कुछ विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratios of Specific Angles Class 10th)

Kuchh Vishisht Konon Ke Lie Trikonamiteey Anupaat

परिचय

त्रिकोणमिति में, सभी त्रिकोणमितीय अनुपातों के लिए हम कुछ विशिष्ट कोणों 0°, 30°, 45°, 60°, और 90° के लिए इनके मान ज्ञात करेंगे। कुछ विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Specific Angles) इस प्रकार है।

कोण 0° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

माना △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B समकोण है और ∠C एक न्यून कोण ϴ है। यदि कोण ϴ = 0° हो जाता है तो रेखाखण्ड AC (कर्ण) रेखाखण्ड BC (आधार) के साथ सम्पाती हो जाएगा और रेखाखण्ड AB (लम्ब) 0 हो जाएगा। इसका मतलब AB = 0 और AC = BC होगा।

इस प्रकार कोण 0° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातो के मान

sin 0° = AB/AC = 0/AC = 0	cosec 0° = AC/AB = AC/0 = ∞ (अनंत)
cos 0° = BC/AC = BC/BC = 1	sec 0° = AC/BC = BC/BC = 1
tan 0° = AB/BC = 0/BC = 0	cot 0° = BC/AB = BC/0 = ∞ (अनंत)

कोण 30° और 60° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

माना △ABC एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी प्रत्येक भुजा 2a है। इसलिए AB = BC = CA = 2a और ∠A = ∠B = ∠C = 60° होंगे। AD, शीर्ष A से भुजा BC पर लंब है (AD⊥BC)।

△ABD और △ACD में,

∠ADB = ∠ADC = 90°

AB = AC = 2a

AD = AD (उभयनिष्ठ भुजा)

RHS नियम से, △ABD ≅ △ACD

इसलिए, BD = CD = a और ∠BAD = ∠CAD = 30° (CPCT द्वारा)                       

समकोण त्रिभुज △ABD में,

AB = 2a, BD = a

AD² = AB² – BD² (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)                                                      

AD² = (2a)² – (a)² = 4a² – a²

AD² = 3a²

AD = √3a² 

AD = a√3

कोण 30° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

sin 30° = BD/AB = a/2a = 1/2	cosec 30° = AB/BD = 2a/a = 2
cos 30° = AD/AB = a√3/2a = √3/2	sec 30° = AB/AD = 2a/a√3 = 2/√3
tan 30° = BD/AD = a/a√3 = 1/√3	cot 30° = AD/BD = a√3/a = √3

अब कोण 60° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

sin 60° = AD/AB = a√3/2a = √3/2	cosec 60° = AB/AD = 2a/a√3 = 2/√3
cos 60° = BD/AB = a/2a = 1/2	sec 60° = AB/BD = 2a/a = 2
tan 60° = AD/BD = a√3/a = √3	cot 60° = BD/AD = a/a√3 = 1/√3

कोण 45° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात  

माना △ABC एक समकोण त्रिभुज है। जिसमें ∠B समकोण और ∠C = 45° है।

अब ∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + 90° + 45° = 180°

∠A = 180° – 135°

∠A = 45° 

चूँकि ∠A = ∠C

इसलिए, AB = BC (समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं)

माना AB = BC = a

तब AC² = AB² + BC² (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा)

AC² = (a)² + (a)² = a² + a²

AC² = 2a²

AC = √2a² = a√2

इस प्रकार कोण 45° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातो के मान

sin 45° = AB/AC = a/a√2 = 1/√2	cosec 45° = AC/AB = a√2/a = √2
cos 45° = BC/AC = a/a√2 = 1/√2	sec 45° = AC/BC = a√2/a = √2
tan 45° = AB/BC = a/a = 1	cot 45° = BC/AB = a/a = 1

कोण 90° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

माना △ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠B समकोण है और ∠C एक न्यून कोण ϴ है। यदि कोण ϴ, 90° हो जाता है तो रेखाखण्ड AC (कर्ण) रेखाखण्ड AB (लम्ब) के साथ सम्पाती हो जाएगा और रेखाखण्ड BC (आधार) 0 हो जाएगा। इसका मतलब BC = 0 और AC = AB होगा।

