जब हम किसी संख्या को निश्चित संख्या तक उसी से लगातार गुणा करते हैं, तो इन संख्याओं को उपयुक्त और सुविधाजनक रूप में लिखने के लिए घातांकों का उपयोग किया जाता है। गणित में, हम बड़ी गणनाओं को हल करने के लिए घातांक के विभिन्न नियमों का उपयोग करते हैं। इस भाग में हम वास्तविक संख्याओं के घातांकों के विभिन्न नियमों (Laws of Exponents for Real Numbers) का अध्ययन करेंगे।
वास्तविक संख्याओं के घातांकों के नियमों को समझने से पहले, आइए प्राकृत संख्याओं के घातांकों के नियमों पर एक नज़र डालें। इससे हमें दोनों के बीच के अंतर को समझने में मदद मिलेगी।
प्राकृत संख्याओं के लिए घातांक के नियम
यहाँ प्राकृत संख्याओं के घातांक के कुछ नियम इस प्रकार हैं:
| (1) am × an = am+n | (5) am / an = am ÷ an = am-n ; m > n |
| (2) (am)n = amn | (6) am × bm = (ab)m |
| (3) a0 = 1 | (7) am / bm = am ÷ bm = (a/b)m |
| (4) यदि am = an तब m = n | (8) am = 1 / a-m or 1 / am = a-m |
उपरोक्त नियमों में, a, m और n प्राकृत संख्याएँ हैं। a को आधार कहा जाता है और m और n को घातांक कहा जाता है।
उदाहरण –
निम्नलिखित व्यंजकों को सरल कीजिए:
(1) 125 . 123
(2) 54 / 52
(3) (206)7
(4) यदि 458 = 45x, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
(5) 29 × 99
(6) 32 ÷ 82
(7) 14-7 × 143
हल – (1) 125 . 123
125+3 = 128
(2) 54 / 52
54-2 = 52
(3) (206)7
206×7 = 2042
(4) 458 = 45x
8 = x
x = 8
(5) 29 × 99
(2×9)9 = 189
(6) 32 ÷ 82
32 / 82
(3/8)2
(7) 14-7 × 143
14-7+3
14-4
1/144 उत्तर
वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक के नियम
घातांकों में, यदि आधार धनात्मक वास्तविक संख्या है और घातांक परिमेय संख्याएँ हैं तो हम इस प्रकार के प्रश्नों को कैसे हल करेंगे? आइए कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं लेकिन इससे पहले हम इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए वर्गमूल के n वें मूल और घातांक के अंतर को समझते हैं।
वर्गमूल के nवें मूल की परिभाषा के अनुसार, यदि a एक वास्तविक संख्या है कि a > 0 और n एक धनात्मक पूर्णांक है।
तब, n√a = b
या हम लिख सकते है, bn = a और b > 0
घातांकों के नियमों के अनुसार,
हम परिभाषित करते हैं, n√a = a1/n
इसलिए, 3√5 के लिए, 3√5 = 51/3
यदि हम 82/3 को एक उदाहरण के रूप में लेते हैं, तो हमारे पास इसे हल करने के दो तरीके होते हैं।
82/3 = (81/3)2 = 22 = 4
82/3 = (82)1/3 = 641/3 = 4
इसलिए, उपरोक्त उदाहरण की सहायता से, हम इसे इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
मान लीजिए a एक वास्तविक संख्या है कि a > 0 है। मान लीजिए m और n ऐसे पूर्णांक हैं कि m और n में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है, और n > 0 है। तब,
am/n = (n√a)m = n√am
अब, यहाँ वास्तविक संख्याओं के घातांकों के कुछ विस्तृत नियम दिए गए हैं:
मान लीजिए a एक वास्तविक संख्या है कि a > 0 और p और q परिमेय संख्याएँ हैं। तब
| (1) ap × aq = ap+q | (5) ap / aq = ap ÷ aq = ap-q ; p > q |
| (2) (ap)q = apq | (6) ap × bp = (ab)p |
| (3) a0 = 1 | (7) ap / bp = ap ÷ bp = (a/b)p |
| (4) यदि ap = aq तब p = q | (8) ap = 1 / a-p or 1 / ap = a-p |
उदाहरण –
सरल कीजिए:
(1) 193/4 . 191/4
(2) 32/5 / 31/3
(3) (21/7)7/4
(4) यदि 258/9 = 251/x, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
(5) 121/5 × 21/5
(6) 232/3 ÷ 182/3
(7) 4-5/7 × 43/5
हल – (1) 193/4 . 191/4
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, ap × aq = ap+q
19(3/4 + ¼) = 19(3+1 / 4) = 194/4 = 191 = 19
(2) 32/5 / 31/3
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, ap / aq = ap ÷ aq = ap-q ; p > q
3(2/5 – 1/3) = 3(6 – 5 / 15) = 31/15
(3) (21/7)7/4
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, (ap)q = apq
21/7 × 7/4 = 21/4
(4) यदि 258/9 = 251/x, तब x का मान ज्ञात कीजिए।
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, यदि ap = aq तब p = q
8/9 = 1/x
9/8 = x/1
x = 9/8
(5) 121/5 × 21/5
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, ap × bp = (ab)p
(12×2)1/5 = 241/5
(6) 232/3 ÷ 182/3
घातांक-नियम का उपयोग करने पर, ap / bp = ap ÷ bp = (a/b)p
232/3 / 182/3
(23/18)2/3
(7) 4-5/7 × 43/5
घातांक-नियमों का उपयोग करने पर, ap × aq = ap+q और ap = 1 / a-p or 1 / ap = a-p
4(-5/7 × 3/5) = 4(-3/7) = 1 / 43/7 उत्तर
