अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता कक्षा 10 (Irrational Number and Irrationality Class 10th)

Aparimey Sankhya Aur Aparimeyata

परिचय

अपरिमेय संख्या – वह संख्या जो p/q के रूप में नहीं लिखी जा सकती हैं, अपरिमेय संख्या (Irrational Number) कहलाती है। जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0। अपरिमेय संख्याओं को T द्वारा निरूपित किया जाता है। उदाहरण – √2, √3, √5, π, आदि।

इस भाग में, हम अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की सहायता से अपरिमेय संख्याओं की अपरिमेयता के प्रमाण का अध्ययन करेंगे। अपरिमेयता का प्रमाण एक तकनीक पर आधारित है जिसे विरोधाभास द्वारा प्रमाण कहा जाता है। यह वह तकनीक है, जिसमें हम गलत धारणा से अपरिमेयता को सिद्ध करते हैं।

इससे पहले कि हम अपरिमेयता सिद्ध करें, एक प्रमेय है जिसका हमें अध्ययन करना है और जिसका प्रमाण अंकगणित के मौलिक प्रमेय पर आधारित है।

अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता (IRRATIONAL NUMBER AND IRRATIONALITY)

अपरिमेयता पर आधारित प्रमेय

प्रमेय 1) यदि p, a2 को विभाजित करता है, तो p, a को भी विभाजित करेगा। जहाँ p एक अभाज्य संख्या है और a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है।

प्रमाण – चूँकि a एक धनात्मक पूर्णांक संख्या है। मान लीजिए कि a का अभाज्य गुणनखंड इस प्रकार है

a = p1×p2×p3…………….pn

जहाँ p1, p2, p3……pn अभाज्य संख्याएँ हैं (भिन्न या समान हो सकती हैं)

इसलिए, a2 = (p1×p2×p3…………….pn)( p1×p2×p3…………….pn) = p12×p22×p32…………….pn2

अब, यह दिया गया है कि p, a2 को विभाजित करता है। अतः अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के अनुसार, p, a2 के अभाज्य गुणनखंडों में से एक होगा।

लेकिन a2 के अभाज्य गुणनखंड p1,p2,p3,……pn हैं इसलिए p1,p2,p3,……pn अभाज्य गुणनखंडों में से p एक है।

चूँकि a = p1×p2×p3 …….pn

इसलिए, p, a को विभाजित करता है। इति सिद्धम

प्रमेय 2) सिद्ध कीजिए कि √2 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

उपपत्तिविरोधाभास का उपयोग करते हुए, माना √2 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं

√2 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√2b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√2b)2 = a2

2b2 = a2   

या  b2 = a2/2,  इसका अर्थ है कि 2, a2 ​​को विभाजित करता है, इसलिए 2, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 2c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं,     b2 = (2c)2/2

b2 = 4c2/2

b2 = 2c2

या  b2/2 = c2,  इसका मतलब है कि 2, b2 ​​को विभाजित करता है इसलिए 2, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 2, a को विभाजित करता है और 2, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन (विरोध) करता है कि a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √2 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √2 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

आइए इस प्रमेय पर आधारित कुछ उदाहरण देखें।

कुछ उदाहरण

उदाहरण 1) सिद्ध कीजिए कि √3 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

हलमाना √3 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं,     

√3 = a/b  जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√3b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√3b)2 = a2

3b2 = a2   

या  b2 = a2/3  इसका अर्थ है कि 3, a2 ​​को विभाजित करता है, इसलिए 3, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा]   ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 3c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं,     b2 = (3c)2/3

b2 = 9c2/3

b2 = 3c2

या  b2/3 = c2  इसका मतलब है कि 3, b2 ​​को विभाजित करता है इसलिए, 3, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 3, a को विभाजित करता है और 3, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 3 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन (विरोध) करता है कि a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √3 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

उदाहरण 2) सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या (Irrational Number) है।

