त्रिभुज और इसके गुण कक्षा 10 (The Triangle and its Properties Class 10th)

Tribhuj Aur Isake Gun

परिचय

त्रिभुज और इसके गुण (The Triangle and its Properties) को समझने के लिए हम इसकी परिभाषा, प्रकार, त्रिभुज की माध्यिका और शीर्षलम्ब, परिमाप, क्षेत्रफल आदि का अध्ययन करेंगे।

परिभाषा – तीन रेखाखंडो से बनी एक बंद आकृति को त्रिभुज कहते है। इसकी तीन भुजाएँ, तीन कोण और तीन शीर्ष होते हैं। यहाँ, त्रिभुज ABC नीचे दर्शाया गया है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

तीन भुजाएँ – AB, BC, CA

तीन कोण – ∠A, ∠B, ∠C

तीन शीर्ष – A, B, C

त्रिभुजों का वर्गीकरण

 भुजाओं के आधार पर

विषमबाहु त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें तीनों भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की होती हैं, विषमबाहु त्रिभुज कहलाता है। सभी अलग-अलग भुजाओं की वजह से, तीनों कोण भी अलग-अलग माप के होते हैं।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

समद्विबाहु त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें कोई भी दो भुजाएँ समान लंबाई की हों, समद्विबाहु त्रिभुज कहलाता है। दो समान भुजाओं के कारण, समद्विबाहु त्रिभुज में समान भुजाओं के सम्मुख कोण समान माप के होते हैं।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

समबाहु त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें तीनों भुजाएँ समान लंबाई की हों, समबाहु त्रिभुज कहलाता है। सभी समान भुजाओं के कारण, समबाहु त्रिभुज में सभी तीनो कोण समान माप (प्रत्येक 60°) के होते हैं।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

कोणों के आधार पर

न्यून कोण त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें तीनों कोण न्यून कोण होते हैं (प्रत्येक कोण 90° से कम होता है), न्यून कोण त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

अधिक कोण त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें कोई एक कोण 90° से अधिक होता है, अधिक कोण त्रिभुज कहलाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

यहाँ, ∠C = 120° (अधिक कोण)

समकोण त्रिभुज – वह त्रिभुज जिसमें कोई एक कोण 90° के बराबर होता है, उसे समकोण त्रिभुज कहा जाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

यहाँ, ∠B = 90° (समकोण)

त्रिभुज की माध्यिका

वह रेखाखण्ड जो किसी त्रिभुज के शीर्ष को उसके सम्मुख भुजा के मध्य-बिंदु से जोड़ता है, उसे त्रिभुज की माध्यिका कहा जाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

उपरोक्त आकृति में, AD – माध्यिका

BD = DC (∵ D, BC का मध्य बिंदु है)

त्रिभुज का शीर्षलम्ब

एक त्रिभुज के शीर्ष से इसकी सम्मुख भुजा पर 90° (समकोण) के कोण पर खींचे गए रेखा खंड को त्रिभुज का शीर्षलम्ब कहा जाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

उपरोक्त आकृति में, PS – शीर्षलम्ब

PS⊥QR

QS≠SR (∵ S, QR का मध्य-बिंदु नहीं है)

प्रश्न 1) एक त्रिभुज में कितने शीर्षलम्ब खींचे जा सकते हैं?

उत्तर – 3

प्रश्न 2) एक त्रिभुज में कितनी माध्यिकाएँ खींची जा सकती हैं?

उत्तर – 3

त्रिभुज का बाह्य कोण और इसके गुण 

त्रिभुज का बाह्य कोण – एक त्रिभुज में, यदि उसके शीर्ष से एक ओर एक भुजा को बढ़ाया जाता है तो उस शीर्ष पर बाहरी भाग में बने कोण को त्रिभुज का बाह्य कोण कहा जाता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

इस पर आधारित प्रमेय

कथन – एक त्रिभुज का बाह्य कोण इसके अन्तः सम्मुख कोण के योग के बराबर होता है। 

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

दिया गया है – △ABC में, बाह्य कोण – ∠ACD और अन्तः सम्मुख कोण – ∠1 और ∠2 है।

सिद्ध करना है कि – ∠ACD = ∠1 + ∠2

रचना – CE∥AB खींची। इसलिए माना ∠ACE = ∠x और ∠ECD = ∠y

उपपत्ति – ∵ CE∥AB

∴ ∠1 = ∠x (अन्तः एकान्तर कोण बराबर होते है)……………..(1)

और ∠2 = ∠y (संगत कोण बराबर होते है)……………….(2)

समीकरण (1) और (2) को जोड़ने पर,

∠1 + ∠2 = ∠x + ∠y

∠1 + ∠2 = ∠ACD                 

उपरोक्त समीकरण त्रिभुज के बाह्य कोण गुण को दर्शाता है।        इति सिद्धम

उदाहरण 1) X का मान ज्ञात कीजिये?

