दशमलव संख्याएँ कक्षा 7 (Decimal Number Class 7th)

Dashamalav Sankhyaen Kaksha 7

परिचय

परिभाषा – संख्या प्रणाली में, दशमलव को एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। वे संख्याएँ जिनमें बिंदु होता है, दशमलव संख्याएँ कहलाती हैं। उदाहरण – 12.34, 3.789, 0.2561, 1679.098, आदि। कक्षा 7 में, हम दशमलव संख्याओं (Decimal Number Class 7^th) की विभिन्न संक्रियाओं और गुणों का अध्ययन करेंगे।

हम पहले ही पढ़ चुके हैं कि दशमलव को किसी भी संख्या में कैसे लगाया जा सकता है। स्थानीय मान तालिका की सहायता से, आइए इसे याद करते हैं।

सैकड़ा (100)	दहाई (10)	इकाई (1)	दशांश (1/10)	शतांश (1/100)	सहस्रांश (1/1000)	दस हज़ारवां (1/10000)	संख्या
7	5	3	8	2	1	6	753.8216
0	2	6	0	3	9	1	26.0391
7	7	8	9	0	0	5	778.9005
1	0	0	5	8	1	1	100.5811
0	0	9	0	0	0	4	9.0004

उपरोक्त स्थानीय मान तालिका में दिए गए उदाहरणों से हम समझ सकते हैं कि हम दशमलव को संख्याओं में कैसे लगाते हैं। अंकों का स्थानीय मान दर्शाता है कि दशमलव को कहाँ लगाया जाएगा। हम देख सकते हैं कि हम दशमलव को इकाई और दशांश के बीच में लगाते हैं।

यदि हम उपरोक्त उदाहरणों को प्रसारित रूप में लिखें तो हम इसे स्पष्ट रूप से समझ सकते हैं।

753.8216 = 7×100 + 5×10 + 3×1 + 8×(1/10) + 2×(1/100) + 1×(1/1000) + 6×(1/10000)

= 700 + 50 + 3 + 0.8 + 0.02 + 0.001 + 0.0006

= 753 + 0.8216

= 753.8216

उपरोक्त उदाहरण में, हम दशमलव संख्या को सात सौ तिरपन दशमलव आठ दो एक छः के रूप में पढ़ते है। दशमलव के बाद, हम अलग-अलग अंक पढ़ते हैं।

कुछ महत्वपूर्ण बिंदु

(1) विभाजन प्रक्रिया में, कभी-कभी हमें दशमलव संख्याएँ प्राप्त होती हैं यदि संख्या पूरी तरह से विभाज्य नहीं होती है।

उदाहरण – (1) 10 ÷ 4 = 2.5 (2) 250 ÷ 3 = 83.33

(2) जब हम एक छोटी इकाई को बड़ी इकाई में बदलते हैं तो हमें एक दशमलव संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण – (1) 50 मीटर को किलोमीटर में बदलें।

हल – हम जानते हैं कि 1 किमी = 1000 मीटर

तो 50/1000 किमी = 0.050 किमी          उत्तर

उदाहरण – (2) 325 पैसे में कितने रुपये होते हैं।

हल – चूँकि 1 रुपया = 100 पैसे

इसलिए, 325/100 रुपये = 3.25 रुपये         उत्तर

दशमलव संख्याओं की तुलना, जोड़ और घटाव

दशमलव संख्याओं की तुलना में, हम पहले दशमलव के बाईं ओर के अंकों की तुलना करते हैं, यदि अंक समान हैं तो हम दशमलव के दाईं ओर के अंकों की तुलना करते हैं। हम एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – 746.236 और 746.195 की तुलना कीजिये।

हल – दशमलव के बाईं ओर, तीनों अंक समान हैं। दशमलव के दायीं ओर, दशांश स्थान पर अंक समान नहीं हैं इसलिए हम इन दो अंकों की तुलना करेंगे।

यहां 2 > 1

इसलिए, 746.236 > 746.195        उत्तर

नोट – यदि दशांश स्थान के अंक भी समान हों तो हम शतांश स्थान के अंकों की तुलना करते हैं और इसी प्रकार आगे भी करते है।

दशमलव संख्याओं के योग में, हम संख्याओं को साधारण जोड़ के रूप में जोड़ते हैं। केवल दशमलव का स्थान ध्यान में रखना होता है। हम संख्याओं को लिखते समय, दशमलव बिंदु को दशमलव के नीचे रखते हैं और फिर जोड़ते हैं। इसे एक उदाहरण से समझते हैं।

