NCERT गणित कक्षा 10 अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ हल

NCERT Math’s Class 10th Chapter 1 Real Numbers Solutions

इस भाग में, हम हिंदी में एनसीईआरटी (NCERT) गणित कक्षा 10वीं के अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers) के हल (NCERT Math’s Class 10th Chapter 1 Real Numbers Solutions) का अध्ययन करेंगे। अध्याय 1 में चार प्रश्नावलियाँ है और हल प्रश्नावली के अनुसार दिया गया है, जिसमें प्रत्येक प्रश्न को विस्तार से हल किया गया है।

अध्याय 1 वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

हल

प्रश्नावली 1.1

प्रश्न (1) निम्नलिखित संख्याओं का मसप (HCF) ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए:

(i) 135 और 225     (ii) 196 और 38220     (iii) 867 और 255

हल – (i) 135 और 225

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

चरण 1 – यहाँ, दो धनात्मक पूर्णांक 135 और 225 हैं और 225 > 135 हैं। इसलिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,

225 = 135×1 + 90

चरण 2 – चूँकि शेषफल शून्य नहीं है (90 ≠ 0), इसलिए, हम भाजक 135 और शेषफल 90 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।

135 = 90×1 + 45

चरण 3 – पुनः, शेषफल शून्य नहीं है (45 ≠ 0), इसलिए, हम भाजक 90 और शेषफल 45 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।

90 = 45×2 + 0

चूँकि चरण 3 में शेषफल शून्य है और इस चरण में भाजक 45 है।

इसलिए, 135 और 225 का अभीष्ट मसप (HCF) 45 है।             उत्तर

इसे हम विभाजन प्रक्रिया से भी समझ सकते हैं।

(ii) 196 और 38220

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

चरण 1 – यहाँ, 38220 > 196 हैं। इसलिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,

38220 = 196×195 + 0

चूँकि चरण 1 में शेषफल शून्य है, इसलिए 196 और 38220 का मसप (HCF) 196 है।     उत्तर

इसे हम विभाजन प्रक्रिया से भी समझ सकते हैं।

(iii) 867 और 255

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

चरण 1 – यहाँ, 867 > 255 हैं। इसलिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,

867 = 255×3 + 102

चरण 2 – चूँकि शेषफल शून्य नहीं है (102 ≠ 0), इसलिए, हम भाजक 255 और शेषफल 102 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।

255 = 102×2 + 51

चरण 3 – पुनः, शेषफल शून्य नहीं है (51 ≠ 0), इसलिए, हम भाजक 102 और शेषफल 51 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।

102 = 51×2 + 0

चूँकि चरण 3 में शेषफल शून्य है और इस चरण में भाजक 51 हैं।

इसलिए, 867 और 255 का अभीष्ट मसप (HCF) 51 है।             उत्तर

इसे हम विभाजन प्रक्रिया से भी समझ सकते हैं।

प्रश्न (2) दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल – मान लीजिए a कोई धनात्मक विषम पूर्णांक है और b कोई धनात्मक पूर्णांक है। प्रश्न के अनुसार, हम b = 6 ले रहे हैं।

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,                  a = bq + r                जहाँ,  0  r < b

                          यहाँ,      b = 6          इसलिए, 0 ≤ r < 6    अर्थात r = 0, 1, 2, 3, 4, 5

 मान रखने पर,     b = 6 और r = 0 तो      a = 6q + 0; a = 6q                                 

                                   b = 6 और r = 1 तो     a = 6q + 1

                                   b = 6 और r = 2 तो     a = 6q + 2

                                   b = 6 और r = 3 तो     a = 6q + 3

                                   b = 6 और r = 4 तो     a = 6q + 4

                                   b = 6 और r = 5 तो     a = 6q + 5

अब, चूँकि a एक धनात्मक विषम पूर्णांक है, इसलिए यह 6q, या 6q + 2, या 6q + 4 के रूप का नहीं हो सकता क्योंकि ये सभी सम धनात्मक पूर्णांक हैं और 2 से विभाज्य हैं।

इसलिए, कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, या 6q + 3, या 6q + 5 के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।           उत्तर

प्रश्न (3) किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तम्भों में मार्च करना है। उन स्तम्भों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं?

