दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कक्षा 10 (Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10th)

जैसा कि हम पिछली कक्षाओं में पढ़ चुके हैं, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म से परिचित हैं। वह रैखिक समीकरण जिसमें दो चर होते है, उसे दो चर वाली रैखिक समीकरण कहा जाता है। कक्षा 10वीं में, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables), दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म का आलेखीय विधि और बीजगणितीय विधियों द्वारा हल का अध्ययन करेंगे।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म (Pair of Linear Equations in Two Variables)

दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप ax + by + c = 0 होता है, जहाँ a, b और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a, b ≠ 0 (हम अक्सर a, b ≠ 0 को a² + b² ≠ 0 से दर्शाते हैं) वह समीकरण जिसे ax + by + c = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, दो चर x और y में रैखिक समीकरण कहलाता है। दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं।

2x + 5y + 9 = 0

x – 3y = 8

4x – y – 10 = 0

x + y = 0

7x = 6 या 7x – 0y = 6

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में दो रैखिक समीकरण होते हैं। हम जानते हैं कि दो चर वाले रैखिक समीकरण का हल, मानों का एक युग्म होता है, एक मान x के लिए और दूसरा मान y के लिए। x और y के दोनों मान संबंधित रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म में, मानों के दो युग्म होंगे, प्रत्येक समीकरण के लिए एक युग्म।

उदाहरण के लिए, यदि हम समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 के बायें पक्ष (LHS) में x = -2 और y = -1 को प्रतिस्थापित करते हैं। तब

LHS = 2x + 5y + 9 = 2(-2) + 5(-1) + 9 = – 4 + (-5) + 9 = – 4 – 5 + 9 = – 9 + 9 = 0

RHS = 0

0 = 0

LHS = RHS

हम देख सकते हैं कि बायां पक्ष (LHS) समीकरण के दायें पक्ष (RHS) के बराबर है। इसलिए, x = -2 और y = -1 समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 का एक हल है।

अब यदि हम समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 में x = 1 और y = 1 को प्रतिस्थापित करें। तब

LHS = 2(1) + 5(1) + 9 = 2 + 5 + 9 = 16

बायां पक्ष (LHS) समीकरण के दायें पक्ष (RHS) के बराबर नहीं है। इसलिए, x = 1 और y = 1 समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 का हल नहीं है।

ज्यामितीय रूप से, बिंदु x = -2 और y = -1 या (-2, -1) समीकरण 2x + 5y + 9 = 0 को निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित है क्योंकि यह इस समीकरण का एक हल है और बिंदु (1, 1 ) इस रेखा पर स्थित नहीं है क्योंकि यह इस समीकरण का हल नहीं है।

इसलिए, रैखिक समीकरण का प्रत्येक हल एक बिंदु है जो इसे निरूपित करने वाली रेखा पर स्थित होता है।

सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि किसी भी दो चर वाले रैखिक समीकरण जैसे ax + by + c = 0 के लिए, इस समीकरण का प्रत्येक हल (x, y) एक बिंदु के संगत होता है जो समीकरण को निरूपति करने वाली रेखा पर स्थित होता है, और विलोमतः भी ऐसा होता है।

यदि दो रैखिक समीकरण समान दो चरों जैसे x और y में हों तो इस प्रकार के समीकरणों को दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म कहा जाता है।

दो चर x और y वाले रैखिक समीकरण युग्म का सामान्य रूप इस प्रकार दिया जाता है।

a₁x + b₁y + c₁ = 0

a₂x + b₂y + c₂ = 0

जहाँ a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂ वास्तविक संख्याएँ हैं और a₁, b₁ ≠ 0 (a₁² + b₁² ≠ 0), a₂, b₂ ≠ 0 (a₂² + b₂² ≠ 0)

कुछ उदाहरण – x + 5y + 8 = 0 और 3x + 2y – 4 = 0

6x – y = 7 और 2x – 9y = 0

-x + y = 1 और 3x – 8 = 0

y = 4 और 2y + 5x = -2

हम जानते हैं कि एक रैखिक समीकरण का आलेखीय निरूपण एक सीधी रेखा होता है और दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के लिए एक साथ दो सीधी रेखाएँ होंगी। लेकिन वे ज्यामितीय रूप से कैसे दिखेंगी?

