निर्देशांक ज्यामिति कक्षा 9 (The Coordinate Geometry Class 9th)

Nirdeshaank Jyaamiti Kaksha 9

परिचय

कक्षा 9 में, निर्देशांक ज्यामिति (विश्लेषणात्मक ज्यामिति) (The Coordinate Geometry Class 9th) का अध्ययन करने से पहले, हम संख्या रेखाओं को याद करेंगे कि संख्या रेखा कैसे खींची जाती है, हम पहले ही संख्या रेखाओं का अध्ययन कर चुके हैं कि संख्या रेखा पर किसी संख्या को कैसे निरूपित किया जाता है। संख्या रेखा दोनों दिशाओं में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं को दर्शाती है। बाईं ओर ऋणात्मक संख्याएँ लिखी जाती हैं और दाईं ओर धनात्मक संख्याएँ लिखी जाती हैं। धनात्मक और ऋणात्मक दोनों संख्याएँ अनंत संख्याएँ होती हैं। यदि हमें किसी संख्या को निरूपित करना है तो हम केवल उस संख्या को संख्या रेखा पर इंगित करते हैं। हालांकि हम बिंदु को संख्या पर या दो संख्याओं के बीच में इंगित करते हैं।

लेकिन अन्य स्थितियां भी हो सकती हैं कि हम उस विशेष बिंदु की सटीक स्थिति कैसे प्राप्त कर सकते हैं? यदि संख्या, संख्या रेखा पर नहीं है वह संख्या रेखा के ऊपर या नीचे है, तो हम उस बिंदु को कैसे निरूपित करते हैं? इसे एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

मान लीजिए हम एक आयत बनाते हैं और उसमें एक बिंदु बनाते हैं जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यदि हम बिंदु की सटीक स्थिति का पता लगाना चाहते हैं तो हम इसको कैसे निरूपित कर सकते हैं? यदि हम कहें कि बिंदु आयत के ऊपरी आधे भाग में है या बिंदु आयत की भुजा AD के निकट है या बिंदु शीर्ष A के निकट है। कोई भी कथन हमें बिंदु की स्थिति का सटीक पता लगाने में मदद नहीं करता है, लेकिन यदि हम कहें कि बिंदु, भुजा AD से 2 सेमी दूर है तो यह कुछ मदद करता है लेकिन सटीक नहीं। यदि हम इसमें कुछ और जोड़े और कहें कि बिंदु, भुजा CD से 4 सेमी ऊपर है तो हमें बिंदु की सटीक स्थिति मिलती है।

उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि यदि एक समतल में कोई बिंदु है और हम उस बिंदु की स्थिति जानना चाहते हैं तो हमें उसे ज्ञात करने के लिए दो स्थिर रेखाओं की आवश्यकता होती है। दूसरे शब्दों में, बिंदु का पता लगाने के लिए हमें दो स्वतंत्र सूचनाओं की आवश्यकता होती है।

कार्तीय पद्धति

रेने दकार्ते (Rene Descartes) ने एक समतल में एक बिंदु की स्थिति का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली प्रणाली की खोज की। रेने दकार्ते के सम्मान में, इस प्रणाली को कार्तीय प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

हम जानते हैं कि संख्या रेखा में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ होती हैं और बीच में 0 होता है। संख्या रेखा पर, दो संख्याओं के बीच का अंतर 1 इकाई के बराबर होता है। हम बिंदु O से किसी भी दिशा (सकारात्मक या नकारात्मक) में दूरी लेते हैं। इस बिंदु को मूल बिंदु कहा जाता है।

दकार्ते ने एक बिंदु का पता लगाने के लिए दो संख्या रेखाओं को एक दूसरे के लंबवत रखकर प्रणाली की खोज की। इन दो लंबवत संख्या रेखाओं में, एक रेखा क्षैतिज होती है और दूसरी लंबवत होती है। इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए यहाँ आकृति दी गई है।

आकृति (a) में, ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा YY` खींची गई है जिसे ऊर्ध्वाधर अक्ष कहा जाता है और आकृति (b) में क्षैतिज संख्या रेखा XX` खींची गई है जिसे क्षैतिज अक्ष कहा जाता है। यदि हम दोनों संख्या रेखाओं को उनके मूल बिंदु पर लंबवत रूप से जोड़ते हैं तो क्षैतिज संख्या रेखा XX` को x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा YY` को y-अक्ष कहा जाता है। वह बिंदु जहां दोनों रेखाएं एक-दूसरे को काटती हैं, मूल बिंदु कहलाता है और इसे O से निरूपित किया जाता है।

यहाँ, मूल बिंदु से चार दिशाएँ हैं, दो दिशाएँ OX और OY क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष की धनात्मक दिशाएँ हैं, और अन्य दो दिशाएँ OX` तथा OY` क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष की ऋणात्मक दिशाएँ हैं।

