वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल कक्षा 10 (Areas Related to Circle Class 10th)

परिचय

पिछली कक्षाओं में हमने विभिन्न प्रकार की समतल आकृतियों जैसे वर्ग, आयत, त्रिभुज, वृत्त, समलंब चतुर्भुज, समचतुर्भुज आदि के परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात करने की कुछ विधियों का अध्ययन किया है। अपने दैनिक जीवन में हम अनेक वृत्ताकार वस्तुएँ जैसे अंगूठियां, चूड़ियां, प्लेट, पहिए, रोटी आदि देखते हैं। ये सभी वस्तुएँ वृत्ताकार आकृतियों का अध्ययन करने में सहायक होती हैं। इस कक्षा में, हम वृत्त की परिधि और क्षेत्रफल और वृत्तों के भाग से संबंधित क्षेत्रफलों (Areas Related to Circle) का अध्ययन करेंगे, जिन्हें त्रिज्यखंड और वृत्तखण्ड के रूप में जाना जाता है। हम वृत्तों या उनके भागों सहित संयुक्त समतल आकृतियों के क्षेत्रफल का भी अध्ययन करेंगे।

वृत्त का परिमाप

जैसा कि हम जानते हैं कि एक वृत्त की वृत्ताकार दूरी जो एक चक्कर में पूरी होती है, वृत्त का परिमाप कहलाती है। एक वृत्त के लिए, हम आमतौर पर परिमाप के बजाय ‘परिधि’ शब्द का उपयोग करते हैं। एक वृत्त की परिधि नीचे लिखे सूत्र के रूप में दी जाती है।

वृत्त की परिधि = 2πr

जहाँ, r = वृत्त की त्रिज्या

π (पाई) = स्थिरांक

π का मान 22/7 या 3.1416 (लगभग) होता है।

हम लिख सकते हैं, परिधि / 2r = π

या परिधि / व्यास = π (चूँकि व्यास, त्रिज्या का दोगुना होता है)

नोट – 1) परिधि और व्यास का अनुपात π के बराबर होता है जो कि एक स्थिरांक है।

2) π एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है।

उदाहरण – एक वृत्त की त्रिज्या 7 सेमी है। इसकी परिधि ज्ञात कीजिए।

हल – त्रिज्या (r) = 7 सेमी

वृत्त की परिधि = 2πr

= 2×(22/7)×7

= 2×22 = 44 सेमी                उत्तर

वृत्त का क्षेत्रफल

एक वृत्त के वृत्ताकार क्षेत्र के नीचे ढ़की सतह को वृत्त का क्षेत्रफल कहा जाता है। एक वृत्त का क्षेत्रफल नीचे लिखे सूत्र के रूप में दिया जाता है।

वृत्त का क्षेत्रफल = πr²

उदाहरण – एक वृत्ताकार प्लेट का व्यास 14 सेमी है। वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल – चूँकि व्यास (D) = 14 सेमी

इसलिए, त्रिज्या (r) = 14/2 = 7 सेमी

अब, वृत्ताकार प्लेट का क्षेत्रफल = πr²

= (22/7)×(7)²

= (22/7)×7×7

= 22×7 = 154 सेमी² उत्तर

वृत्त का त्रिज्यखंड

वृत्त का वह भाग जो दो त्रिज्याओं और उनके संगत चाप से बनता है, वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। आइए इसे एक आकृति की सहायता से समझते हैं।

केंद्र O वाला एक वृत्त दिया गया है। इस वृत्त में दो त्रिज्याएँ OA और OB हैं और संगत चाप AB है। इन दोनों त्रिज्याओं और संगत चाप द्वारा बनाया गया भाग OAB है जो इस वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। दो त्रिज्याओं के बीच बने कोण को त्रिज्यखंड का कोण कहते हैं। दो त्रिज्याएँ वृत्त को दो त्रिज्यखंडों में विभाजित करती हैं जिन्हें लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड कहा जाता है। दो त्रिज्याएँ वृत्ताकार लंबाई को भी दो चापों में विभाजित करती हैं जिन्हें लघु चाप और दीर्घ चाप कहा जाता है।

