वृत्त की जीवा द्वारा अंतरित कोण कक्षा 10 (Angle Made by a Chord of Circle Class 10th)

Vrit ki Jeeva Dwara Antarit Kon

एक वृत्त में, यदि हम एक जीवा खींचते हैं और जीवा के दोनों सिरों को तीसरे बिंदु से जोड़ते हैं जो केंद्र या वृत्त पर स्थित है। तब तीसरे बिंदु पर बना कोण, वृत्त की जीवा द्वारा अंतरित कोण (Angle Made By a Chord of Circle) होता है।

उपरोक्त आकृति में, ∠PRQ और ∠PSQ जीवा PQ द्वारा क्रमशः दीर्घ और लघु खंडों में बिंदु R और S पर अंतरित कोण हैं। ∠POQ जीवा PQ द्वारा वृत्त के केंद्र पर बनाया गया कोण है।

एक वृत्त में, यदि हम समान लंबाई की दो जीवाएँ खींचते हैं, तो वृत्त के केंद्र पर दोनों जीवाओं द्वारा अंतरित कोण बराबर होते हैं। इस कथन को हम वृत्त की जीवा द्वारा अंतरित कोण (Angle Made By a Chord of Circle) से संबंधित प्रमेय द्वारा सिद्ध कर सकते हैं।

प्रमेय 1) एक वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र पर समान कोण अंतरित करती हैं।

दिया गया है – जीवाएँ PQ = RS

सिद्ध करना है कि – ∠POQ = ∠ROS

उपपत्ति – △POQ और △ROS में,

PQ = RS (जीवाएँ बराबर दी गई हैं)

OP = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

OQ = OS (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

SSS नियम से, △POQ ≅ △ROS

इसलिए, सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग बराबर होंगे। (CPCT द्वारा)

अत:      ∠POQ = ∠ROS         इति सिद्धम              

उपरोक्त प्रमेय का विलोम भी सत्य है और यहाँ इसका प्रमाण है।

प्रमेय 2) यदि किसी वृत्त की जीवाओं द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण बराबर हों, तो जीवाएँ समान होती हैं।

दिया गया है – ∠POQ = ∠ROS

सिद्ध करना है कि – PQ = RS

उपपत्ति – △POQ और △ROS में,

OP = OR (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∠POQ = ∠ROS (कोण समान दिए गए हैं)

OQ = OS (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

SAS नियम से, △POQ ≅ △ROS

इसलिए, CPCT द्वारा,         PQ = RS इति सिद्धम

एक वृत्त में, यदि हम एक जीवा पर केंद्र से एक लंब खींचते हैं तो लम्ब उस जीवा को दो बराबर भागों में विभाजित करता है। इसका अर्थ है कि यह जीवा को समद्विभाजित करता है। इसे प्रमेय द्वारा सिद्ध किया जा सकता है।

प्रमेय 3) वृत्त के केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।

दिया गया है – PQ जीवा है और OM ⊥ PQ

सिद्ध करना है कि– PM = MQ

रचना – केंद्र O को P और Q से मिलाया।

उपपत्ति – △POM और △QOM में,

OP = OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∠OMP = ∠OMQ = 90° (दिया गया है OM ⊥ PQ)

OM = OM (उभयनिष्ठ भुजा)

RHS नियम से, △POM ≅ △QOM

इसलिए, CPCT द्वारा,       PM = MQ              इति सिद्धम

प्रमेय 4) वृत्त के केंद्र को जीवा के मध्य बिंदु से मिलाने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है।

दिया गया है – M जीवा PQ का मध्यबिंदु है, इसका अर्थ है PM = MQ

सिद्ध करना है कि– OM ⊥ PQ

रचना – केंद्र O को P और Q से मिलाया।

उपपत्ति – △POM और △QOM में,

OP = OQ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

PM = MQ (दिया गया है)

OM = OM (उभयनिष्ठ भुजा)

SSS नियम से, △POM ≅ △QOM

इसलिए, CPCT द्वारा, ∠OMP = ∠OMQ ————(1)

∠OMP + ∠OMQ = 180° (रैखिक कोण युग्म से)

∠OMP + ∠OMP = 180° [समीकरण (1) से]