उदाहरण – सिद्धि के पास दो केक हैं, जिनमें से प्रत्येक का वजन 896.341 ग्राम और 201.98 ग्राम है। दोनों केक का कुल वजन ज्ञात कीजिए।

हल –

दोनों केक का कुल वजन = 1098.321 ग्राम             उत्तर

दशमलव संख्याओं के घटाव में, हम जोड़ के समान ही घटाते हैं। आइए इसे एक उदाहरण से स्पष्ट करते हैं।

उदाहरण – लावण्या के पास 525.50 रुपये और 450.75 रुपये कीमत के दो स्कूल बैग हैं। दोनों स्कूल बैग की कीमत का अंतर ज्ञात कीजिए।

हल –

दोनों स्कूल बैग की कीमत का अंतर = 74.75 रुपये              उत्तर

दशमलव संख्याओं का गुणा

एक दशमलव संख्या का दूसरी दशमलव संख्या से गुणा

दो दशमलव संख्याओं का गुणा दो पूर्ण संख्याओं के गुणा के समान ही होता है। जब हम दो दशमलव संख्याओं को गुणा करते हैं, तो हम दशमलव को एक क्षण के लिए अनदेखा कर सकते हैं और उन्हें पूर्ण संख्याओं के रूप में गुणा कर सकते हैं। पूरा गुणा होने के बाद, हम दशमलव को उत्तर में लगाते हैं। हम दशमलव को कैसे लगायेंगे? आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

उदाहरण – 1) 6.3 और 1.2 को गुणा कीजिये।

हल –

इस उदाहरण में, 6.3 और 1.2 दोनों संख्याओं में दशमलव के बाद अंकों की संख्या 1 और 1 है, इसलिए उत्तर में, दशमलव के बाद के अंक 2(1+1) होंगे। इसलिए, हम दशमलव को अंकों 56 से पहले लगाते हैं।

उदाहरण – 2) 45.34 और 2.7 का गुणा कीजिये।

हल –

दशमलव के बाद 45.34 और 2.7 में अंकों की संख्या = 2 और 1

तो, उत्तर में दशमलव के बाद अंकों की संख्या 3(2+1) होगी। इसलिए, हम दशमलव को अंकों 418 से पहले लगाते हैं।

दशमलव संख्या का पूर्ण संख्या से गुणा

यह गुणा उपरोक्त गुणा के समान ही होता है। इस गुणा में हम दशमलव संख्या के दशमलव के अनुसार उत्तर में दशमलव लगाते हैं क्योंकि दूसरी संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।

उदाहरण – नैनीश के पास 7.5 मीटर लंबाई की 3 रस्सियाँ हैं। सभी 3 रस्सियों की लंबाई क्या होगी?

हल – सभी 3 रस्सियों की लंबाई, प्रत्येक रस्सी की लंबाई के साथ 3 का गुणा होगी।

इसलिए, सभी 3 रस्सियों की लंबाई 22.5 मीटर है।       उत्तर

इस उदाहरण में, दशमलव संख्या 7.5 है, और दशमलव के बाद अंकों की संख्या एक है। अतः उत्तर में दशमलव के बाद अंकों की संख्या भी एक होगी। इसलिए, हम दशमलव को अंक 5 से पहले लगाते हैं।

एक दशमलव संख्या का 10 के गुणज से गुणा (10, 100, 1000)

जब किसी दशमलव संख्या को 10 के गुणज जैसे 10, 100, 1000, 10000 आदि से गुणा किया जाता है, तो दशमलव को 0 की संख्या के आधार पर दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। उदाहरण आपको इसे बेहतर ढंग से समझने में मदद करेगा।

उदाहरण – 9.7614 को 10, 100 और 1000 से गुणा कीजिये।

हल – 9.7614×10 = 97.614

9.7614×100 = 976.14

9.7614×1000 = 9761.4             उत्तर

जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को एक अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 10 में 0 की संख्या एक होती है।

9.7614×10 = 97.614

जब हम किसी दशमलव संख्या को 100 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को दो अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 100 में 0 की संख्या दो होती है।

9.7614×100 = 976.14

जब हम किसी दशमलव संख्या को 1000 से गुणा करते हैं, तो दशमलव को तीन अंक दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 1000 में 0 की संख्या तीन होती है।

