वर्ग और वर्गमूल कक्षा 8 (Square and Square Root Class 8th)

परिचय

ज्यामिति में, हम जानते हैं कि एक वर्ग चार समान रेखा खंडों से घिरी एक आकृति है और वर्ग का क्षेत्रफल भुजा × भुजा द्वारा दिया जाता है (जहाँ ‘भुजा’ वर्ग के प्रत्येक भुजा की लंबाई को इंगित करता है)। इसी प्रकार, संख्या पद्धति में, हम इस सूत्र की सहायता से संख्याओं का वर्ग ज्ञात करते हैं। कक्षा 8वीं में, हम वर्ग और वर्गमूल (Square and Square Root), वर्ग संख्याओं के गुण, वर्ग संख्याएँ ज्ञात करने की विधियाँ, पाइथागोरस त्रिक, वर्गमूल और वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ आदि का अध्ययन करेंगे।

वर्ग संख्या क्या है?

किसी भी संख्या का वर्ग ज्ञात करने के लिए, हम केवल उस संख्या को स्वयं से गुणा करते हैं। इस प्रक्रिया को किसी संख्या का वर्ग कहते हैं। किसी संख्या का वर्ग करने पर जो संख्या प्राप्त होती है, वह वर्ग संख्या कहलाती है।

उदाहरण के लिए –

संख्या	वर्ग	वर्ग संख्या
1	1×1 = (1)2	1
2	2×2 = (2)2	4
3	3×3 = (3)3	9
4	4×4 = (4)2	16
5	5×5 = (5)2	25

उपरोक्त तालिका में 1, 4, 9, 16 और 25 क्रमशः 1, 2, 3, 4 और 5 के वर्ग हैं और वर्ग संख्याएँ कहलाते हैं। सामान्य तौर पर, हम कह सकते हैं कि यदि दो प्राकृत संख्याएँ a और b हैं, और a को b² के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो a को एक वर्ग संख्या कहा जाता है। आइए उदाहरणों के साथ समझते हैं।

उदाहरण – 1) क्या 36 एक वर्ग संख्या है?

हल – हाँ, 36 एक वर्ग संख्या है क्योंकि हम 36 को इस प्रकार लिख सकते हैं

36 = 6×6 = 6²

उदाहरण – 2) क्या 46 एक वर्ग संख्या है?

हल – हम जानते हैं कि 6² = 6×6 = 36 और 7² = 7×7 = 49।

अभीष्ट संख्या 6 और 7 के बीच है लेकिन जैसा कि हम जानते हैं कि 6 और 7 के बीच कोई प्राकृत संख्या नहीं होती है। इसलिए, 46 एक वर्ग संख्या नहीं है।

नोट – वर्ग संख्याओं को पूर्ण वर्ग संख्याएँ भी कहा जाता है।

वर्ग संख्याओं के गुणधर्म

वर्ग संख्याओं के गुणधर्मों को समझने के लिए सबसे पहले हम 1 से 30 तक के वर्ग लिखते हैं।

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	11	121	21	441
2	4	12	144	22	484
3	9	13	169	23	529
4	16	14	196	24	576
5	25	15	225	25	625
6	36	16	256	26	676
7	49	17	289	27	729
8	64	18	324	28	784
9	81	19	361	29	841
10	100	20	400	30	900

1) उपरोक्त तालिका में, हम देख सकते हैं कि सभी वर्ग संख्याओं के इकाई अंक (अंतिम अंक) 0, 1, 4, 5, 6 या 9 हैं। इसका अर्थ है कि 0, 1, 4, 5, 6, या 9 अंक के साथ समाप्त होने वाली कोई भी संख्या, एक वर्ग संख्या होती है या हम कह सकते हैं कि इन अंकों के साथ समाप्त होने वाली संख्या एक संख्या का वर्ग होती है। उपरोक्त तालिका हमें इस गुणधर्म को समझने में मदद करती है।

2) अब उपरोक्त तालिका से, हम इकाई अंक 1 या 9 वाली संख्याएँ और उनके वर्ग लेते हैं।

संख्या	वर्ग
1	1
9	81
11	121
19	361
21	441
29	841

तालिका से हम समझ सकते हैं कि इकाई अंक 1 या 9 वाली किसी भी संख्या के लिए, उसके वर्गों का इकाई अंक हमेशा 1 ही होगा।

3) यदि हम 1 से 30 तक के वर्गों की तालिका से इकाई अंक 4 और 6 वाली संख्याएँ लेते हैं। तब

संख्या	वर्ग
4	16
6	36
14	196
16	256
24	576
26	676

इस तालिका से, हम समझ सकते हैं कि इकाई अंक 4 या 6 वाली किसी भी संख्या के लिए, उनके वर्गों के इकाई अंक हमेशा 6 होंगे।

4) उन संख्याओं का वर्ग क्या होगा जिनका इकाई अंक 0 है या जो शून्य की संख्या पर समाप्त होती है? आइए कुछ उदाहरणों की सहायता से देखते हैं।

संख्या	वर्ग
10	100
20	400
100	10000
300	90000
1000	1000000
4000	16000000

उपरोक्त तालिका की सहायता से हम देख सकते हैं कि यदि किसी संख्या के अंत में एक शून्य है, तो उस संख्या के वर्ग के अंत में दो शून्य होंगे। यदि किसी संख्या के अंत में दो शून्य है, तो उस संख्या के वर्ग के अंत में चार शून्य होंगे और यदि किसी संख्या के अंत में तीन शून्य है, तो उस संख्या के वर्ग के अंत में छह शून्य होंगे।

सीधे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि वर्ग में संख्या के वर्ग के साथ शून्यों की संख्या केवल दोगुनी होती है। हम उपरोक्त तालिका में एक बात भी देख सकते हैं, वर्ग शून्य की एक सम संख्या के साथ समाप्त हो रहे हैं। इसका मतलब है कि हम कह सकते हैं कि एक वर्ग संख्या केवल शून्य की सम संख्या के साथ समाप्त हो सकती है।

किसी संख्या का वर्ग ज्ञात करने की विधियाँ

1) स्व गुणन द्वारा

2) बीजीय सर्वसमिका द्वारा

पाइथागोरस त्रिक

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने की विधियाँ

1) घटाने की संक्रिया विधि

2) अभाज्य गुणनखंड विधि

3) विभाजन विधि

4) अनुमान विधि

दशमलव का वर्गमूल

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