परिचय
हम बीजीय व्यंजकों और समीकरणों से परिचित हैं क्योंकि हम इनका अध्ययन पिछली कक्षा में कर चुके हैं। बीजीय व्यंजक वे गणितीय व्यंजक हैं जिनमें संख्याओं और अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों का संयोजन होता है। समीकरणों में, बराबर का चिह्न (=) होता है जिसका प्रयोग बीजीय व्यंजकों में नहीं किया जाता है। एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable) के बारे में जानने से पहले हम बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के कुछ उदाहरण लेते है।
बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के कुछ उदाहरण।
बीजीय व्यंजक – 2x + 3, 3xz – y + z, 6x2, y2 – 1 + x, x + y + z
समीकरण – x + 5 = 1, 7y = 49, 2x + y = 8, 6x2 – 1 = 0, 9t/3 = 10
बीजीय व्यंजकों और समीकरणों के उपरोक्त उदाहरणों में, कुछ में एक से अधिक चर हैं और कुछ के घात का मान 1 से अधिक है। हमें इस कक्षा में एक चर वाले रैखिक समीकरणों का अध्ययन करना है। रैखिक समीकरण किस प्रकार के समीकरण होते हैं और एक चर वाले रैखिक समीकरणों के लिए क्या शर्तें होती हैं? आइए इसे विस्तृत समझते हैं।
एक चर वाले रैखिक समीकरण क्या होते हैं?
वे समीकरण जिनमें केवल एक चर होता है और जिनकी घात का मान केवल 1 होता है, एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear equation in one variable) कहलाते है। समीकरण की घात का मान 1 होना चाहिए अर्थात समीकरण में प्रयुक्त चर की घात 1 होनी चाहिए।
उदाहरण – 1) 4x + 8 = 2
2) 7y = 0
3) 2z – 1 = 9
4) 5 – 3x = 0
5) x + 6 = 7
उपरोक्त उदाहरणों की सहायता से, हम एक चर वाले रैखिक समीकरणों का सामान्य रूप बना सकते हैं जो कि ax + b = 0 है। इसे मानक रूप भी कहा जाता है।
कौन से समीकरण एक चर वाले रैखिक समीकरण नहीं होते हैं? आइए कुछ उदाहरणों से समझते हैं।
उदाहरण – 1) x2 – 2 = 3
2) 3xy = 8
3) 7z + y = 18
4) 4x3 + 4 = 64
5) x + y + z = 0
उपरोक्त सभी उदाहरण एक चर वाले रैखिक समीकरण नहीं हैं क्योंकि या तो इनमें एक से अधिक चर हैं या इनकी घात का मान 1 से अधिक है।
रैखिक समीकरणों की विशिष्ट चीजें और भाग क्या होते हैं? आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।
1) उपरोक्त समीकरण में, एक और केवल एक चर मौजूद है जो कि x है।
2) बराबर के चिन्ह के कारण इस व्यंजक को समीकरण कहते हैं।
3) चर को छोड़कर सभी संख्याएँ अचर कहलाती हैं।
4) बराबर चिन्ह के बायीं ओर लिखे व्यंजक को बायाँ पक्ष (LHS) कहा जाता है और बराबर चिन्ह के दायीं ओर लिखे गए व्यंजक को दायाँ पक्ष (RHS) कहा जाता है।
5) चर x के कुछ मानों के लिए, LHS और RHS के व्यंजको के मान समान होते हैं। ये मान दिए गए समीकरण के हल होते हैं।
एक चर वाले रैखिक समीकरणों को कैसे हल करें?
एक चर वाले रैखिक समीकरणों को हल करने की विधि बहुत सरल और आसान है। जब बराबर चिह्न के एक ओर चर लिखा हो और बराबर चिह्न के दूसरी ओर संख्याएँ लिखी हो तो हम इस प्रकार के रैखिक समीकरणों को कैसे हल करते हैं? आइए देखते हैं।
उदाहरण 1) समीकरण 4x = 20 को हल कीजिए।
हल – 4x = 20
संख्या 4 को दायें पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर,
x = 20/4
x = 5 उत्तर
उदाहरण 2) 3x + 2 = 23 का हल ज्ञात कीजिए।
हल – 3x + 2 = 23
संख्या 2 को दायें पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर,
3x = 23 – 2
3x = 21
दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करने पर,
3x/3 = 21/3
x = 7 उत्तर
उदाहरण 3) 7x – 3 = -16 को हल करें।
हल – 7x – 3 = -16
दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर,
7x – 3 + 3 = -16 + 3
7x = -13
7 को दायें पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर,
x = -13/7 उत्तर
उदाहरण 4) 9/7 = 2/7 + y को हल करें।
हल – 9/7 = 2/7 + y
2/7 को बायें पक्ष (LHS) में स्थानांतरित करने पर,
9/7 – 2/7 = y
हर समान हैं इसलिए हम सीधे अंशों को घटाते हैं।
(9 – 2)/7 = y
7/7 = y
1 = y
या y = 1 उत्तर
उदाहरण 5) 18 – 5z = -3 का हल ज्ञात कीजिए।
हल – 18 – 5z = -3
18 को दायें पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर,
-5z = -3 – 18
-5z = -21
-5 को दायें पक्ष (RHS) में स्थानांतरित करने पर,
z = -21 / -5
z = 21/5 उत्तर
नोट – जब हम समीकरण को हल करने के लिए कोई संक्रिया (Operation) करते हैं, तो हम समीकरण को संतुलित करने के लिए उस संक्रिया को दोनों पक्षों (LHS और RHS) में करते हैं। जैसे किसी संख्या को समीकरण में जोड़ना, किसी संख्या को घटाना, गुणा करना और किसी संख्या का भाग देना।
एक चर वाले विभिन्न प्रकार के रैखिक समीकरणों का हल
1) जब चर बराबर चिह्न के दोनों तरफ हो
2) जब समीकरण रैखिक रूप में न हो
कुछ अनुप्रयोग
उदाहरण
एक चर वाले रैखिक समीकरण कक्षा 8 (Linear Equation in One Variable Class 8th) अँग्रेजी में
एक चर वाले रैखिक समीकरण (Linear Equation in One Variable) के बारे में अधिक जानकारी
