वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ कक्षा 9वीं (Operations on Real Numbers Class 9th)

इस भाग में, हम वास्तविक संख्याओं पर विभिन्न गणितीय संक्रियाओं (Operations on Real Numbers Class 9^th) जैसे कि जोड़, घटाव, गुणा और भाग का अध्ययन करेंगे। हम जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं इसलिए हम उन पर संक्रियाएँ लागू करेंगे।

परिमेय संख्याओं के लिए

जैसा कि हमने पिछली कक्षाओं में सीखा है, परिमेय संख्याएँ योग और गुणन के क्रमविनिमेय (Commutative), साहचर्य (Associative) और बंटन (Distributive) गुणों को संतुष्ट करती हैं। हम यह भी जानते हैं कि परिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अंतर्गत संवृत (Closed) होती हैं क्योंकि यदि हम दो परिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा या भाग (शून्य को छोड़कर) करते हैं, तो हमें हमेशा एक परिमेय संख्या प्राप्त होती है।

उदाहरण – दो परिमेय संख्याओं 2 और ¼ का जोड़, घटाव, गुणा और भाग करें।

हल – जोड़, 2 + ¼ = (2×4 + 1) / 4 = (8 + 1) / 4 = 9/4

घटाव, 2 – ¼ = (2×4 – 1) / 4 = (8 – 1) / 4 = 7/4

गुणा, 2 × ¼ = 2/4 = ½

भाग, 2 ÷ ¼ = 2 × 4/1 = 8      

हम देख सकते हैं कि 9/4, 7/4, 1/2, और 8 भी परिमेय संख्याएँ हैं।          उत्तर

अपरिमेय संख्याओं के लिए

अपरिमेय संख्याएँ भी योग और गुणन के क्रमविनिमेय (Commutative), साहचर्य (Associative) और बंटन (Distributive) नियम को संतुष्ट करती हैं, लेकिन अपरिमेय संख्याएँ जोड़, घटाव, गुणा और भाग के अंतर्गत संवृत (Closed) नहीं होती हैं क्योंकि यदि हम दो अपरिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा या भाग करते हैं, तो हमें हमेशा एक अपरिमेय संख्या प्राप्त नहीं होती है।

उदाहरण –

(1) दो अपरिमेय संख्याएँ √5 और -√5 को जोड़ें।

हल – (√5) + (-√5) = √5 – √5 = 0

(2) √2 को √2 में से घटाएं।

हल – √2 – √2 = 0

(3) √6 और √6 का गुणा करें।

हल – √6 × √6 = 6

(4) √10 को √10 से विभाजित करें।

हल – √10 ÷ √10 = √10 / √10 = 1

हम देख सकते हैं कि 0, 0, 6 और 1 परिमेय संख्याएँ हैं।              उत्तर

परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं दोनों के लिए

क्या होता है जब हम एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या के बीच गणितीय संक्रियाओं को लागू करते हैं? आइए इसे कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं।

उदाहरण –

(1) √3 और 4 को जोड़ें।

हल – √3 + 4

हम जानते हैं कि √3 एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है। इसलिए, √3 + 4 भी एक अपरिमेय संख्या होगी।        उत्तर

(2) √7 में से 2 घटाइए।

हल – √7 – 2

यहाँ, √7 असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार के कारण एक अपरिमेय संख्या है। इसलिए, √7 – 2 भी एक अपरिमेय संख्या होगी।        उत्तर

(3) √5 को 5 से गुणा करें।

हल – √5×5 = 5√5

√5 एक अपरिमेय संख्या है। इसलिए, 5√5 भी एक अपरिमेय संख्या होगी।          उत्तर

(4) 9 को √8 से भाग दें।

हल – 9 ÷ √8 = 9/√8

9/√8 एक अपरिमेय संख्या होगी क्योंकि √8 एक अपरिमेय संख्या है।          उत्तर

उपरोक्त सभी उदाहरणों में, हमें अपरिमेय संख्याएँ प्राप्त होती हैं। अब, हम इन अपरिमेय संख्याओं का योग, घटाना, गुणा, भाग, वर्गमूल और यहाँ तक कि nवाँ मूल भी लेते हैं, जहाँ n कोई प्राकृत संख्या है। समझने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण (1) √3 + 8√2 और 5√3 – 3√2 को जोड़ें।