हल – बाह्य कोण गुण द्वारा,

X = 30° + 40°

X = 70°   उत्तर

उदाहरण 2) X का मान ज्ञात कीजिये?

हल – बाह्य कोण गुण द्वारा,

50° + X = 110°

X = 110° – 50°

X = 60°    उत्तर

त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग गुण 

कथन – एक त्रिभुज के तीनो कोणों का योग 180° होता है।

त्रिभुज और इसके गुण (THE TRIANGLE AND ITS PROPERTIES)

दिया गया है – ∠1, ∠2, ∠3, ΔABC के कोण हैं। भुजा BC को D तक बढ़ाया गया है, और ∠4 बाह्य कोण है।

सिद्ध करना है कि – ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

उपपत्ति त्रिभुज के बाह्य कोण गुण द्वारा,

∠1 + ∠2 = ∠4 ……………..(1)

∠3 दोनों ओर जोड़ने पर, ∠1 + ∠2 + ∠3 = ∠4 + ∠3 …………….(2)

लेकिन रैखिक कोण युग्म द्वारा,    ∠3 + ∠4 = 180° …………….(3)

इसलिए, समीकरण (2) और (3) द्वारा,

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°

यह त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग गुण है।       इति सिद्धम

उदाहरण 1) X का मान ज्ञात कीजिये?

हल – त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग गुण द्वारा,

X + 50° + 60° = 180°

X + 110° = 180°

X = 180° – 110°

X = 70°    उत्तर

उदाहरण 2) X का मान ज्ञात कीजिये?

हल – त्रिभुज के अन्तः कोणों का योग गुण द्वारा,

X + X + X = 180°

3X = 180°

X = 180°/3

X = 60°    उत्तर

उपरोक्त त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

त्रिभुज के अन्य गुण

➞ त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओ का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।

➞ त्रिभुज की किन्ही भी दो भुजाओ का अंतर हमेशा तीसरी भुजा से कम होता है।

➞ त्रिभुज के सभी बाह्य कोणों का योग 360° होता है।

त्रिभुज का परिमाप

त्रिभुज का परिमाप त्रिभुज की तीनों भुजाओ का योग होता है। एक त्रिभुज के परिमाप की गणना लंबाई इकाई में की जाती है।

परिमाप = तीनों भुजाओ का योग

△ABC के लिए, AB, BC, CA भुजाएँ होंगी।

तो परिमाप = AB + BC + CA 

उदाहरण – दिए गए त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल परिमाप = AB + BC + CA

परिमाप = 4 सेमी + 6 सेमी + 5 सेमी

परिमाप = 15 सेमी    उत्तर

त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज की तीनो भुजाओ से घिरा हुआ भाग, त्रिभुज का क्षेत्रफल होता है। त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना वर्ग इकाई में की जाती है।

त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के दो तरीके हैं –

➊ जब आधार और ऊंचाई दी गई हो।

➋ जब तीनों भुजाएँ दी गई हो।

जब आधार और ऊंचाई दी गई हो – यदि किसी त्रिभुज का आधार और ऊँचाई दी गई है तो

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½⨯आधार⨯ऊंचाई   वर्ग इकाई

उदाहरण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 8 सेमी और ऊंचाई 5 सेमी है।

हल – यहाँ, आधार = 8 सेमी और ऊंचाई = 5 सेमी

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½⨯आधार⨯ऊंचाई  

= ½⨯8 सेमी⨯5 सेमी

= 4⨯5

= 20 वर्ग सेमी या 20 सेमी2 उत्तर

जब तीनों भुजाएँ दी गई हो – जब तीनो भुजाएँ दी गई हैं तो हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हीरॉन के सूत्र का उपयोग करते हैं।

हीरॉन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)

जहाँ,  s = त्रिभुज का अर्ध-परिमाप

s = a+b+c/2         

a, b, c = त्रिभुज की भुजाएँ

उदाहरण – त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसके भुजाएँ 3 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं

हल – यहाँ a = 3 सेमी, b = 5 सेमी और c = 6 सेमी

तो अर्ध-परिमाप (s) = 3+5+6/2 = 14/2 = 7 सेमी

अब त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)

= √7(7-3)(7-5)(7-6)

= √7(4)(2)(1)    

= √7⨯2⨯2⨯2

= 2√14 सेमी 2    उत्तर

त्रिभुज और इसके गुण (The Triangle and its Properties) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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