हीरोन का सूत्र कक्षा 9 (Heron’s Formula Class 9th)

परिचय

पिछली कक्षा में, हमने त्रिभुज, वर्ग, आयत, चतुर्भुज आदि जैसी कई अलग-अलग प्रकार की आकृतियों और उनके क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों का अध्ययन किया है। हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि यदि त्रिभुज का आधार और ऊँचाई दी गई हो तो उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। हम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए नीचे लिखे सूत्र का उपयोग करते हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

यह सूत्र समकोण त्रिभुजों के लिए प्रत्यक्ष रूप से उपयोगी है। हम किसी अन्य त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात कर सकते हैं यदि उसकी ऊँचाई न दी गई हो? इस भाग में, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग किए बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का अध्ययन करेंगे।

हीरोन का सूत्र क्या है?

हीरोन का सूत्र गणितज्ञ हीरोन द्वारा दिया गया है। हीरोन के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हुई हों तो हम एक सूत्र की सहायता से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस सूत्र को हीरोन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

सूत्र के अनुसार,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

जहाँ, a, b, और c = त्रिभुज की भुजाएँ

s = त्रिभुज का अर्ध-परिमाप = (a + b + c)/2

नोट – 1) त्रिभुज का अर्ध-परिमाप त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है।

2) त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b और c हैं। जहाँ भुजा a, शीर्ष A के विपरीत भुजा को दर्शाती है, जिसका अर्थ है भुजा BC। इसी प्रकार, भुजाएँ b और c, शीर्ष B और C के विपरीत भुजाओं को दर्शाती हैं  जिसका अर्थ क्रमशः भुजाएँ AC और AB है।

3) हीरोन का सूत्र तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई न दी गई हो या आसानी से ज्ञात न हो सके।

हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल

हीरोन के सूत्र की सहायता से हम त्रिभुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। किसी भी त्रिभुज में, यदि तीनों भुजाएँ दी गई हों, तो पहले हम अर्ध-परिमाप ज्ञात करते हैं और फिर हम सूत्र का उपयोग करते हैं। आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

उदाहरण – त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तीन भुजाएँ 3 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं।

हल – मान लीजिए तीन भुजाएँ a = 3 सेमी, b = 5 सेमी, और c = 6 सेमी हैं।

त्रिभुज का अर्ध-परिमाप, s = (a + b + c)/2 = (3 + 5 + 6)/2 = 14/2 = 7 सेमी

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √7(7 – 3)(7 – 5)(7 – 6)

= √7(4)(2)(1)

= √(7×2×2×2×1)

= 2√(7×2×1)

= 2√14 वर्ग सेमी       उत्तर

नोट – हम जानते हैं कि अलग-अलग माप की तीनों भुजाओं वाला त्रिभुज विषमबाहु त्रिभुज होता है। उपरोक्त उदाहरण में, दिया गया त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

हीरोन के सूत्र द्वारा एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

यदि दिए गए त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों तो वह समद्विबाहु त्रिभुज होता है। हम एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र को छोटा कर सकते हैं। आइए देखें कि हम इसे कैसे कर सकते हैं।

माना △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है और इसकी भुजाएँ a, b, और b हैं। इस समद्विबाहु △ABC, में भुजाएँ AB और AC बराबर भुजाएँ हैं।

सबसे पहले, हम समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।

समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + b + b)/2 = (a + 2b)/2

अब, समद्विबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – b)

= √s(s – a)(s – b)²

= (s – b)√s(s – a)

चूँकि s = (a + 2b)/2 इसलिए,

= {(a + 2b/2) – b}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b)/2} – a]

= {(a + 2b – 2b)/2}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b – 2a)/2}]

= (a/2)√{(a + 2b)/2}[{(2b – a)/2}]

= (a/2)√{(2b + a)/2}{(2b – a)/2}

= (a/2)√[{(2b)² – a²}/4]

= (a/2)(1/2)√{4b² – a²}

= (a/4)√(4b² – a²)

समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a/4)√(4b² – a²)

उपरोक्त सूत्र में, b समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजा है। अर्ध-परिमाप ज्ञात किए बिना समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र बहुत सहायक है। समद्विबाहु त्रिभुज से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए हम सीधे इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