हल – इस प्रश्न में, 616 सदस्यों और 32 सदस्यों के दो समूह हैं।

स्तंभों की अधिकतम संख्या ज्ञात करने के लिए, हम यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा 616 और 32 का मसप (HCF) ज्ञात करेंगे।

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करने पर,

चरण 1 – यहाँ, 616 > 32 इसलिए, यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका द्वारा,

616 = 32×19 + 8

चरण 2 – चूँकि शेषफल शून्य नहीं है (8 ≠ 0), इसलिए हम भाजक 32 और शेषफल 8 पर यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करेंगे।

32 = 8×4 + 0

चूँकि चरण 2 में शेषफल शून्य है और इस चरण में भाजक 8 है।

इसलिए, 616 और 32 का मसप (HCF) 8 है। इसका मतलब है कि स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं, 8 है।           उत्तर

प्रश्न (4) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

[संकेत: यह मान लीजिए कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है। तब, यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप में लिखा जा सकता है। इनमें से प्रत्येक का वर्ग कीजिए और दर्शाइए कि इन वर्गों को 3m या 3m + 1 के रूप में लिखा जा सकता है।]

हल – मान लीजिए कि x कोई धनात्मक पूर्णांक है तो यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का हो सकता है।

अब, यदि x = 3q

जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

x² = (3q)²

x² = 9q²

x² = 3(3q²)

x² = 3m       …………….(1)

जहाँ, m = 3q² और m भी एक पूर्णांक है।

पुनः, यदि x = 3q + 1

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

x² = (3q + 1)²

सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + b)² = a² + 2ab + b²

x² = 9q² + 6q + 1

x² = 3(3q² + 2q) + 1

x² = 3m + 1       ……………..(2)

जहाँ, m = 3q² + 2q और m भी एक पूर्णांक है।

पुनः, यदि x = 3q + 2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

x² = (3q + 2)²

पुनः, सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + b)² = a² + 2ab + b²

x² = 9q² + 12q + 4

हम यह भी लिख सकते हैं, x² = 9q² + 12q + 3 + 1

x² = 3(3q² + 4q + 1) + 1

x² = 3m + 1       ……………..(3)

जहाँ, m = 3q² + 4q + 1 और m भी एक पूर्णांक है।

समीकरण (1), (2), और (3) से

x² = 3m या 3m + 1

इसलिए, किसी पूर्णांक m के लिए किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग या तो 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।       उत्तर

प्रश्न (5) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

हल – मान लीजिए a कोई धनात्मक पूर्णांक है।

यूक्लिड की विभाजन प्रमेयिका द्वारा, a = bq + r जहाँ, q = भागफल और r = शेषफल

मान लीजिए b = 3

इसलिए, 0 ≤ r < 3       अर्थात r = 0, 1, 2 (जैसा कि प्रश्न में आवश्यक है)

अब, मान रखने पर,

b = 3 और r = 0 तो      a = 3q + 0; a = 3q

b = 3 और r = 1 तो      a = 3q + 1

b = 3 और r = 2 तो      a = 3q + 2

इसका मतलब है कि a, 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का है।

अब, यदि a = 3q

दोनों पक्षों का घन करने पर,

a³ = (3q)³

a³ = 27q³

a³ = 9(3q³)

a³ = 9m       …………..(1)

जहाँ, m = 3q³ और m भी एक पूर्णांक है।

पुनः, यदि a = 3q + 1

दोनों पक्षों का घन करने पर,

a³ = (3q + 1)³

सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1

a³ = 9(3q³ + 3q² + q) + 1

a³ = 9m + 1      ……………(2)

जहाँ, m = 3q³ + 3q² + q और m भी एक पूर्णांक है।

पुनः, यदि a = 3q + 2

दोनों पक्षों का घन करने पर,

a³ = (3q + 2)³

पुनः, सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

a³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8

a³ = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8

a³ = 9m + 8      ……………(3)

जहाँ, m = 3q³ + 6q² + 4q और m भी एक पूर्णांक है।

समीकरण (1), (2), और (3) से

a³ = 9m, 9m + 1 या 9m + 8

इसलिए, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।           उत्तर

प्रश्नावली 1.2

प्रश्न (1) निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:

(i) 140     (ii) 156     (iii) 3825     (iv) 5005     (v) 7429

हल – (i) 140

140 के अभाज्य गुणनखंड = 2×2×5×7 = 2²×5×7

(ii) 156

156 के अभाज्य गुणनखंड = 2×2×3×13 = 2²×3×13

(iii) 3825

3825 के अभाज्य गुणनखंड = 3×3×5×5×17 = 3²×5²×17

(iv) 5005

5005 के अभाज्य गुणनखंड = 5×7×11×13

(v) 7429

7429 के अभाज्य गुणनखंड = 17×19×23

NCERT गणित कक्षा 10 हल (NCERT Math’s Class 10th Solutions) अंग्रेजी में

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