9.7614×1000 = 9761.4

नोट – यदि दशमलव संख्या में दशमलव को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो हम 0 को अंकों के रूप में उपयोग करते हैं। उदाहरण- 3.27×1000 = 3270.0

दशमलव संख्याओं का विभाजन

एक दशमलव संख्या का 10 के गुणज से भाग (10, 100, 1000)

जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 के गुणज जैसे 10, 100, 1000, 10000 इत्यादि से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को 0 की संख्या के आधार पर बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है। आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – 3427.29 को 10, 100 और 1000 से भाग दीजिये।

हल – 3427.29 ÷ 10 = 342.729

3427.29 ÷ 100 = 34.2729

3427.29 ÷ 1000 = 3.42729           उत्तर

जब हम किसी दशमलव संख्या को 10 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को एक अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 10 में 0 की संख्या एक होती है।

3427.29 ÷ 10 = 342.729

जब हम एक दशमलव संख्या को 100 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को दो अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 100 में 0 की संख्या दो होती है।

3427.29 ÷ 100 = 34.2729

जब हम किसी दशमलव संख्या को 1000 से विभाजित करते हैं, तो दशमलव को तीन अंक बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है क्योंकि 1000 में 0 की संख्या तीन होती है।

3427.29 ÷ 1000 = 3.42729

नोट – यदि दशमलव संख्या में दशमलव को स्थानांतरित करने के लिए पर्याप्त अंक नहीं हैं, तो हम 0 को अंकों के रूप में उपयोग करते हैं। उदाहरण – 99.35 ÷ 1000 = 0.09935

एक दशमलव संख्या का एक पूर्ण संख्या से विभाजन

दशमलव संख्या को पूर्ण संख्या से विभाजन में, हम दशमलव संख्या को भिन्न में और भाग चिह्न को गुणा में परिवर्तित करते हैं और पूर्ण संख्या का व्युत्क्रम लिखते हैं, और फिर गुणा करते हैं।

उदाहरण – 55.2 को 4 से भाग दीजिये।

हल – 55.2 ÷ 4 = (552/10) × ¼ = 552/10×4 = 138/10 = 13.8            उत्तर

नोट – हम दशमलव को हटाकर दशमलव संख्याओं को भिन्नों में बदलते हैं। दशमलव के स्थान पर हम हर में 1 लिखते हैं और दशमलव के बाद अंकों की संख्या के आधार पर हर में 0 लिखते हैं। उदाहरण – 16.25 = 1625/100

एक पूर्ण संख्या का दशमलव संख्या से विभाजन

उपरोक्त विभाजन के समान ही, हम दशमलव संख्या को भिन्न में और भाग चिह्न को गुणा में परिवर्तित करते हैं। फिर हम भिन्न का व्युत्क्रम लिखते हैं और गुणा करते हैं।

उदाहरण – 35 को 0.5 से भाग दीजिये।

हल – 35 ÷ 0.5 = 35 ÷ 5/10 = 35×10/5 = 7×10 = 70          उत्तर

नोट – यदि हमें दशमलव संख्या को भिन्न में बदलना है और दशमलव संख्या हर में लिखी है तो दशमलव के स्थान पर हम अंश में 1 लिखते हैं और दशमलव के बाद अंकों की संख्या के आधार पर अंश में 0 लिखते हैं। उदाहरण – 1/16.25 = 100/1625

एक दशमलव संख्या को दूसरी दशमलव संख्या से विभाजित करना

एक दशमलव संख्या को दूसरी दशमलव संख्या से विभाजन में, पहले हम दोनों दशमलव संख्याओं को भिन्नों में परिवर्तित करते हैं। उसके बाद हम भाग के चिन्ह को गुणा में बदलते हैं और भाजक भिन्न का व्युत्क्रम लिखते हैं और फिर गुणा करते हैं।

उदाहरण – 40.5 को 0.15 से भाग दीजिये।

हल – 40.5 ÷ 0.15

405/10 ÷ 15/100 = (405/10) × (100/15) = 4050/15 = 270          उत्तर

नोट – दशमलव संख्याओं के विभाजन में, यदि दशमलव के बाद के अंकों की संख्या, दोनों संख्याओं में बराबर हो तो हम दशमलव को अनदेखा करके उन संख्याओं को पूर्ण संख्याओं के रूप में विभाजित कर सकते हैं। उदाहरण – 3.6 ÷ 1.2 = 36/12 = 3

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