हीरोन के सूत्र द्वारा एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल

तीनों भुजाओं की समान माप वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। हम एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र को छोटा कर सकते हैं। आइए देखें कि हम इसे कैसे कर सकते हैं।

माना △ABC एक समबाहु त्रिभुज है और इसकी तीन भुजाएँ a, a और a हैं।

सबसे पहले, हम समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।

समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + a + a)/2 = 3a/2

अब, समबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – a)(s – a)

= √s(s – a)(s – a)²

= (s – a)√s(s – a)

चूँकि s = 3a/2 इसलिए,

= (3a/2 – a)√(3a/2)(3a/2 – a)

= {(3a – 2a)/2}√(3a/2){(3a – 2a)/2}

= (a/2)√(3a/2)(a/2)

= (a/2)√(3a²/4)

= (a/2)(a/2)√3

= (a²/4)√3

समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a²/4)√3

उपरोक्त सूत्र में, a समबाहु त्रिभुज की समान भुजा है। हम अर्ध-परिमाप ज्ञात किए बिना एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा दी गई हो तो सूत्र का सीधे प्रयोग किया जा सकता है।

हीरोन के सूत्र के उदाहरण

उदाहरण (1) यदि किसी त्रिभुज की दो भुजाएँ 7 सेमी और 10 सेमी हैं और परिमाप 30 सेमी है। तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल – माना त्रिभुज की दो भुजाएँ a = 7 सेमी और b = 10 सेमी हैं और तीसरी भुजा c है।

प्रश्न के अनुसार, त्रिभुज का परिमाप = 30 सेमी

या हम यह भी लिख सकते हैं, a + b + c = 30 सेमी

7 + 10 + c = 30

17 + c = 30

c = 30 – 17

c = 13 सेमी

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

यहाँ, s (अर्ध-परिमाप) = a+b+c / 2 = 30/2 = 15 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √15(15 – 7)(15 – 10)(15 – 13)

= √15(8)(5)(2)

= √3×5×2×2×2×5×2

= 5×2×2√3

= 20√3 सेमी²

अत: त्रिभुज का क्षेत्रफल 20√3 सेमी² है।          उत्तर

उदाहरण (2) एक त्रिभुजाकार मेज की भुजाएँ 3 : 5 : 7 के अनुपात में हैं और इसका परिमाप 300 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिये।

हल – माना एक त्रिभुजाकार मेज की भुजाएँ सेंटीमीटर में 3x, 5x और 7x हैं।

तब, त्रिभुज का परिमाप = 3x + 5x + 7x = 300 सेमी (दिया गया है)

15x = 300

x = 300/15

x = 20

तो, त्रिभुज की भुजाएँ हैं, 3x = 3×20 = 60 सेमी

5x = 5×20 = 100 सेमी

7x = 7×20 = 140 सेमी

अर्ध-परिमाप (s) = 60+100+140 / 2 = 300/2 = 150 सेमी

अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √150(150 – 60)(150 – 100)(150 – 140)

= √150(90)(50)(10)

= √150×90×50×10

= √2×3×5×5×2×3×3×5×2×5×5×2×5

= 2×2×3×5×5×5√3

= 1500√3 सेमी²

अत: त्रिभुजाकार मेज का क्षेत्रफल 1500√3 सेमी² है।         उत्तर

उदाहरण (3) एक समद्विबाहु त्रिभुज की तीन भुजाएँ 2 सेमी, 5 सेमी और 5 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल – माना समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ a = 2 सेमी और b = 5 सेमी हैं।

अब, हीरोन के सूत्र के अनुसार, समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a/4)√(4b² – a²)

= (2/4)√{4(5)² – (2)²}

= (1/2)√{4×25 – 4}

= (1/2)√{100 – 4}

= (1/2)√96

= (1/2)√16×6

= ½ × 4√6

= 2√6 सेमी²

अत: समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 2√6 सेमी² है।          उत्तर

नोट – हम समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरोन के मुख्य सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण (4) एक समबाहु त्रिभुज आकार के पार्क की प्रत्येक भुजा 80 मीटर है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल – मान लीजिए समबाहु त्रिभुज के आकार के पार्क की प्रत्येक भुजा a = 80 मीटर है।