इस प्रकार कोण 90° के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातो के मान

sin 90° = AB/AC = AB/AB = 1	cosec 90° = AC/AB = AB/AB = 1
cos 90° = BC/AC = 0/AC = 0	sec 90° = AC/BC = AC/0 = ∞ (अनंत)
tan 90° = AB/BC = AB/0 = ∞ (अनंत)	cot 90° = BC/AB = 0/AB = 0

उपरोक्त सभी मानो से यदि हम विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Specific Angles) की एक तालिका बनाते हैं तो इन सभी मानो को आसानी से याद किया जा सकता है।

त्रिकोणमितीय अनुपात∖कोण (ϴ) (डिग्री में)➡ ⬇	0°	30°	45°	60°	90°
sin ϴ	0	½	1/√2	√3/2	1
cos ϴ	1	√3/2	1/√2	½	0
tan ϴ	0	1/√3	1	√3	∞
cosec ϴ	∞	2	√2	2/√3	1
sec ϴ	1	2/√3	√2	2	∞
cot ϴ	∞	√3	1	1/√3	0

तालिका को जल्दी याद करने के लिए चरण –

1) सबसे पहले हमें कोण 0°, 30°, 45°, 60° और 90° के लिए क्रमशः 0, 1, 2, 3, और 4 संख्याएँ लिखनी है।

2) उसके बाद हम प्रत्येक संख्या को 4 से विभाजित करेंगे।

0/4 = 0

1/4

2/4 = 1/2

3/4

4/4 = 1

3) अब हमारे पास संख्याएँ 0, 1/4, 1/2, 3/4, और 1 है। हम इन संख्याओं का वर्गमूल लेंगे।

√0 = 0

√1/4 = 1/2

√1/2 = 1/√2

√3/4 = √3/2

√1 = 1

ये मान sin ϴ के लिए हैं।

4) इन मानों को उल्टे क्रम में लिखने से हमें cos ϴ के मान मिलेंगे।

उल्टा क्रम →

1

√3/2

1/√2

1/2

0

5) tan ϴ के लिए, हम sin ϴ के मानों को cos ϴ के मानों से विभाजित करेंगे क्योंकि tan ϴ = sin ϴ/cos ϴ

0/1 = 0

1/2 ∕ √3/2 = 1/√3

1/√2 ∕ 1/√2 = 1

√3/2 ∕ 1/2 = √3

1/0 = ∞ (अनंत)

6) अब हम cosec ϴ के मान प्राप्त करने के लिए sin ϴ के मानों का व्युत्क्रम लेंगे। क्योंकि cosec ϴ = 1/sin ϴ

व्युत्क्रम →

1/0 = ∞ (अनंत)

1 ∕ 1/2 = 2

1 ∕ 1/√2 = √2

1 ∕ √3/2 = 2/√3

1/1 = 1

7) sec ϴ के लिए, हम cosec ϴ के मान उल्टे क्रम में लिखेंगे।

उल्टा क्रम →

1

2/√3

√2

2

∞ (अनंत)

8) cot ϴ के लिए, हम tan ϴ के मानों का व्युत्क्रम लेंगे क्योंकि cot ϴ = 1/tan ϴ है।

व्युत्क्रम →

1/0 = ∞ (अनंत)

1 ∕ 1/√3 = √3

1/1 = 1

1/√3

0/1 = 0

उदाहरण 1) sin 60° cos 30° – sin 30° cos 60° का मान ज्ञात कीजिये।

हल – sin 60° cos 30° – sin 30° cos 60°

(√3/2)⨯(√3/2) – (1/2)⨯(1/2) = 3/4 – 1/4 = (3-1)/4 = 2/4 = 1/2 उत्तर

उदाहरण 2) tan² 45° + sin² 30° – cos² 60° का मान ज्ञात करें।

हल – tan² 45° + sin² 30° – cos² 60°

(1)² + (1/2)² – (1/2)² = 1 + 1/4 – 1/4 = 1 उत्तर

कुछ विशिष्ट कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios of Specific Angles) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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