दो चरों वाले रैखिक समीकरण कक्षा 9 (Linear Equations of two Variables Class 9th)

वह रैखिक समीकरण जिसमें दो चर होते है उसे दो चरों वाला रैखिक समीकरण (Linear Equations of two Variables) कहा जाता है। उदाहरण – (1) 2x + 3y = 8 (2) a – 4b + 3 = 0 (3) 5u – v – 2 = 0
जिस समीकरण की घात (चर की अधिकतम घात) एक होती है, वह रैखिक समीकरण (Linear Equation) कहलाता है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का मानक रूप (Standard Form of Linear Equations of two Variables)

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का मानक रूप इस प्रकार दिया जाता है:

ax + by + c = 0

जहाँ a, b, और c वास्तविक संख्याएँ हैं और a, b ≠ 0
हम यह भी कह सकते हैं कि जिस समीकरण को ax + by + c = 0 के रूप में रखा जा सकता है, उसे दो चरों वाला रैखिक समीकरण (Linear Equations of two Variables) कहते हैं।

उदाहरण – निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखिए और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मानों को इंगित कीजिए:

(i) 3x + 4y = 7 (ii) x – 5 = 2y (iii) 8 = y – 9x (iv) 10x = y (v) y = 1 (vi) 3 – 4x = 0

हल – (i) 3x + 4y = 7

हम ऐसे भी लिख सकते हैं 3x + 4y – 7 = 0, यहाँ, a = 3, b = 4 और c = -7

(ii) x – 5 = 2y

हम ऐसे भी लिख सकते हैं x – 2y – 5 = 0, यहाँ, a = 1, b = -2 और c = -5

(iii) 8 = y – 9x

हम ऐसे भी लिख सकते हैं 9x – y + 8 = 0, यहाँ, a = 9, b = -1 और c = 8

(iv) 10x = y

हम ऐसे भी लिख सकते हैं 10x – y + 0 = 0, यहाँ, a = 10, b = -1 और c = 0

(v) y = 1

हम ऐसे भी लिख सकते हैं 0.x + y – 1 = 0, यहाँ, a = 0, b = 1 और c = -1

(vi) 3 – 4x = 0

हम ऐसे भी लिख सकते हैं -4x + 0.y + 3 = 0, यहाँ, a = -4, b = 0 और c = 3

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल (Solution of Linear Equations of two Variables)

दो चरों वाले रैखिक समीकरण में, हम जानते हैं कि दो चर होते हैं।
इसलिए, हल मानों के युग्म के रूप में होगा, एक x के लिए और एक y के लिए।
x और y के दोनों मान दिए गए समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

इसे समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – x + 2y = 8

यदि हम उपरोक्त समीकरण में x = 0 और y = 4 रखते हैं तो हमें प्राप्त होता है

0 + 2×4 = 8

8 = 8

LHS = RHS

इसलिए, x = 0 और y = 4 इस समीकरण का एक हल है। हम इसे युग्म (0, 4) के रूप में भी लिख सकते हैं। युग्म में, पहला मान x के लिए है और दूसरा मान y के लिए है।

यदि हम उपरोक्त समीकरण में x = 1 और y = 2 रखते हैं तो हमें प्राप्त होता है,

1 + 2×2 = 8

1 + 4 = 8

5 ≠ 8

LHS ≠ RHS

इसलिए, x = 1 और y = 2 इस समीकरण का हल नहीं है।

इसी प्रकार, (8, 0) और (4, 2) भी उपरोक्त समीकरण के हल हैं।

हम x या y के लिए अपनी इच्छानुसार किसी भी मान को प्रतिस्थापित करके भी दो चरों वाले रैखिक समीकरण का हल ज्ञात कर सकते हैं। आइए एक और समीकरण 3x – y = 5 लें।

यदि हम दिए गए समीकरण में x = 2 रखते हैं तो हमें प्राप्त होता है

3×2 – y = 5

समीकरण एक चर y में बदल गई है जो एक चर वाली रैखिक समीकरण है। अब हम इस समीकरण को आसानी से हल कर सकते हैं।

6 – y = 5

6 – 5 = y

y = 1

इसलिए, (2, 1) समीकरण 3x – y = 5 का एक हल है।

इसी प्रकार, y = 0 के लिए, हमें x = 5/3 प्राप्त होता है। अतः, (5/3, 0) इस समीकरण का एक अन्य हल है।

नोट – उपरोक्त व्याख्या की सहायता से हम कह सकते हैं कि दो चरों वाले रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से अनेक हल होते हैं।