2∠OMP = 180°

∠OMP = 180°/2 = 90°

इसलिए, ∠OMP = ∠OMQ = 90°

अत:          OM ⊥ PQ           इति सिद्धम

एक वृत्त में, यदि हम भिन्न-भिन्न लंबाई की जीवाएँ खींचते हैं तो हम देखते हैं कि जो जीवा लंबाई में छोटी होती है वह केंद्र से दूर होती है और वह जीवा जिसकी लंबाई अधिक होती है वह केंद्र के निकट होती है।

आकृति में, दो जीवाएँ PQ और RS खींची गई हैं।

जहाँ जीवा RS > जीवा PQ। दोनों जीवाओं की केंद्र से दूरी (केंद्र से खींचे गये लंब) क्रमशः OM और ON है। हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि दूरी OM > ON।

यह दर्शाता है कि जीवा PQ, RS से छोटी है इसलिए RS, PQ की तुलना में केंद्र के अधिक निकट है।

यदि जीवाएँ समान हों – यदि हम दो समान जीवाएँ खींचते हैं तो केंद्र से दोनों जीवाओं की दूरी समान होगी। इसे नीचे दी गई आकृति से समझा जा सकता है।

आकृति में, दो समान जीवाएँ PQ और RS हैं और केंद्र से उनकी दूरी क्रमशः OM और ON है। यदि हम दोनों दूरियों को मापें, तो हम पाएंगे कि दोनों दूरियाँ समान हैं। इसका अर्थ है कि समान जीवाओं की केंद्र से दूरी समान होती है।

प्रमेय 5) एक वृत्त की समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं।

दिया गया है – जीवाएँ AB = CD

सिद्ध करना है कि – OP = OQ

रचना – बिंदु A और D को केंद्र O से मिलाया।

उपपत्ति – ∵ OP ⊥ AB

∴ AP = PB = ½ AB (केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)

और OQ ⊥ CD

∴ CQ = QD = ½ CD (केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है)

यहाँ, AB = CD (दिया गया है)

∴ AP = QD    ————(1)

अब,  △APO और △DQO में,

AP = QD [समीकरण (1) से]

OA = OD [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ]

∠APO = ∠DQO = 90°

RHS नियम से, △APO ≅ △DQO

इसलिए, CPCT द्वारा,          OP = OQ               इति सिद्धम

नोट – सर्वांगसम वृत्तों में, समान जीवाएँ उनके संगत केंद्रों से समान दूरी पर होती हैं।

प्रमेय 6) एक वृत्त के केंद्र से समदूरस्थ जीवाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।

दिया गया है – OP = OQ

सिद्ध करना है कि – AB = CD

रचना – बिंदु A और D को केंद्र O से मिलाया।

उपपत्ति –   △APO और △DQO में,

OP = OQ (दिया गया है)

OA = OD (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

∠APO = ∠DQO = 90°

RHS नियम से, △APO ≅ △DQO

इसलिए, CPCT द्वारा,      AP = QD

दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर,

2AP = 2QD   [∵ AP = PB और CQ =QD]

AB = CD                 इति सिद्धम

नोट – सर्वांगसम वृत्तों की जीवाएँ जो संगत केंद्रों से समान दूरी पर होती हैं, लंबाई में बराबर होती हैं।

उदाहरण – दी गई आकृति में, केंद्र O वाले एक वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है। यदि OA ⊥ PQ, OB ⊥ RS, PQ ∥ RS, PQ = 10 cm और RS = 8 cm. तो AB ज्ञात कीजिए।

∵ OA ⊥ PQ और OB ⊥ RS

∴ PA = AQ = ½ PQ [केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]

= ½⨯10 = 5 सेमी

RB = BS = ½ RS [केंद्र से जीवा पर खींचा गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है]

= ½⨯8 = 4 सेमी               

त्रिज्या OP = OR = 6 सेमी

△PAO में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

OA² = OP² – PA²

OA² = (6)² – (5)²

OA² = 36 – 25 = 11

OA = √11 = 3.32 सेमी (लगभग)

अब △RBO में, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

OB² = OR² – RB²

OB² = (6)² – (4)²

OB² = 36 – 16 = 20

OB = √20 = √(4⨯5)  

OB = 2√5  = 2⨯2.2360 = 4.47 सेमी (लगभग)

इसलिए, AB = OA + OB

AB = 3.32 + 4.47

AB = 7.79 सेमी                 उत्तर

वृत्त की जीवा द्वारा अंतरित कोण (Angle Made By a Chord of Circle) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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