हलमाना √5 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए हम लिख सकते हैं,     

√5= a/b   जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√5b = a

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

(√5b)2 = a2

5b2 = a2 

या  b2 = a2/5  इसका अर्थ है कि 5, a2 ​​को विभाजित करता है, इसलिए 5, a को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा]   ………………..(1)

इसलिए, हम किसी पूर्णांक संख्या c के लिए लिख सकते हैं, a = 5c …………………….(2)

a का मान समीकरण (2) से (1) में रखने पर,

हम पाते हैं,     b2 = (5c)2/5

b2 = 25c2/5

b2 = 5c2

या  b2/5 = c2  इसका मतलब है कि 5, b2 ​​को विभाजित करता है इसलिए, 5, b को भी विभाजित करेगा [प्रमेय (1) द्वारा] ……………(3)

समीकरण (1) और (3) से, 5, a को विभाजित करता है और 5, b को भी विभाजित करता है इसका मतलब है कि a और b में कम से कम 5 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड के रूप में हैं।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन (विरोध) करता है कि a और b में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √5 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम निष्कर्ष निकालते हैं कि √5 एक अपरिमेय संख्या है। इति सिद्धम

नोट – हम जानते हैं कि परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का जोड़ और घटाव भी अपरिमेय संख्याएँ होता हैं और शून्येतर (शून्य के अलावा) परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं का गुणा और भाग भी अपरिमेय संख्याएँ होता हैं।

उदाहरण 3) सिद्ध कीजिए कि 5 + √3 अपरिमेय है।

हलमान लीजिए 5 + √3 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए,      

5 + √3 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं [1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है]

√3 = a/b – 5

√3 = (a – 5b)/b  …………………….(1)

चूँकि a, b, और 5 पूर्णांक संख्याएँ हैं, इसलिए (a – 5b)/b एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, समीकरण (1) से, √3 एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि 5 + √3 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 5 + √3 अपरिमेय है। इति सिद्धम

उदाहरण 4) सिद्ध कीजिए कि 3√5 अपरिमेय है।

हलमाना 3√5 एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, पूर्णांक संख्याओं a और b के लिए,      

3√5 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं

√5 = a/3b    …………………….(1)

चूँकि a, b, और 3 पूर्णांक संख्याएँ हैं, इसलिए a/3b एक परिमेय संख्या है।

इसलिए, समीकरण (1) से, √5 एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि 3√5 एक परिमेय संख्या है।

अतः हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 3√5 अपरिमेय है। इति सिद्धम

उदाहरण 5) दर्शाइए कि √3 + √5 अपरिमेय है।

हलमान लीजिए √3 + √5 परिमेय है।

इसलिए, √3 + √5 = a/b जहां b ≠ 0 और a, b = सहअभाज्य संख्याएं

√5 = a/b – √3

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, (√5)2 = (a/b – √3)2

5 = a2/b2 – 2√3a/b + 3              [∵ (a – b)2 = a2 – 2ab + b2]

2√3a/b = a2/b2 + 3 – 5

2√3a/b = a2/b2 – 2

2√3a/b = (a2 – 2b2)/b2

√3 = (a2 – 2b2)/b2 × b/2a

√3 = (a2 – 2b2)/2ab     …………………….(1)

चूँकि a, b, और 2 पूर्णांक संख्याएँ हैं, इसलिए (a2 – 2b2)/2ab परिमेय होगा।

इसलिए, समीकरण (1) से, √3 एक परिमेय संख्या होगी।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

यह दर्शाता है कि हमारी यह धारणा गलत है कि √3 + √5 परिमेय है।

अत: √3 + √5 अपरिमेय है। इति सिद्धम

अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता (Irrational Number and Irrationality) कक्षा 10 अँग्रेजी में

अपरिमेय संख्या और अपरिमेयता (Irrational Number and Irrationality) के बारे में अधिक जानकारी

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