उपरोक्त आकृति में, हम देख सकते हैं कि दोनों अक्ष समतल को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं। इन चारों भागों को चतुर्थांश कहते हैं। चतुर्थांश का अर्थ है एक चौथाई भाग। चतुर्थांशों की संख्या वामावर्त दिशा में OX (धनात्मक x-अक्ष) से ​​प्रारंभ होती है। चतुर्थांश I, II, III और IV के रूप में गिने जाते हैं। यहाँ आकृति दी गई है।

वह तल जिसमें x-अक्ष और y-अक्ष चार चतुर्थांशों के साथ उपस्थित होते हैं, कार्तीय तल या XY तल या निर्देशांक तल कहलाता है। x-अक्ष और y-अक्ष को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है।

इन चतुर्थांशों में किसी बिंदु की स्थिति कैसे ज्ञात करें, और वह बिंदु किस चतुर्थांश में है? हम किसी भी बिंदु की सटीक स्थिति कैसे प्राप्त कर सकते हैं और स्थान क्या होगा? इस तरह के सवाल हमारे मन में उठते हैं। आइए देखें कि इन्हें कैसे हल किया जाए?

मान लीजिए कि एक बिंदु P है जो चतुर्थांश I में स्थित है और हमें बिंदु P की स्थिति ज्ञात करनी है।

सबसे पहले, हम बिंदु P से x-अक्ष और y-अक्ष पर लंब खींचते हैं जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में दिखाया गया है। x-अक्ष पर खींचा गया लम्ब PQ है और y-अक्ष पर खींचा गया लम्ब PR है।

यहाँ, PQ ∥ OR और PR ∥ OQ

अतः, PQ = OR = 5 इकाई और PR = OQ = 4 इकाई

y-अक्ष से लंबवत दूरी PR है जो OQ के बराबर है, जो धनात्मक x-अक्ष पर मान देता है (x = +4)। x का मान x – निर्देशांक है (दोनों दिशाओं में)।

x-अक्ष से लंबवत दूरी PQ है जो OR के बराबर है जो धनात्मक y-अक्ष पर मान देता है (y = +5)। y का मान y – निर्देशांक है (दोनों दिशाओं में)।

भुज – y-अक्ष से किसी बिंदु की लंबवत दूरी जो x-निर्देशांक का मान देती है, भुज कहलाती है। बिंदु P के लिए, भुज +4 (x = +4) है।

कोटि – x-अक्ष से किसी बिंदु की लंबवत दूरी जो y-निर्देशांक का मान देती है, कोटि कहलाती है। बिंदु P के लिए, कोटि +5 (y = +5) है।

हम देख सकते हैं कि बिंदु P के दो मान दो दिशाओं में हैं (धनात्मक x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष)। इन दो मानों को एक बिंदु के निर्देशांक कहा जाता है। इन दो मानों में, एक मान x का होता है (चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक हो, दिशा पर निर्भर करता है) और दूसरा मान y का होता है (चाहे धनात्मक हो या ऋणात्मक हो, दिशा पर निर्भर करता है)।

यहाँ, बिंदु P के लिए, x = 4 और y = 5

निर्देशांक के रूप में लिखने के लिए पहले हम x-निर्देशांक का मान लिखते हैं और फिर हम y-निर्देशांक का मान कोष्ठक में लिखते हैं, जो अल्पविराम द्वारा अलग होते है।

अत: बिंदु P के निर्देशांक (4, 5)

Note – 1) प्रत्येक बिंदु के अपने अद्वितीय निर्देशांक होते हैं इसलिए दो अलग-अलग बिंदुओं के समान निर्देशांक होना संभव नहीं है। हमें यह समझना होगा कि निर्देशांक (1, 2) और (2, 1) बराबर नहीं हैं और (-3, -4) ≠ (3, 4)।

2) यदि बिंदु x-अक्ष पर स्थित है तो y-निर्देशांक शून्य होगा। x-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक (x, 0) के रूप में होते हैं। और यदि बिंदु y-अक्ष पर स्थित है तो x-निर्देशांक शून्य होगा। y-अक्ष पर स्थित किसी बिंदु के निर्देशांक (0, y) के रूप में होते हैं।

3) मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं क्योंकि दोनों अक्षों से मूल बिंदु की लंबवत दूरी हमेशा शून्य होती है।

