रेखाएँ और कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9th)

परिचय

पिछली कक्षाओं में हमने रेखाखंडों, किरणों और रेखाओं तथा उनके गुणों का अध्ययन किया है। हम इन तीनों के बीच का अंतर भी जानते हैं। अब, हम कक्षा 9 में रेखाओं और कोणों (Lines and Angles Class 9^th), रेखाओं की सहायता से कोणों के निर्माण, गुणों के आधार पर प्रमेय आदि का अध्ययन करेंगे। हम अपने दैनिक जीवन में रेखाओं और कोणों के महत्व को भी जानते हैं। हमारे घरों में, खिड़कियों या दरवाजों में लोहे या स्टील की छड़ें और विभिन्न प्रकार के रैखिक डिजाइन लाइनों के उदाहरण हैं। कोणों के उदाहरण, दीवारों और फर्श के बीच बने कोण, दीवारों और छत के बीच बने कोण हैं। आइए पिछली कक्षाओं में पढ़ी गई उन परिभाषाओं को याद करें जो रेखाओं और कोणों से संबंधित हैं।

कुछ परिभाषाएँ

रेखा – बहुत से बिन्दुओं का संयोजन जो लगभग नगण्य चौड़ाई और गहराई के साथ एक प्रवाह में व्यवस्थित होते हैं, रेखा कहलाते हैं। रेखा का कोई अंत बिंदु नहीं होता है इसलिए इसे दोनों दिशाओं में बढ़ाया जा सकता है। रेखा AB को  द्वारा निरूपित किया जाता है। कभी-कभी हम रेखाओं को दर्शाने के लिए l, m, n जैसे छोटे अक्षरों का उपयोग करते हैं।

रेखा खंड – रेखा का वह निश्चित भाग जिसके दो अंत बिंदु होते हैं और जिसे किसी भी दिशा में नहीं बढ़ाया जा सकता है, रेखा खंड कहलाता है। यदि AB एक रेखाखंड है, तो इसे  द्वारा दर्शाया जाएगा।

किरण – रेखा का वह भाग जिसका एक अंत बिंदु होता है और जिसे एक दिशा में बढ़ाया जा सकता है, किरण कहलाता है। यदि AB एक किरण है, तो इसे  द्वारा निरूपित किया जाएगा।

नोट – कभी-कभी हम रेखा, रेखाखंड और किरण के लिए प्रतीकों का उपयोग नहीं करते हैं। हम आम तौर पर तीनों के लिए AB लिखते हैं।

संरेख बिंदु (Collinear Points) – यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हों, तो उन्हें संरेख बिंदु कहा जाता है।

असंरेख बिंदु (Non-collinear Points) – यदि तीन या अधिक बिंदु एक ही रेखा पर न हों तो उन्हें असंरेख बिंदु कहते हैं।

कोण (Angle) – जब दो किरणें एक ही बिंदु से उत्पन्न होती हैं तो उनके बीच के झुकाव को कोण कहा जाता है। दोनों किरणों को कोण की भुजाएँ (Arms of the Angle) तथा उभयनिष्ठ बिंदु को कोण का शीर्ष (Vertex of the Angle) कहा जाता है। पिछली कक्षाओं में हमने विभिन्न प्रकार के कोणों जैसे न्यून कोण, समकोण, अधिक कोण, ऋजु कोण और प्रतिवर्ती कोण का अध्ययन किया है।

कोणों के प्रकार

(i) न्यून कोण (Acute Angle) – जिस कोण की माप 0° से अधिक और 90° से कम हो उसे न्यून कोण कहते हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि एक न्यून कोण का माप 0° और 90° के बीच होता है।

यहाँ, न्यून कोण: 0° < x < 90°

(ii) समकोण (Right Angle) – जिस कोण की माप 90° के बराबर हो उसे समकोण कहते हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि कोण 90° एक समकोण होता है।

यहाँ, समकोण: y = 90°

(iii) अधिक कोण (Obtuse Angle) ­­– जिस कोण की माप 90° से अधिक तथा 180° से कम हो उसे अधिक कोण कहते हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि एक अधिक कोण का माप 90° और 180° के बीच होता है।

यहाँ, अधिक कोण: 90° < z < 180°

(iv) ऋजु कोण (Straight Angle) – जिस कोण की माप 180° के बराबर होती है उसे ऋजु कोण कहते हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि कोण 180° एक ऋजु कोण होता है।

यहाँ, ऋजु कोण: p = 180°

(v) प्रतिवर्ती कोण (Reflex Angle) – जिस कोण की माप 180° से अधिक तथा 360° से कम हो उसे प्रतिवर्ती कोण कहते हैं। हम यह भी कह सकते हैं कि एक प्रतिवर्ती कोण का माप 180° और 360° के बीच होता है।

यहाँ, प्रतिवर्ती कोण: 180° < q < 360°

(vi) पूरक कोण (Complementary Angles) – जब दो कोणों का योग 90°, होता है, तो वे पूरक कोण कहलाते हैं।

