भिन्न संख्याएँ कक्षा 7 (Fraction Class 7th)

Bhinn Sankhyaen Kaksha 7

परिभाषा

कक्षा 7 में भिन्न संख्याओं (Fraction Class 7^th) का अध्ययन करने से पहले, हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि भिन्न वे संख्याएँ हैं जो किसी समूह या क्षेत्र के भाग को दर्शाती हैं। या हम कह सकते हैं कि भिन्न सम्पूर्ण के एक भाग को दर्शाती हैं जो एक वस्तु या वस्तुओं का समूह हो सकता है। भिन्न में अंश और हर होते हैं। अंश एक सम्पूर्ण को दर्शाता है जबकि हर एक सम्पूर्ण के एक भाग को दर्शाता है।

उदाहरण – ½, 2/3, 4/3, 4/5, ¼, 7/8, आदि।

भिन्न के प्रकार

(1) उचित भिन्न – जिस भिन्न का अंश, हर से कम होता है उसे उचित भिन्न कहते हैं।

उदाहरण – 1/3, 3/4, 5/9, 2/7, आदि।

(2) विषम भिन्न – जिस भिन्न का अंश, हर से बड़ा होता है, वह विषम भिन्न कहलाती है।

उदाहरण – 3/2, 4/2, 8/3, 7/4, 9/8, आदि।

(3) मिश्रित भिन्न – एक पूर्ण संख्या और एक उचित भिन्न के संयोजन को मिश्रित भिन्न कहते हैं।

उदाहरण – 1¾, 4½, 7⅝, 3⅙, 8⅔, आदि।

नोट – विषम भिन्न को मिश्रित भिन्न के रूप में और मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। आइए एक उदाहरण से समझते हैं।

7/4 = विषम भिन्न

7 को 4 से भाग देने पर,

हम लिख सकते हैं 1¾ = मिश्रित भिन्न

अब, 1¾ = (1×4 + 3)/4

= (4 + 3)/4

= 7/4 = विषम भिन्न

तुल्य भिन्न

किसी भिन्न का तुल्य भिन्न, संपूर्ण के समान भाग को दर्शाता है। एक भिन्न के कई तुल्य भिन्न हो सकते हैं।

उदाहरण – 2/3 के तीन तुल्य भिन्न

2×2 / 3×2 = 4/6

2×3 / 3×3 = 6/9

2×4 / 3×4 = 8/12

नोट – तुल्य भिन्नों को लिखने के लिए, हम केवल समान संख्या को भिन्न के अंश और हर से गुणा करते हैं।

भिन्नों की तुलना, जोड़ और घटाव

दो भिन्नों की तुलना में, हम उनके हरों का लसप लेकर उन्हें समान भिन्नों में परिवर्तित करते हैं।

उदाहरण – 5/7 और 2/3 में कौन-सी भिन्न बड़ी है?

हल – यहाँ हर 7 और 3 हैं।

7 और 3 का लसप = 21

अब हमें दोनों भिन्नों के हर को 21 के बराबर करना है।

तो, हम 5/7 को 3 से गुणा करते हैं और 2/3 को 7 से गुणा करते हैं।

5×3 / 7×3 = 15/21 और 2×7 / 3×7 = 14/21

15/21 और 14/21 समान भिन्न हैं।

चूँकि अंश 15 > 14

तो, 15/21 > 14/21

इसलिए, 5/7 > 2/3        उत्तर

जोड़ में, हम लसप की सहायता से दो या दो से अधिक भिन्नों को जोड़ते हैं जब हर समान नहीं होते हैं। यदि हर समान हैं, तो हम केवल दोनों भिन्नों के अंश को जोड़ते हैं।

उदाहरण – जोड़ें 1) ¾ और 7/16    2) 8/9 और 2/9

हल – 1) ¾ + 7/16

हर 4 और 16 का लसप = 16

(3×4 + 7×1)/16

(12 + 7)/16

19/16            उत्तर

2) 8/9 + 2/9

यहाँ हर समान हैं।

(8 + 2)/9

10/9         उत्तर

दो भिन्नों का घटाव योग के समान ही होता है। हम लसप की सहायता से एक भिन्न को दूसरे भिन्न में से घटाते हैं जब हर समान नहीं होता है। यदि हर समान हैं, तो हम केवल अंशों को घटाते हैं।

उदाहरण – घटाएँ 1) 1/6 को 6/7 में से    2) 3/5 को 9/5 में से

हल – 1) 6/7 – 1/6

हर 7 और 6 का लसप = 42

(6×6 + 1×7)/42

(36 + 7)/42

43/42            उत्तर

2) 9/5 – 3/5

यहाँ हर समान हैं।

(9 – 3)/5

6/5            उत्तर

हमने पूर्ण संख्याओं, प्राकृत संख्याओं, पूर्णांकों आदि को गुणा किया है। इस प्रकार की संख्याओं का गुणन सरल संख्याओं के कारण आसान होता है। भिन्नों का गुणन इन संख्याओं से अलग होता है। आइए देखें कि इसे कैसे करना है।

Fraction Calculator

भिन्नों का गुणन

किसी भिन्न को पूर्ण संख्या से गुणा करना

किसी भिन्न और पूर्ण संख्या के गुणन में, हम पूर्ण संख्या को भिन्न के अंश से गुणा करते हैं और हर अपरिवर्तित रहता है। इस गुणन का उपयोग उचित और विषम भिन्नों के लिए सीधे किया जाता है लेकिन मिश्रित भिन्नों के लिए, पहले हम मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और फिर गुणा करते हैं।