चतुर्थांशों में निर्देशांकों के चिन्ह

1. चतुर्थांश I में, एक बिंदु के x और y निर्देशांक के मान धनात्मक होते हैं क्योंकि यह धनात्मक x-अक्ष (OX) और धनात्मक y-अक्ष (OY) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु के दोनों निर्देशांक धनात्मक हों तो वह बिंदु पहले चतुर्थांश में स्थित होगा।
2. चतुर्थांश II में, एक बिंदु के x-निर्देशांक का मान ऋणात्मक होता है और y-निर्देशांक का मान धनात्मक होता है क्योंकि यह ऋणात्मक x-अक्ष (OX`) और धनात्मक y-अक्ष (OY) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक ऋणात्मक और y-निर्देशांक धनात्मक है तो वह बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
3. चतुर्थांश III में, एक बिंदु के x और y निर्देशांक के मान ऋणात्मक होते हैं क्योंकि यह ऋणात्मक x-अक्ष (OX`) और ऋणात्मक y-अक्ष (OY`) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु के दोनों निर्देशांक ऋणात्मक हों तो वह बिंदु तीसरे चतुर्थांश में स्थित होगा।
4. चतुर्थांश IV में, एक बिंदु के x-निर्देशांक का मान धनात्मक होता है और y-निर्देशांक का मान ऋणात्मक होता है क्योंकि यह धनात्मक x-अक्ष (OX) और ऋणात्मक y-अक्ष (OY’) से घिरा होता है। यदि किसी बिंदु का x-निर्देशांक धनात्मक और y-निर्देशांक ऋणात्मक है तो वह बिंदु चौथे चतुर्थांश में स्थित होगा।

उदाहरण 1) आकृति की सहायता से प्रश्नों के उत्तर दीजिए।

1. बिंदु c का निर्देशांक क्या है? यह किस चतुर्थांश में स्थित है?
2. यदि बिंदु B का निर्देशांक (-3, 3) है तो इसकी भुज और कोटि लिखिए।
3. बिंदुओं A और D के निर्देशांक लिखिए।

हल -1) बिंदु C का निर्देशांक (-6, -5) है और यह तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

2) बिंदु B का निर्देशांक (-3, 3) है तो भुज = -3 और कोटि = 3

3) बिंदु A का निर्देशांक (5, 4) है और बिंदु D का निर्देशांक (0, -4) है।            उत्तर

उदाहरण 2) यदि कोई बिंदु y-अक्ष से 7 इकाई दूर x-अक्ष पर धनात्मक दिशा में स्थित है तो इस बिंदु का निर्देशांक लिखिए।

हल – इस बिंदु के निर्देशांक (7, 0) होंगे क्योंकि यह बिंदु x-अक्ष पर स्थित है इसका अर्थ है कि इसका y-निर्देशांक शून्य होगा और यह y-अक्ष से 7 इकाई दूर धनात्मक दिशा में है इसका अर्थ है कि यह धनात्मक x-अक्ष स्थित पर है।

एक बिंदु को आलेखित करना यदि उसके निर्देशांक दिए गए हैं

यदि एक बिंदु के निर्देशांक दिए गए हों तो हम इसे समतल में आलेखित कर सकते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से समझते हैं।

उदाहरण – बिंदुओं M(0, 2), N(-1, 5), P(3, -4), Q(7, 7), R(-6, -7), S(-4, 0 ) को कार्तीय तल में आलेखित कीजिये।

हल – सबसे पहले हम कार्तीय तल बनाते हैं। हम 1 सेमी = 1 इकाई लेते है। फिर हम सभी बिंदुओं को आलेखित करेंगे। आलेखन शुरू करने से पहले हमें एक बात का ध्यान रखना होगा कि दिए गए निर्देशांकों में पहला मान x-निर्देशांक का होता है और दूसरा मान y-निर्देशांक का होता है। हम इन मानों का आदान-प्रदान नहीं कर सकते अन्यथा हमारा आलेखन गलत होगा।

कुछ प्रश्न –

प्रश्न 1) x – निर्देशांक का दूसरा नाम क्या है?

उत्तर – भुज

प्रश्न 2) y – निर्देशांक का दूसरा नाम क्या है?

उत्तर – कोटि

प्रश्न 3) कार्तीय तल किसे कहते है?

उत्तर – वह तल जिसमें x-अक्ष और y-अक्ष चार चतुर्थांशों के साथ उपस्थित होते हैं, कार्तीय तल कहलाता है।

प्रश्न 4) निर्देशांक अक्ष किसे कहते हैं?

उत्तर – x-अक्ष और y-अक्ष दोनों को निर्देशांक अक्ष कहा जाता है।

प्रश्न 5) चतुर्थांश क्या है?

उत्तर – निर्देशांक अक्ष समतल को चार भागों में विभाजित करते हैं, प्रत्येक भाग को चतुर्थांश कहते हैं।

प्रश्न 6) मूल बिंदु क्या होता है?

उत्तर – x-अक्ष और y-अक्ष के प्रतिच्छेदन बिंदु को मूल बिंदु कहते हैं।

प्रश्न 7) x – निर्देशांक (भुज) और y – निर्देशांक (कोटि) क्या होते है?

उत्तर – x – निर्देशांक (भुज) – y-अक्ष से एक बिंदु की लंबवत दूरी को x – निर्देशांक (भुज) कहते हैं।

y – निर्देशांक (कोटि) – x-अक्ष से किसी बिंदु की लंबवत दूरी को y – निर्देशांक (कोटि) कहते हैं।

प्रश्न 8) मूल बिंदु के निर्देशांक क्या होते है?

उत्तर – O (0, 0)

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