हल – (√3 + 8√2) + (5√3 – 3√2)

(√3 + 5√3) + (8√2 – 3√2)

(1 + 5)√3 + (8 – 3)√2

6√3 + 5√2                उत्तर

उदाहरण (2) 5√7 + 3√5 में से 2√5 + 3√7 को घटाएं।

हल – (5√7 + 3√5) – (2√5 + 3√7)

5√7 + 3√5 – 2√5 – 3√7

(5√7 – 3√7) + (3√5 – 2√5)

(5 – 3)√7 + (3 – 2)√5

2√7 + √5                उत्तर

उदाहरण (3) 10√2 को 3√2 से गुणा करें।

हल – 10√2 × 3√2

10×3×√2×√2

30×2

60           उत्तर

उदाहरण (4) 9√15 को 3√12 से विभाजित करें।

हल – 9√15 ÷ 3√12

9√15 / 3√12

9×√3×√5 / 3×√4×√3

3√5 / 2                 उत्तर

उपरोक्त स्पष्टीकरण हमें कुछ सत्य कथनों पर विचार करने में मदद करता है, जो इस प्रकार हैं –

1. एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का जोड़ और घटाव हमेशा अपरिमेय होता है।
2. एक अपरिमेय संख्या के साथ एक गैर-शून्य (0 के अलावा) परिमेय संख्या का गुणन और विभाजन हमेशा अपरिमेय होता है।
3. दो अपरिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा और भाग परिमेय या अपरिमेय हो सकता है।
4. दो परिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, गुणा और भाग (शून्य को छोड़कर) हमेशा परिमेय होते हैं।

वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकालने की संक्रिया

प्राकृतिक संख्या a के लिए, हम लिख सकते हैं, √a = b

या हम लिख सकते हैं, b² = a और b > 0

यही परिभाषा धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर भी लागू की जा सकती है।

मान लीजिए a एक वास्तविक संख्या है और a > 0 है।

तब √a = b

या हम लिख सकते हैं, b² = a और b > 0

अब, हम एक धनात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल ज्यामितीय रूप से ज्ञात करते हैं। मान लीजिए x एक धनात्मक वास्तविक संख्या है और हम ज्यामितीय रूप से √x ज्ञात करते हैं।

सबसे पहले, हम माप x इकाई का एक रेखाखंड AB खींचते हैं। उसके बाद, हम C बिंदु को इस प्रकार लेते हैं कि BC = 1 इकाई। परकार और स्केल की मदद से, हम AC का मध्य बिंदु प्राप्त करते हैं, जो बिंदु O है। बिंदु O को केंद्र और OA को त्रिज्या के रूप में लेते हुए, हम एक अर्धवृत्त बनाते हैं। बिंदु B पर, हम एक लंब BD खींचते हैं जो अर्धवृत्त को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है।

इसलिए, लंब BD = √x

यह धनात्मक वास्तविक संख्या का वर्गमूल ज्ञात करने का ज्यामितीय तरीका है।

हम यह भी ज्ञात कर सकते हैं कि कैसे BD = √x है। फिर से, उपरोक्त चित्र का उपयोग करते हुए।

OD को मिलाने के बाद, हम देख सकते हैं कि △OBD एक समकोण त्रिभुज है। साथ ही, वृत्त की त्रिज्या (x+1)/2 इकाई है क्योंकि व्यास x+1 इकाई है।

इसलिए, OA = OC = OD = (x+1)/2 इकाई

अब, OB = OC – BC = (x+1)/2 – 1

OB = x + 1 – 2 / 2 = (x – 1)/2 इकाई

पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करने पर, △OBD में,

BD² = OD² – OB²

BD² = {(x+1)/2}² – {(x-1)/2}²

BD² = (x+1)²/4 – (x-1)²/4

BD² = (x² + 2x + 1) – (x² – 2x + 1) / 4

BD² = x² + 2x + 1 – x² + 2x – 1 / 4

BD² = 4x/4 = x

BD = √x

हम इस ज्यामितीय तरीके से BD = √x प्राप्त करते हैं और उपरोक्त रचना से पता चलता है कि √x का सभी वास्तविक संख्याओं के लिए अस्तित्व है, जहाँ x > 0 है।