अब, हीरोन के सूत्र द्वारा क्षेत्रफल = (a²/4)√3

= {(80)²/4}√3

= {6400/4}√3

= 1600√3 मीटर²

इसलिए, समबाहु त्रिभुज के आकार के पार्क का क्षेत्रफल 1600√3 मीटर² है।           उत्तर

नोट – समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हीरोन के मुख्य सूत्र का भी उपयोग कर सकते हैं।

हीरोन के सूत्र के अनुप्रयोग

हीरोन के सूत्र के अनुप्रयोगों में, हम विभिन्न चतुर्भुजों को त्रिभुजाकार भागों में विभाजित करके उनके क्षेत्रफल ज्ञात करेंगे। हम इन त्रिभुजाकार भागों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उसी हीरोन के सूत्र का उपयोग करेंगे। आइए इस पर आधारित कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं।

उदाहरण (1) एक पार्क PQRS का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें ∠R = 90°, PQ = 12 मीटर, QR = 15 मीटर, RS = 8 मीटर और PS = 7 मीटर हैं।

हल –

इस पार्क PQRS को दो त्रिभुजाकार भागों में विभाजित करने के लिए, हम बिंदु Q को बिंदु S से मिलाते  हैं।

QS को मिलाने के बाद, हम देख सकते हैं कि इन त्रिभुजाकार भागों में से एक समकोण त्रिभुज है। अब, हम पाइथागोरस प्रमेय द्वारा भुजा QS का माप ज्ञात कर सकते हैं।

△QRS में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

QS² = QR² + RS²

QS² = (15)² + (8)²

QS² = 225 + 64

QS = √289

QS = 17 मीटर

अब, हीरोन के सूत्र द्वारा △PQS का क्षेत्रफल जो एक विषमबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ 12 मीटर, 17 मीटर और 7 मीटर हैं।

पहले, अर्ध-परिमाप (s) = 12+17+7 / 2 = 36 / 2 = 18 मीटर

△PQS का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √18(18 – 12)(18 – 17)(18 – 7)

= √18(6)(1)(11)

= √2×3×3×2×3×11

= 2×3√3×11

= 6×√3×√11

= 6×1.73×3.32

= 34.46 मीटर² (लगभग)

अब, △QRS का क्षेत्रफल जो एक समकोण त्रिभुज है जिसका आधार QR = 15 मीटर और ऊँचाई RS = 8 मीटर है।

△QRS का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

= ½ × 15 × 8

= 15 × 4

= 60 मीटर²

पार्क PQRS का कुल क्षेत्रफल = △PQS का क्षेत्रफल + △QRS का क्षेत्रफल

= 34.46 + 60

= 94.46 मीटर²

इसलिए, पार्क PQRS का क्षेत्रफल 94.46 मीटर² है।         उत्तर

उदाहरण (2) चतुर्भुज ABCD में, AB = 4 सेमी, BC = 5 सेमी, CD = 5 सेमी, DA = 6 सेमी और AC = 7 सेमी। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल –

चतुर्भुज ABCD में, हम देख सकते हैं कि दो त्रिभुज △ABC और △ACD हैं। दोनों विषमबाहु त्रिभुज हैं। दोनों का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करेंगे।

सबसे पहले, △ABC का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ 4 सेमी, 5 सेमी और 7 सेमी हैं।

यहाँ, अर्ध-परिमाप (s) = 4+5+7 / 2 = 16/2 = 8 सेमी

अब, क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √8(8 – 4)(8 – 5)(8 – 7)

= √8(4)(3)(1)

= √2×2×2×2×2×3

= 2×2√2×3

= 4√6 सेमी²

△ACD का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ 7 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं।

अर्ध-परिमाप (s) = 7+5+6 / 2 = 18/2 = 9 सेमी

अब, क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

= √9(9 – 7)(9 – 5)(9 – 6)

= √9(2)(4)(3)

= √3×3×2×2×2×3

= 3×2√2×3

= 6√6 सेमी²

चतुर्भुज ABCD का कुल क्षेत्रफल = △ABC का क्षेत्रफल + △ACD का क्षेत्रफल

= 4√6 + 6√6

= 10√6

= 10×2.449

= 24.49 सेमी² (लगभग)

अत: चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल 24.49 सेमी² है।          उत्तर

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