।

आजकल हम रेखाखंड शब्द का इस्तेमाल करते हैं, यूक्लिड ने इसे सांत रेखा कहा है। हम जानते हैं कि एक रेखाखंड को एक रेखा बनाने के लिए दोनों दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है। इसे हम नीचे दिए गए चित्र में देख सकते हैं।

अभिधारणा 3 : किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है।

हम किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या का एक वृत्त खींच सकते हैं।

अभिधारणा 4 : सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

हम जानते हैं कि समकोण की माप 90° होती है इसलिए सभी समकोण बराबर होते हैं।

अभिधारणा 5: यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर गिरकर अपने एक ही ओर दो अंत:कोण इस प्रकार बनाएँ कि इन दोनों कोणों का योग दो समकोणों से कम हो, तो वे दोनों सीधी रेखाएँ अनिश्चित रूप से बढ़ाए जाने पर उसी ओर मिलती हैं जिस ओर यह योग दो समकोणों से कम होता है।

उपरोक्त आकृति में, सीधी रेखा AB, सीधी रेखाओं PQ और RS पर इस प्रकार गिरती है कि रेखा AB के दाईं ओर के आंतरिक कोणों 1 और 2 का योग 180° से कम है। इसका अर्थ है कि रेखाएँ PQ और RS अंततः AB के दाईं ओर प्रतिच्छेद करेंगी।

नोट – 1) आजकल अभिधारणाएँ और अभिगृहीत एक ही अर्थ में प्रयुक्त होते हैं। विश्व में प्रेक्षित परिघटनाओं के आधार पर कोई भी बयान दिया जाता है और इसकी सत्यता या वैधता की जांच बाद में की जाती है। यदि कथन सत्य है, तो इसे ‘अभिधारणाओं’ के रूप में स्वीकार किया जाता है।

2) अभिगृहीतों की एक प्रणाली को सुसंगत (Consistent) कहा जाता है। एक सुसंगत प्रणाली वह है जिसमें कोई भी कथन किसी स्वयंसिद्ध या पहले से सिद्ध कथन का खंडन नहीं करता है।

3) यूक्लिड ने अन्य परिणामों को सिद्ध करने के लिए अपने अभिगृहीतों और अभिधारणाओं का उपयोग किया और इन परिणामों का उपयोग करते हुए, उन्होंने कुछ और परिणामों को निगमनात्मक तर्क लागू करके सिद्ध किया। इन सिद्ध कथनों को साध्य (Propositions) या प्रमेय (Theorems) कहा जाता है।

यूक्लिड के अभिगृहीतों और अभिधारणाओं के उदाहरण (Examples of Euclid’s Axioms and Postulates)

उदाहरण (1) यदि P, Q और R एक रेखा पर तीन बिंदु हैं, और Q बिंदु P और R के बीच स्थित है, तो सिद्ध कीजिए कि PQ + QR = PR है।

हल – यूक्लिड के चौथे अभिगृहीत के अनुसार जो वस्तुएँ एक दूसरे के सम्पाती होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं।

यहाँ, उपरोक्त आकृति में, PR, PQ + QR के साथ संपाती है। अतः यह सिद्ध किया जा सकता है,

PQ + QR = PR इति सिद्धम।

उदाहरण (2) सिद्ध कीजिए कि किसी दिए हुए रेखाखंड पर एक समबाहु त्रिभुज की रचना की जा सकती है।

हल – मान लीजिए AB किसी भी लम्बाई का एक रेखाखंड है।

अब हम कुछ रचना करते हैं। यूक्लिड की अभिधारणा 3 के अनुसार, किसी भी केंद्र और किसी भी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है। हम बिंदु A को केंद्र और AB को त्रिज्या मानकर एक वृत्त बनाते हैं। इसी तरह, हम बिंदु B को केंद्र और BA को त्रिज्या मानकर एक अन्य वृत्त बनाते हैं।

दो वृत्त एक बिंदु पर मिलते हैं, मान लीजिए बिंदु C है। अब, हम बिंदु A और B को बिंदु C से मिलाकर एक त्रिभुज ABC बनाते हैं।

हमें सिद्ध करना है कि त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है, अर्थात, AB = BC = AC

त्रिभुज ABC में, AB = AC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ] ………… (1)

AB = BC [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ] …………… (2)

यूक्लिड के अभिगृहीत (1) का प्रयोग करते हुए, वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु के बराबर होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।

समीकरण (1) और (2) से, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि AB = BC = AC

इसलिए, त्रिभुज ABC एक समबाहु त्रिभुज है। इति सिद्धम।

प्रमेय : दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते।

उपपत्ति – मान लीजिए कि दो भिन्न रेखाएँ l और m हैं। हमें यह सिद्ध करना होगा कि उनका केवल एक उभयनिष्ठ बिंदु है। उभयनिष्ठ बिंदु के लिए, दोनों रेखाओं को एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करना चाहिए।

मान लीजिए कि दो रेखाएँ एक-दूसरे को दो भिन्न बिंदुओं, मान लीजिए P और Q पर काटती हैं। इसका मतलब है कि दो भिन्न बिंदुओं P और Q से गुजरने वाली दो रेखाएँ हैं। लेकिन यूक्लिड के अभिगृहित के अनुसार, दो भिन्न बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक अद्वितीय रेखा होती है। इसलिए, हमारी धारणा कि दो रेखाएँ दो भिन्न बिंदुओं से होकर गुजर सकती हैं, गलत है।

उपरोक्त व्याख्या से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो भिन्न रेखाओं में एक से अधिक उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो सकते। इति सिद्धम।

यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के समतुल्य रूपांतरण (Equivalent Versions of Euclid’s Fifth Postulate)

यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा में, यदि गिरती हुई रेखा के एक ही ओर के आंतरिक कोणों के मापों का योग ठीक 180° है, तो रेखाएँ एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेंगी।

1729 में, एक स्कॉटिश गणितज्ञ जॉन प्लेफेयर ने एक अभिगृहीत दी जिसे ‘प्लेफेयर का अभिगृहीत’ के नाम से जाना जाता है।

उन्होंने कहा: ‘प्रत्येक रेखा l के लिए और प्रत्येक बिंदु P के लिए जो l पर स्थित नहीं है, एक अद्वितीय रेखा m मौजूद है जो P से गुजरती है और l के समान्तर है’।

इस परिणाम को निम्न रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:

दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समांतर नहीं हो सकतीं।

उदाहरण – निम्नलिखित कथन पर विचार करें: ऐसी सीधी रेखाओं का एक युग्म मौजूद है जो हर जगह एक दूसरे से समान दूरी पर हैं। क्या यह कथन यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा का प्रत्यक्ष परिणाम है? स्पष्ट कीजिए।

हल – प्लेफेयर के अभिगृहीत का प्रयोग करके, मान लीजिए l एक रेखा है और P एक बिंदु है जो l पर स्थित नहीं है। फिर बिंदु P से गुजरने वाली एक अद्वितीय रेखा m है जो रेखा l के समांतर है।

हम जानते हैं कि एक बिंदु की एक रेखा से दूरी उस बिंदु से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई होती है। इसी प्रकार, रेखा l से रेखा m पर स्थित किसी भी बिंदु की दूरी और रेखा l पर स्थित किसी भी बिंदु की रेखा m से दूरी समान होगी।

इसलिए, ये दो रेखाएँ हर जगह एक दूसरे से समान दूरी पर हैं। इति सिद्धम।

यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय कक्षा 9 (Introduction to Euclid’s Geometry Class 9th) अंग्रेजी में

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