परिचय
पिछली कक्षा में, हमने त्रिभुज, वर्ग, आयत, चतुर्भुज आदि जैसी कई अलग-अलग प्रकार की आकृतियों और उनके क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्रों का अध्ययन किया है। हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि यदि त्रिभुज का आधार और ऊँचाई दी गई हो तो उसका क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाता है। हम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए नीचे लिखे सूत्र का उपयोग करते हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई
यह सूत्र समकोण त्रिभुजों के लिए प्रत्यक्ष रूप से उपयोगी है। हम किसी अन्य त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात कर सकते हैं यदि उसकी ऊँचाई न दी गई हो? इस भाग में, हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग किए बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र का अध्ययन करेंगे।
हीरोन का सूत्र क्या है?
हीरोन का सूत्र गणितज्ञ हीरोन द्वारा दिया गया है। हीरोन के अनुसार, यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी हुई हों तो हम एक सूत्र की सहायता से उसका क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। इस सूत्र को हीरोन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।
सूत्र के अनुसार,
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
जहाँ, a, b, और c = त्रिभुज की भुजाएँ
s = त्रिभुज का अर्ध-परिमाप = (a + b + c)/2
नोट – 1) त्रिभुज का अर्ध-परिमाप त्रिभुज के परिमाप का आधा होता है।
2) त्रिभुज की तीन भुजाएँ a, b और c हैं। जहाँ भुजा a, शीर्ष A के विपरीत भुजा को दर्शाती है, जिसका अर्थ है भुजा BC। इसी प्रकार, भुजाएँ b और c, शीर्ष B और C के विपरीत भुजाओं को दर्शाती हैं जिसका अर्थ क्रमशः भुजाएँ AC और AB है।
3) हीरोन का सूत्र तब उपयोगी होता है जब त्रिभुज की ऊँचाई न दी गई हो या आसानी से ज्ञात न हो सके।
हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल
हीरोन के सूत्र की सहायता से हम त्रिभुज का क्षेत्रफल आसानी से ज्ञात कर सकते हैं। किसी भी त्रिभुज में, यदि तीनों भुजाएँ दी गई हों, तो पहले हम अर्ध-परिमाप ज्ञात करते हैं और फिर हम सूत्र का उपयोग करते हैं। आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।
उदाहरण – त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तीन भुजाएँ 3 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं।
हल – मान लीजिए तीन भुजाएँ a = 3 सेमी, b = 5 सेमी, और c = 6 सेमी हैं।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप, s = (a + b + c)/2 = (3 + 5 + 6)/2 = 14/2 = 7 सेमी
अब, त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)
= √7(7 – 3)(7 – 5)(7 – 6)
= √7(4)(2)(1)
= √(7×2×2×2×1)
= 2√(7×2×1)
= 2√14 वर्ग सेमी उत्तर
नोट – हम जानते हैं कि अलग-अलग माप की तीनों भुजाओं वाला त्रिभुज विषमबाहु त्रिभुज होता है। उपरोक्त उदाहरण में, दिया गया त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।
हीरोन के सूत्र द्वारा एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
यदि दिए गए त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हों तो वह समद्विबाहु त्रिभुज होता है। हम एक समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र को छोटा कर सकते हैं। आइए देखें कि हम इसे कैसे कर सकते हैं।
माना △ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है और इसकी भुजाएँ a, b, और b हैं। इस समद्विबाहु △ABC, में भुजाएँ AB और AC बराबर भुजाएँ हैं।
सबसे पहले, हम समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।
समद्विबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + b + b)/2 = (a + 2b)/2
अब, समद्विबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – b)
= √s(s – a)(s – b)2
= (s – b)√s(s – a)
चूँकि s = (a + 2b)/2 इसलिए,
= {(a + 2b/2) – b}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b)/2} – a]
= {(a + 2b – 2b)/2}√{(a + 2b)/2}[{(a + 2b – 2a)/2}]
= (a/2)√{(a + 2b)/2}[{(2b – a)/2}]
= (a/2)√{(2b + a)/2}{(2b – a)/2}
= (a/2)√[{(2b)2 – a2}/4]
= (a/2)(1/2)√{4b2 – a2}
= (a/4)√(4b2 – a2)
समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a/4)√(4b2 – a2)
उपरोक्त सूत्र में, b समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजा है। अर्ध-परिमाप ज्ञात किए बिना समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए यह सूत्र बहुत सहायक है। समद्विबाहु त्रिभुज से संबंधित प्रश्नों को हल करने के लिए हम सीधे इस सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।
हीरोन के सूत्र द्वारा एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
तीनों भुजाओं की समान माप वाला त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है। हम एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र को छोटा कर सकते हैं। आइए देखें कि हम इसे कैसे कर सकते हैं।
माना △ABC एक समबाहु त्रिभुज है और इसकी तीन भुजाएँ a, a और a हैं।
सबसे पहले, हम समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप ज्ञात करेंगे।
समबाहु △ABC का अर्ध-परिमाप, s = (a + a + a)/2 = 3a/2
अब, समबाहु △ABC का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – a)(s – a)
= √s(s – a)(s – a)2
= (s – a)√s(s – a)
चूँकि s = 3a/2 इसलिए,
= (3a/2 – a)√(3a/2)(3a/2 – a)
= {(3a – 2a)/2}√(3a/2){(3a – 2a)/2}
= (a/2)√(3a/2)(a/2)
= (a/2)√(3a2/4)
= (a/2)(a/2)√3
= (a2/4)√3
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (a2/4)√3
उपरोक्त सूत्र में, a समबाहु त्रिभुज की समान भुजा है। हम अर्ध-परिमाप ज्ञात किए बिना एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। यदि समबाहु त्रिभुज की भुजा दी गई हो तो सूत्र का सीधे प्रयोग किया जा सकता है।
हीरोन के सूत्र के उदाहरण
हीरोन के सूत्र के अनुप्रयोग
हीरोन का सूत्र कक्षा 9 (Heron’s Formula Class 9th) अँग्रेजी में