ज्यामितीय रूप से, यदि एक समतल में दो सीधी रेखाएँ एक साथ मौजूद हों तो तीन संभावनाएँ हो सकती हैं।

{1} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करेगी।

{2} दोनों रेखाएँ एक दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करेगी, अर्थात वे समानांतर होंगी।

{3} दोनों रेखाएँ आपस में संपाती होंगी।

हम रैखिक समीकरणों के एक युग्म को दो सीधी रेखाओं के रूप में आलेखित कर सकते हैं और रेखाएँ प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समांतर हो सकती हैं, या संपाती हो सकती है जैसा कि उपरोक्त आकृतियों में दिखाया गया हैं।

रैखिक समीकरण युग्म को हल करने के लिए आलेखीय विधि

हम दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से कैसे हल कर सकते हैं? प्रत्येक स्थिति में रैखिक समीकरण युग्म का हल क्या होगा? आइए कुछ उदाहरणों की मदद से इन सवालों के जवाब दें।

उदाहरण {1} रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल कीजिए और जाँच कीजिए कि वे प्रतिच्छेदी हैं, समान्तर हैं या संपाती हैं।

2x + y = 4

x – 2y – 7 = 0

हल – सबसे पहले हम दोनों समीकरणों से x और y के मान ज्ञात करते हैं। मानों को ज्ञात करने के लिए, हम एक चर के किसी भी मान को प्रतिस्थापित करते हैं और दूसरे चर का मान प्राप्त करते हैं। हम दो तालिकायें बनाते हैं, प्रत्येक समीकरण के लिए एक।

2x + y = 4

y = 4 – 2x

x	0	1	2
y	4	2	0

x – 2y – 7 = 0

x = 7 + 2y

y	0	-1	-2
x	7	5	3

अब हम दोनों तालिकाओं के मानों को एक-एक करके आलेखित करते हैं। सबसे पहले, हम पहली तालिका के मानों को आलेखित करते हैं और उसके बाद दूसरी तालिका के मानों को आलेखित करते हैं।

हम दोनों तालिकाओं से बिंदु A(0, 4), B(1, 2), C(2, 0) और P(7, 0), Q(5, -1), R(3, -2) को आलेखित करते हैं। अब, हम बिंदुओं A, B, C, और P, Q, R को मिलाते हैं। हमें दो रेखाएँ मिलती हैं जो समीकरण 2x + y = 4 और x – 2y – 7 = 0 को निरूपति करती हैं।

उपरोक्त ग्राफ से, हम देख सकते हैं कि दोनों समीकरणों को निरूपति करने वाली दो रेखाएँ एक दूसरे को बिंदु R(3, -2) पर प्रतिच्छेद कर रही हैं। इसका अर्थ है कि यह दोनों रेखाओं पर उभयनिष्ठ बिंदु है। इससे पता चलता है कि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के इस युग्म के लिए एक और केवल एक ही हल (अद्वितीय हल) (x = 3 और y = -2) है।

हम इसे बीजीय रूप से भी सत्यापित कर सकते हैं कि x = 3 और y = -2 दिए गए समीकरण युग्म का हल है। प्रत्येक समीकरण में x और y के मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

2x + y = 4

2×3 + (-2) = 4

6 – 2 = 4

4 = 4

LHS = RHS

x – 2y – 7 = 0

3 – 2×(-2) – 7 = 0

3 – (-4) – 7 = 0

3 + 4 – 7 = 0

7 – 7 = 0

0 = 0

LHS = RHS

हम देख सकते हैं कि x = 3 और y = -2 दोनों समीकरणों को संतुष्ट कर रहे हैं। अत: x = 3 और y = -2 दिए गए दोनों समीकरणों का हल है। उत्तर

उदाहरण {2} रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल कीजिए और जाँच कीजिए कि वे प्रतिच्छेदी हैं, समान्तर हैं या संपाती हैं।

x + 2y = 5

2x + 4y = 10

x + 2y = 5

x = 5 – 2y

y	0	1	2
x	5	3	1

2x + 4y = 10

x = 10 – 4y / 2

y	0	-1	2
x	5	7	1

हम दोनों तालिकाओं से बिंदुओं A(5, 0), B(3, 1), C(1, 2) और P(5, 0), Q(7, -1), R(1, 2) को आलेखित करते हैं। अब, हम बिंदुओं A, B, C, और P, Q, R को मिलाते हैं। हमें दो रेखाएँ मिलती हैं जो समीकरण x + 2y = 5 और 2x + 4y = 10 को निरूपित करती हैं।