उदाहरण – 1) 5 और ¼ का गुणा कीजिये।

हल – 5× ¼ = 5×1 / 4 = 5/4           उत्तर

उदाहरण – 2) 3 और 8/7 का गुणा कीजिये।

हल – 3×8/7 = 24/7          उत्तर

उदाहरण – 3) 6 और 9¾ का गुणा कीजिये।

हल – 6×9¾ = 6×39/4 = 234/4 = 117/2           उत्तर

उदाहरण – 4) 9 का 4/5 ज्ञात कीजिए।

हल – (4/5) ×9 = 4×9 / 5 = 36/5         उत्तर

नोट – भिन्नों में, ‘का’ प्रचालक भी गुणन को दर्शाता है इसलिए हम ‘का’ प्रचालक के स्थान पर गुणन चिह्न का प्रयोग करते हैं।

किसी भिन्न का भिन्न से गुणन

भिन्न का भिन्न से गुणन में, हम केवल एक भिन्न के अंश को दूसरी भिन्न के अंश से और उसी भिन्न के हर को दूसरी भिन्न के हर से गुणा करते हैं। उचित और विषम भिन्नों के लिए, हम इसका सीधे उपयोग करते हैं लेकिन मिश्रित भिन्नों के लिए, पहले हम मिश्रित भिन्नों को विषम भिन्नों में परिवर्तित करते हैं और फिर गुणा करते हैं।

उदाहरण –  1) 4/7 और 9/2 को गुणा कीजिये।

हल – (4/7) × (9/2) = (4×9)/ (7×2) = 36/14 = 18/7          उत्तर

उदाहरण –  2) 2¼ और 5½ को गुणा कीजिये।

हल – 2¼×5½ = (9/4) × (11/2) = (9×11)/ (4×2) = 99/8         उत्तर

हम यह भी लिख सकते हैं दो भिन्नों का गुणन = अंशों का गुणनफल/हरों का गुणनफल

नोट -1) जब हम दो उचित भिन्नों का गुणा करते हैं, तो गुणनफल दोनों भिन्नों से छोटा होता है।

2) जब हम दो विषम भिन्नों या दो मिश्रित भिन्नों का गुणा करते हैं, तो गुणनफल दोनों भिन्नों से बड़ा होता है।

3) जब हम एक उचित भिन्न और एक विषम भिन्न का गुणा करते हैं, तो गुणनफल उचित भिन्न से बड़ा और विषम भिन्न से छोटा होता है।

भिन्नों का विभाजन

एक पूर्ण संख्या को दूसरी पूर्ण संख्या से भाग देने में, हम विभाजन प्रक्रिया और भाजक के पहाड़े का उपयोग करते हैं। भिन्नों का विभाजन कुछ अलग है क्योंकि हम इसमें विभाजन प्रक्रिया और भाजक के पहाड़े का उपयोग नहीं कर सकते हैं। हम एक पूर्ण संख्या को भिन्न से और भिन्न को दूसरी भिन्न से कैसे विभाजित कर सकते हैं? चलो देखते हैं।

पूर्ण संख्या का भिन्न से विभाजन

एक पूर्ण संख्या और भिन्न के भाग में, हम भाग के चिह्न को गुणन में बदलते हैं और भिन्न का व्युत्क्रम लिखते हैं और फिर उसे गुणा करते हैं।

उदाहरण – 1) 6 को 5/2 से भाग दीजिये।

हल – 6 ÷ 5/2 = 6×2/5 = 12/5        उत्तर

उदाहरण – 2) 3 को 1¼ से भाग दीजिये।

हल – 3 ÷ 1¼ = 3 ÷ 5/4 = 3 × 4/5 = 12/5        उत्तर

नोट -1) उपरोक्त उदाहरण में, 5/2 का व्युत्क्रम 2/5 है। किसी भिन्न का व्युत्क्रम लिखने के लिए हम अंश और हर को आपस में बदल लेते हैं।

2) जब हम एक पूर्ण संख्या को मिश्रित भिन्न से विभाजित करते हैं, तो पहले हम मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदल देते हैं और फिर हल करते हैं।  

एक भिन्न का पूर्ण संख्या से विभाजन

इस विभाजन में भी हम भाग के चिह्न को गुणन में बदलते हैं और पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम लिखते हैं, और फिर गुणा करते हैं। मिश्रित भिन्न के मामले में, पहले हम मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलते हैं और फिर उसे हल करते हैं।

उदाहरण – 1) 7/8 को 3 से भाग दीजिये।

हल – 7/8 ÷ 3 = (7/8) × 1/3 = 7/24         उत्तर

उदाहरण – 2) 3¾ को 2 से भाग दीजिये।

हल – 3¾ ÷ 2 = (15/4) × (1/2) = (15×1)/ (4×2) = 15/8         उत्तर

हम जानते हैं कि प्रत्येक पूर्ण संख्या का हर 1 होता है, इसलिए 3/1 का व्युत्क्रम = 1/3

एक भिन्न का दूसरे भिन्न द्वारा विभाजन

ऊपर के समान ही, हम भाजक भिन्न के व्युत्क्रम का उपयोग करते हैं और विभाजन चिह्न को गुणन में परिवर्तित करते हैं। मिश्रित भिन्न के मामले में, पहले हम मिश्रित भिन्न को विषम भिन्न में बदलते हैं और फिर उसे हल करते हैं।

उदाहरण – 1) 2/3 को 5/7 से भाग दीजिये।

हल – 2/3 ÷ 5/7 = (2/3) × (7/5) = (2×7) / (3×5) = 14/15            उत्तर

उदाहरण – 2) 1½ को 4¼ से भाग दीजिये।

हल – 1½ ÷ 4¼ = (3/2) ÷ (17/4) = (3/2) × (4/17) = (3×4) / (2×17) = 12/34           उत्तर

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