वृत्त की परिधि कक्षा 10 (The Circumference of Circle Class 10th)

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Vrit Kee Paridhi

परिचय

हम अपने दैनिक जीवन में कई वृत्ताकार वस्तुओं जैसे अंगूठियां, चूड़ियां, सिक्के, पहिए आदि का उपयोग करते हैं। यदि हम उनकी वृत्ताकार लंबाई को मापना चाहते हैं तो हम यह कैसे कर सकते हैं? इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए यहां एक गतिविधि दी गई है। यदि हमें किसी पहिये की वृत्ताकार लंबाई (The Circumference of Circle) मापनी है तो हम पहिये को फर्श पर रखेंगे और उस पर एक बिंदु P अंकित करेंगे जहाँ वह फर्श को छू रहा है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

वृत्त की परिधि (THE CIRCUMFERENCE OF CIRCLE)

अब हम पहिये को एक दिशा में घुमाते हैं। बिंदु P भी पहिये के साथ घूम रहा है जिसे हम चित्र में देख सकते हैं। एक चक्कर में, जब बिंदु P फिर से पहली स्थिति में आ जाता है तो हम पहिये को रोक देंगे। प्रारंभिक बिंदु से अंतिम बिंदु तक की दूरी AB है। यह दूरी पहिए की वृत्ताकार लंबाई के बराबर होगी। पहिये की इस वृत्ताकार लंबाई को वृत्त की परिधि कहते हैं।

वृत्त की परिधि (THE CIRCUMFERENCE OF CIRCLE)

वृत्त की परिधि का सूत्र

यदि हम मानते हैं कि पहिया केंद्र के सापेक्ष घूमता है और पहिये की त्रिज्या (r) एक चक्कर पूरा करती है और एक घुमाव में बना कोण 2π (360°) है तो

वृत्त की परिधि = 2π×r = 2πr

और पहिये का व्यास (D) (180°) कोण से एक चक्कर पूरा करता है, तब

वृत्त की परिधि = π×D = πD

या परिधि/व्यास = π [परिधि और व्यास का अनुपात, अचर (π) है]

इसका अर्थ है कि किसी वृत्ताकार वस्तु की परिधि एक चक्कर में तय की गई दूरी के बराबर होती है।

नोट -1) त्रिज्या व्यास की आधी होती है।

2) π का मान 22/7 होता है जो 3.14 (लगभग) के बराबर होता है। महान भारतीय गणितज्ञ आर्यभट्ट द्वारा दिया गया π का अधिक सटीक मान 3.1416 है।

3) π एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है।

कुछ उदाहरण

उदाहरण 1) वृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 7 सेमी है।

हल – दी हुई त्रिज्या (r) = 7 सेमी

वृत्त की परिधि = 2πr  

= 2×(22/7)×7

= 2×22

= 44 सेमी                                      

अत: वृत्त की परिधि 44 सेमी है।           उत्तर

नोट – यदि प्रश्न में नहीं दिया गया है तो हम π = 22/7 के मान का उपयोग करते हैं।

उदाहरण 2) वृत्त की परिधि 154 सेमी है। इसका व्यास ज्ञात कीजिए।

हल – यहाँ, वृत्त की परिधि = 154 सेमी

इसलिए,   2πr = 154 सेमी

2×(22/7)×r = 154

r = 154×7 / 2×22

r = 7×7 / 2 = 49/2 सेमी

हम जानते हैं व्यास (D) = 2×r

D = 2× 49/2

D = 49 सेमी

अत: वृत्त का व्यास 49 सेमी है।           उत्तर

उदाहरण 3) साइकिल का एक पहिया 12 किमी की दूरी को पूरा करने के लिए 4000 चक्कर लगाता है। पहिए की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल – दिया गया है, चक्करों की संख्या = 4000

तय की गई दूरी = 12 किमी

पहिये की त्रिज्या (r) =?

∵ 4000 चक्करों में तय की गई दूरी = 12 किमी

∴ 1 चक्कर में तय की गई दूरी = 12/4000 किमी = (12/4000) ×1000×100 सेमी

इसलिए, 1 चक्कर में तय की गई दूरी = 300 सेमी

हम जानते हैं कि वृत्त की परिधि = एक चक्कर में तय की गई दूरी

2πr = 300 सेमी

2×(22/7)×r = 300 सेमी

r = 300×7 / 2×22 = 150×7 / 22 = 75×7 / 11 = 525/11

r = 47.72 सेमी

अत: पहिए की त्रिज्या 47.72 सेमी है।        उत्तर

अर्धवृत्त का परिमाप

परिधि के बजाय, अर्धवृत्त के लिए, परिमाप अधिक उपयुक्त शब्द है क्योंकि इसमें व्यास भी शामिल होता है।

अर्धवृत्त का परिमाप, अर्ध वृत्ताकार दूरी और व्यास का योग होता है।

अब अर्धवृत्त की अर्ध वृत्ताकार दूरी = वृत्त की परिधि का आधा = 2πr/2 = πr = πD/2

और व्यास = D = 2r

अतः अर्धवृत्त का परिमाप = πD/2 + D                                                     

या अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r

अर्धवृत्त का परिमाप (PERIMETER OF SEMICIRCLE)

कुछ उदाहरण

उदाहरण 1) एक अर्धवृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 35 सेमी है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल – त्रिज्या (r) = 35 सेमी

इसलिए, अर्धवृत्ताकार पार्क का परिमाप = πr + 2r   

= 22/7 ×35 + 2×35

= 22×5 + 70

= 110 + 70

= 180 सेमी                         

अत: अर्धवृत्ताकार पार्क का परिमाप 180 सेमी है।          उत्तर

उदाहरण 2) एक अर्धवृत्त का व्यास 14 सेमी है। परिधि ज्ञात कीजिये।

हल – यहाँ व्यास (D) = 14 सेमी

इसलिए, अर्धवृत्त का परिमाप = πD/2 + D

= 22/7 + 14 = 11×2 + 14

= 22 + 14

= 36 सेमी

अतः अर्धवृत्त का परिमाप 36 सेमी है।            उत्तर

उदाहरण 3) यदि एक अर्धवृत्त का परिमाप 144 सेमी है, तो उसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल – अर्धवृत्त का परिमाप = 144 सेमी

πr + 2r = 144 सेमी 

22/7 ×r + 2×r = 144 सेमी  

r(22/7 + 2) = 144

r{(22+14)/7} = 144

r(36/7) = 144

r = 144× 7/36

r = 4×7

r = 28 सेमी

अत: अर्धवृत्त की त्रिज्या 28 सेमी है।            उत्तर

वृत्त की परिधि (The Circumference of Circle) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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