उदाहरण – (1) 30° का पूरक कोण = 60° (⸪ 30° + 60° = 90°)

(2) 50° का पूरक कोण = 40° (⸪ 50° + 40° = 90°)

(vii) संपूरक कोण (Supplementary Angles) – जब दो कोणों का योग 180°, होता है, तो वे संपूरक कोण कहलाते हैं।

उदाहरण – (1) 125° का संपूरक कोण = 55° (⸪ 125° + 55° = 180°)

(2) 95° का संपूरक कोण = 85° (⸪ 95° + 85° = 180°)

(viii) आसन्न कोण (Adjacent Angles) – जब दो कोणों में एक उभयनिष्ठ शीर्ष और एक उभयनिष्ठ भुजा होती है, तो उन्हें आसन्न कोण कहा जाता है। उनकी वे भुजाएँ जो उभयनिष्ठ नहीं है, उभयनिष्ठ भुजा के विपरीत ओर स्थित होती हैं।

उपरोक्त आकृति में, ∠ABD और ∠DBC आसन्न कोण हैं। बिंदु B इनका उभयनिष्ठ शीर्ष है और किरण BD इनकी उभयनिष्ठ भुजा है। किरण BA और BC वे भुजाएँ है, जो उभयनिष्ठ नहीं हैं।

हम यह भी कह सकते हैं कि जब दो कोण आसन्न कोण होते हैं, तो उनका योग हमेशा दो गैर-उभयनिष्ठ भुजाओं से बने कोण के बराबर होता है। तो, उपरोक्त आकृति के लिए, हम लिख सकते हैं,

∠ABC = ∠ABD + ∠DBC

नोट – ∠ABC और ∠DBC आसन्न कोण नहीं हैं क्योंकि इनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ AB और DB उभयनिष्ठ भुजा BC के एक ही तरफ स्थित हैं। इसी प्रकार, ∠ABC और ∠ABD भी आसन्न कोण नहीं है।

(ix) कोणों का रैखिक युग्म (Linear Pair of Angles) – जब आसन्न कोणों का योग 180° होता है तो वे कोणों का एक रैखिक युग्म बनाते हैं या हम यह भी कह सकते हैं कि यदि आसन्न कोणों की गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ एक सीधी रेखा बनाती हैं, तो उन्हें कोणों का एक रैखिक युग्म कहा जाता है।

उपरोक्त आकृति में, ∠ABD और ∠DBC आसन्न कोण हैं और इनकी गैर-उभयनिष्ठ भुजाएँ AB और BC एक सीधी रेखा AC बनाते हैं। इसका मतलब है कि कोण ∠ABD और ∠DBC का योग 180° है। इसलिए, ये कोणों का एक रैखिक युग्म हैं।

(x) शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles) – जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो प्रतिच्छेदी बिंदु पर बने कोण शीर्षाभिमुख कोण कहलाते हैं।

उपरोक्त आकृति में, रेखाएँ AB और CD एक दूसरे को बिंदु O पर प्रतिच्छेद करती हैं। शीर्षाभिमुख कोणों के दो युग्म हैं। एक युग्म ∠AOD और ∠BOC है और दूसरा युग्म ∠AOC और ∠BOD है। शीर्षाभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं। इसलिए,

∠AOD = ∠BOC

∠AOC = ∠BOD

प्रतिच्छेदी रेखाएँ और अप्रतिच्छेदी (समांतर) रेखाएँ

प्रतिच्छेदी रेखाएँ (Intersecting Lines) – जब दो रेखाएँ एक दूसरे को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं तो उन्हें प्रतिच्छेदी रेखाएँ कहा जाता है। दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच की दूरी प्रत्येक बिंदु पर भिन्न होती है।

रेखाएँ AB और CD प्रतिच्छेदी रेखाएँ हैं और बिंदु O प्रतिच्छेदी बिंदु है।

अप्रतिच्छेदी (समांतर) रेखाएँ (Non-intersecting (Parallel) Lines) – जब दो रेखाएँ एक-दूसरे को किसी भी बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं तो उन्हें अप्रतिच्छेदी (समांतर) रेखाएँ कहा जाता है। दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी प्रत्येक बिंदु पर समान होती है। दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी एक लम्बवत् दूरी होती है।

रेखाएँ AB और CD समांतर रेखाएँ हैं। समांतर रेखाओं के लिए हम AB ll CD लिखते हैं।

कोणों के युग्म (Pair of Angles)

शीर्षाभिमुख कोण (Vertically Opposite Angles)

समांतर रेखाएँ और एक तिर्यक रेखा (Parallel Lines and a Transversal)

एक ही रेखा के समांतर रेखाएँ (Lines Parallel to the Same Line)

त्रिभुज का कोण योग गुण (Angle Sum Property of a Triangle)

रेखाएँ और कोण कक्षा 9 (Lines and Angles Class 9th) अँग्रेजी में

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