उदाहरण – समीकरण 4x + y = 1 के चार भिन्न हल ज्ञात कीजिए।

हल – 4x + y = 1

(i) x = 0 के लिए,

4×0 + y = 1

y = 1

इसलिए, (0, 1) दिए गए समीकरण का एक हल है।

(ii) x = 1 के लिए,

4×1 + y = 1

4 + y = 1

y = 1 – 4

y = -3

इसलिए, (1, -3) दिए गए समीकरण का एक अन्य हल है।

(iii) y = 5 के लिए,

4x + 5 = 1

4x = 1 – 5

4x = -4

x = -4/4

x = -1

इसलिए, (-1, 5) दिए गए समीकरण का एक हल है।

(iv) y = 0 के लिए,

4x + 0 = 1

4x = 1

x = ¼

इसलिए, (1/4, 0) दिए गए समीकरण का एक हल है। उत्तर

दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का आलेख

दो चरों वाले रैखिक समीकरण को आलेखीय रूप से निरूपित करने के लिए, हम y या x के कुछ मान ज्ञात करते हैं जो x या y के मानों के संगत होते हैं।
हम x और y के मानों के लिए एक सारणी बनाते हैं।
आइए इसे एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

उदाहरण – समीकरण x + 3y = 5 को आलेखीय रूप में निरूपित करें।

हल – सबसे पहले, हम y के मानों के संगत x के मान ज्ञात करते हैं।

x + 3y = 5

हम ऐसे भी लिख सकते हैं, x = 5 – 3y

x	5	2	-1	8
y	0	1	2	-1

x और y के मान ज्ञात करने के बाद, हम बिंदुओं को ग्राफ पेपर पर आलेखित करते हैं और उन्हें मिलाने पर हमें एक सीधी रेखा AB प्राप्त होती है।
हम देख सकते हैं कि सभी बिंदु सीधी रेखा AB पर स्थित हैं। यदि हमें और बिंदु मिलते हैं तो वे रेखा AB पर स्थित होंगे या नहीं?
जैसा कि ऊपर दर्शाया गया है, यदि हम एक बिंदु ज्ञात करते है और बिंदु दिए गए समीकरण का हल है तो वह रेखा AB पर स्थित होगा, और यदि हल नहीं है तो वह रेखा AB पर स्थित नहीं होगा।
हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि रेखा का प्रत्येक बिंदु रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है और समीकरण का प्रत्येक हल रेखा पर एक बिंदु होता है।

नोट – 1) प्रत्येक बिंदु जिसके निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, रेखा पर स्थित होता है।

2) रेखा का प्रत्येक बिंदु (a, b) समीकरण का एक हल x = a और y = b देता है।

3) कोई भी बिंदु, जो एक समीकरण का हल नहीं है, उस समीकरण की रेखा पर स्थित नहीं होता है और कोई भी बिंदु, जो रेखा पर स्थित नहीं है, उस समीकरण का हल नहीं होता है।

4) वह समीकरण जिसकी घात एक होती है उसे रैखिक समीकरण कहते हैं और रैखिक समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा होता है।

x-अक्ष और y-अक्ष के समांतर रेखाओं के समीकरण

निर्देशांक ज्यामिति में, बिंदु (2, 0), (-1, 0) और (4, 0) x-अक्ष पर स्थित होते हैं क्योंकि बिंदुओं के y-निर्देशांक शून्य हैं।
इसी प्रकार, बिंदु (0, -2), (0, 1), (0, -4) y-अक्ष पर स्थित होते हैं क्योंकि बिंदुओं के x-निर्देशांक शून्य हैं।
x-अक्ष का समीकरण y=0 और y-अक्ष का समीकरण x=0 द्वारा दिया जाता है।
हमने कुछ दो चरों वाले रैखिक समीकरण जैसे x = 3, 2x + 5 = 0, y – 2 = 0, 2y = -7, आदि देखे हैं।

अगर हम इन समीकरणों को सही से लिखें,

x = 3 या x + 0.y = 3

2x + 5 = 0 या 2x + 0.y + 5 = 0

y – 2 = 0 या 0.x + y – 2 = 0

2y = -7 या 0.x + 2y = -7

उपरोक्त सभी समीकरणों में, केवल एक चर है, और यदि हम उस चर का मान दूसरे चर के विभिन्न मानों के लिए ज्ञात करते हैं जो सीधे समीकरण में मौजूद नहीं है। तब

x = 3 या x + 0.y = 3

x = 3, y = 0, 1, 2, 3, 4………. के लिए,

इसका अर्थ है (3, 0), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) ……. इस समीकरण के हल हैं। हम देख सकते हैं कि प्रत्येक हल में x का मान 3 है। इसका अर्थ है कि इस समीकरण की रेखा बिंदु x = 3 से होकर जाएगी।
इस ग्राफ में, सीधी रेखा y-अक्ष के समान्तर होगी।