उपरोक्त ग्राफ से हम देख सकते हैं कि दोनों समीकरणों को निरूपित करने वाली दो रेखाएं एक-दूसरे के संपाती हैं। इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु दोनों रेखाओं पर उभयनिष्ठ बिंदु है। इससे पता चलता है कि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के इस युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल हैं।

यदि हम दूसरे समीकरण 2x + 4y = 10 को 2 से विभाजित करते हैं, तो हमें x + 2y = 5 प्राप्त होता है, जो पहले समीकरण (x + 2y = 5) के समान है। इससे पता चलता है कि दोनों समीकरण समतुल्य हैं।

उदाहरण {3} रैखिक समीकरण युग्म को आलेखीय रूप से हल कीजिए और जाँच कीजिए कि वे प्रतिच्छेदी हैं, समान्तर हैं या संपाती हैं।

x + 3y = 5

2x + 6y = 12

x + 3y = 5

x = 5 – 3y

y	0	1	2
x	5	2	-1

2x + 6y = 12

x = 12 – 6y / 2

y	0	1	2
x	6	3	0

हम दोनों तालिकाओं से बिंदुओं A(5, 0), B(2, 1), C(-1, 2) और P(6,0), Q(3, 1), R(0, 2) को आलेखित करते हैं। अब, हम बिंदुओं A, B, C, और P, Q, R को मिलाते हैं। हमें दो रेखाएँ मिलती हैं जो समीकरण x + 3y = 5 और 2x + 6y = 12 को निरूपित करती हैं।

उपरोक्त ग्राफ से, हम देख सकते हैं कि दोनों समीकरणों को निरूपित करने वाली दो रेखाएँ एक दूसरे के समानांतर हैं। इसका अर्थ है कि दोनों रेखाओं का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। इससे पता चलता है कि दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के इस युग्म का कोई हल नहीं है।

नोट – {1} दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का एक युग्म, जिसका कोई हल हो, रैखिक समीकरणों का संगत युग्म कहलाता है।

{2} दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, जिसका कोई हल नहीं है, रैखिक समीकरणों का असंगत युग्म कहलाता है।

{3} उदाहरण {1} में, केवल एक ही हल है इसलिए रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है। उदाहरण {2} में, अपरिमित रूप से कई हल हैं इसलिए युग्म रैखिक समीकरणों का आश्रित युग्म है और आश्रित युग्म हमेशा एक संगत युग्म होता है। उदाहरण {3} में, कोई हल नहीं है इसलिए रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

अब हम ऊपर हल किए गए तीनों उदाहरणों में a₁/a₂, b₁/b₂, और c₁/c₂ के मानों की तुलना करते हैं। जहाँ a₁, b₁, c₁ और a₂, b₂, c₂ दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म के गुणांक हैं। हम निम्नलिखित तुलना तालिका बनाते हैं जो हमें रैखिक समीकरण युग्म के व्यवहार को ज्ञात करने में मदद करती है।

क्र. सं.	समीकरण युग्म	a₁/a₂	b₁/b₂	c₁/c₂	अनुपातों की तुलना	ग्राफीय निरूपण	बीजगणितीय निरूपण	व्‍यवहार
1.	2x + y – 4 = 0 x – 2y – 7 = 0	2/1	1/-2	-4/-7	a₁/a₂ ≠ b₁/b₂	प्रतिच्छेदी रेखाएँ	केवल एक हल (अद्वितीय हल)	संगत
2.	x + 2y – 5 = 0 2x + 4y – 10 = 0	1/2	2/4	-5/-10	a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂	संपाती रेखाएँ	अपरिमित रूप से अनेक हल (अनंत हल)	संगत
3.	x + 3y – 5 = 0 2x + 6y – 12 = 0	1/2	3/6	-5/-12	a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂	समांतर रेखाएँ	कोई हल नहीं	असंगत