उपरोक्त आकृति में,

OAB = वृत्त का लघु त्रिज्यखंड

∠AOB = लघु त्रिज्यखंड का कोण

OACB = वृत्त का दीर्घ त्रिज्यखंड

AB = लघु चाप

ACB = दीर्घ चाप

∠AOB को 360° में से घटाकर दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण ज्ञात किया जा सकता है। अत: दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण 360° – ∠AOB है।

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

एक वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम नीचे वर्णित विधि की सहायता से सूत्र प्राप्त करेंगे।

मान लीजिए कि केंद्र O वाला एक वृत्त चित्र में दिया गया है। इस वृत्त की त्रिज्या r है और त्रिज्यखंड OAB का कोण ϴ या ∠AOB = ϴ है।

हम जानते हैं कि एक वृत्त का क्षेत्रफल πr² होता है। यदि हम पूरे वृत्त को एक त्रिज्यखंड मानते हैं तो केंद्र पर बना कोण जो 360° है त्रिज्यखंड का कोण होगा।

अब, ऐकिक विधि का उपयोग करते हुए,

यदि त्रिज्यखंड (केंद्र) का कोण 360° है, तो त्रिज्यखंड (वृत्त) का क्षेत्रफल = πr²

यदि त्रिज्यखंड का कोण 1° है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²/360°

और यदि त्रिज्यखंड का कोण ϴ है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (πr²/360°)×ϴ

इसलिए, एक वृत्त के कोण ϴ के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र

वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²×ϴ / 360°

त्रिज्या r और कोण ϴ के मान की सहायता से हम लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

नोट – 1) हम उपरोक्त सूत्र का उपयोग तब कर सकते हैं जब ϴ डिग्री में दिया गया हो। यदि ϴ रेडियन में दिया गया है तो हम 360° को 2π से बदल कर सूत्र को रेडियन में लिख सकते हैं क्योंकि रेडियन में 360° = 2π होता है। तब सूत्र होगा।
वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr²×ϴ / 2π
या हम लिख सकते हैं, वृत्त के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = r²×ϴ / 2

2) लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² – दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

3) दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = πr² – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 

हम उपरोक्त व्याख्या के समान ऐकिक विधि की सहायता से त्रिज्यखंड OAB के चाप AB की लंबाई भी ज्ञात कर सकते हैं।

हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि 2πr होती है। यदि हम वृत्त की संपूर्ण वृत्ताकार लंबाई को चाप मानते हैं तो केंद्र पर बना कोण जो 360° है, त्रिज्यखंड का कोण होगा।

अब, ऐकिक विधि का उपयोग करते हुए

यदि त्रिज्यखंड (केंद्र) का कोण 360° है, तो चाप की लंबाई (परिधि) = 2πr

यदि त्रिज्यखंड का कोण 1° है, तो चाप की लंबाई = 2πr/360°

और यदि त्रिज्यखंड का कोण ϴ है, तो चाप की लंबाई = (2πr/360°)×ϴ

इसलिए, वृत्त के कोण ϴ के संगत चाप की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र

वृत्त के चाप की लंबाई = 2πr×ϴ / 360°

त्रिज्या r और कोण ϴ के मान की सहायता से हम लघु चाप और दीर्घ चाप की लंबाई की गणना कर सकते हैं।

नोट – 1) जब ϴ रेडियन में हो, तो वृत्त के चाप की लंबाई = 2πr×ϴ / 2π

या हम लिख सकते हैं, वृत्त के चाप की लंबाई = r×ϴ

2) लघु चाप की लंबाई = 2πr – दीर्घ चाप की लंबाई

3) दीर्घ चाप की लंबाई = 2πr – लघु चाप की लंबाई

उदाहरण –

वृत्त के वृत्तखंड का क्षेत्रफल

संयुक्त समतल आकृतियों का क्षेत्रफल

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