अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता कक्षा 10 (Irrational Number and Irrationality Class 10th)

Aparimey Sankhya Aur Aparimeyata

परिचय

अपरिमेय संख्या – वह संख्या जो p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकती हैं, अपरिमेय संख्या (Irrational Number) कहलाती है। जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्याओं को T द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण – √2, √3, √5, π, आदि।

इस भाग में, हम अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की सहायता से अपरिमेय संख्याओं की अपरिमेयता के प्रमाण का अध्ययन करेंगे। अपरिमेयता का प्रमाण एक तकनीक पर आधारित है जिसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। यह वह तकनीक है, जिसमें हम गलत धारणा से अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।

इससे पहले कि हम अपरिमेयता सिद्ध करें, एक प्रमेय है जिसका हमें अध्ययन करना है और जिसका प्रमाण अंकगणित के मौलिक प्रमेय पर आधारित है।

अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता (IRRATIONAL NUMBER AND IRRATIONALITY)

अपरिमेयता पर आधारित प्रमेय

प्रमेय 1) यदि p, a² को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करेगा। जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।

प्रमाण – चूँकि a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है। मान लीजिए कि a का अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

a = p₁×p₂×p₃…………….p_n

जहाँ p₁, p₂, p₃……p_n अभाज्य संख्याएँ हैं (भिन्न या समान हो सकती हैं)

इसलिए, a² = (p₁×p₂×p₃…………….p_n)( p₁×p₂×p₃…………….p_n) = p₁²×p₂²×p₃²…………….p_n²

अब, यह दिया गया है कि p, a² को विभाजित करता है। अतः अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, p, a² के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होगा।

लेकिन a² के अभाज्य गुणनखंड p₁,p₂,p₃,……p_n हैं इसलिए p₁,p₂,p₃,……p_n अभाज्य गुणनखंडों में से p एक है।

चूँकि a = p₁×p₂×p₃ …….p_n

इसलिए, p, a को विभाजित करता है। इति सिद्धम

प्रमेय 2) सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

उपपत्ति – विरोधाभास का उपयोग करते हुए, माना √2 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं

√2 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√2b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√2b)² = a²

2b² = a²

या b² = a²/2, इसका अर्थ है कि 2, a² को विभाजित करता है, इसलिए 2, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 2c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं, b² = (2c)²/2

b² = 4c²/2

b² = 2c²

या b²/2 = c², इसका मतलब है कि 2, b² को विभाजित करता है इसलिए 2, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 2, a को विभाजित करता है और 2, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन (विरोध) करता है कि a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √2 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

आइए इस प्रमेय पर आधारित कुछ उदाहरण देखें।

कुछ उदाहरण

उदाहरण 1) सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

हल – माना √3 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं,

√3 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√3b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√3b)² = a²

3b² = a²

या b² = a²/3 इसका अर्थ है कि 3, a² को विभाजित करता है, इसलिए 3, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 3c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं, b² = (3c)²/3

b² = 9c²/3

b² = 3c²

या b²/3 = c² इसका मतलब है कि 3, b² को विभाजित करता है इसलिए, 3, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 3, a को विभाजित करता है और 3, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 3 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √3 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

उदाहरण 2) सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

हल – माना √5 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं,

√5= a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√5b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√5b)² = a²

5b² = a²

या b² = a²/5 इसका अर्थ है कि 5, a² को विभाजित करता है, इसलिए 5, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 5c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं, b² = (5c)²/5

b² = 25c²/5

b² = 5c²

या b²/5 = c² इसका मतलब है कि 5, b² को विभाजित करता है इसलिए, 5, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 5, a को विभाजित करता है और 5, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √5 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

नोट – हम जानते हैं कि परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव भी अपरिमेय संख्याएँ होता हैं और शून्येतर (शून्य के अलावा) परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का गुणा और भाग भी अपरिमेय संख्याएँ होता हैं।

उदाहरण 3) सिद्ध कीजिए कि 5 + √3 अपरिमेय है।

हल – मान लीजिए 5 + √3 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए,

5 + √3 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√3 = a/b – 5

√3 = (a – 5b)/b …………………….(1)

चूँकि a, b, और 5 पूर्णांक संख्याएँ हैं, इसलिए (a – 5b)/b एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, समीकरण (1) से, √3 एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि 5 + √3 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 5 + √3 अपरिमेय है। इति सिद्धम

उदाहरण 4) सिद्ध कीजिए कि 3√5 अपरिमेय है।