उदाहरण के लिए, यदि हम इसे x = 2.7 के लिए ज्ञात करते हैं, अर्थात हम ज्यामितीय तरीके से √2.7 ज्ञात करेंगे।

फिर हम AB = 2.7 इकाई खींचेंगे और बिंदु B से 1 इकाई की दूरी पर एक बिंदु C अंकित करेंगे। इसके बाद हम एक परकार और स्केल की मदद से AC का मध्य बिंदु ज्ञात करेंगे और उस बिंदु को O के रूप में चिह्नित करेंगे। बिंदु O को केंद्र और OA को त्रिज्या के रूप में लेते हुए, हम एक अर्धवृत्त बनाते हैं।अब, हम AC पर लंब खींचेंगे जो बिंदु B से होकर जाता है और अर्धवृत्त को बिंदु D पर प्रतिच्छेद करता है, अर्थात BD ⊥ AC है।

तब BD = √2.7

हम संख्या रेखा पर √x की स्थिति भी ज्ञात कर सकते हैं। आइए हम BC को एक संख्या रेखा मान लें और B को 0 मान लें, C को 1 मान लें, और इसी तरह से आगे भी मान लें। हम B को केंद्र मानकर BD के बराबर एक चाप खींचते हैं, जो संख्या रेखा को बिंदु E पर प्रतिच्छेद करता है। तब बिंदु E, √x को दर्शाता है।

वास्तविक संख्याओं के nवें मूल

जैसा कि पिछली कक्षाओं में पढ़ा है, हमें वर्गमूल और घनमूल की पहले से ही जानकारी है। आइए कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं।

1) √9 = 3

हम जानते हैं कि 3 वह संख्या है जिसका वर्ग 9 होता है।

या हम लिख सकते हैं, 3² = 9

2) ³√8 = 2

हम जानते हैं कि 2 वह संख्या है जिसका घन 8 होता है।

या हम लिख सकते हैं, 2³ = 8

3) ⁴√81 = 3

हम जानते हैं कि 3 वह संख्या है जिसका चार बार गुणा 81 होता है।

या हम लिख सकते हैं, 3⁴ = 81

4) ⁵√32 = 2

हम जानते हैं कि 2 वह संख्या है जिसका पाँच बार गुणा 32 होता है।

या हम लिख सकते हैं, 2⁵ = 32

इन उदाहरणों से, हम ⁿ√a को एक वास्तविक संख्या a > 0 और एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए परिभाषित कर सकते हैं।

मान लीजिए a एक वास्तविक संख्या है कि a > 0 और n एक धनात्मक पूर्णांक हैं।

तब ⁿ√a = b

या हम लिख सकते हैं, bⁿ = a और b > 0

नोट – √9, ³√8, ⁵√32, ⁿ√a, आदि में प्रयुक्त चिन्ह ‘√’ को करणी चिन्ह (radical sign) कहते हैं।

यहाँ कुछ सर्वसमिकाएँ दी गई हैं जो वर्गमूल से संबंधित हैं। मान लीजिए कि a और b दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। तब

(i) √ab = √a√b	(v) (a + √b)(a – √b) = (a)2 – (√b)2 = a2 – b
(ii) √a/b = √a / √b	(vi) (√a + √b)(√c + √d) = √ac + √ad + √bc + √bd
(iii) √a×√a = a	(vii) (√a + √b)2 = (√a)2 + 2√ab + (√b)2 = a + 2√ab + b
(iv) (√a + √b)(√a – √b) = (√a)2 – (√b)2 = a – b	(viii) (√a – √b)2 = (√a)2 – 2√ab + (√b)2 = a – 2√ab + b

कुछ उदाहरण

उदाहरण – निम्नलिखित व्यंजकों को सरल कीजिए:

(1) (√2 + √3)(√2 – √3)

(2) (√5 + √2)(√3 + √7)

(3) (√7 + √2)²

(4) (8 – √3)(√2 + 1)

हल – (1) (√2 + √3)(√2 – √3)

सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (√a + √b)(√a – √b) = (√a)² – (√b)² = a – b

(√2)² – (√3)² = 2 – 3 = -1         उत्तर

(2) (√5 + √2)( √3 + √7)

सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (√a + √b)(√c + √d) = √ac + √ad + √bc + √bd

√5×√3 + √5×√7 + √2×√3 + √2×√7

√15 + √35 + √6 + √14           उत्तर

(3) (√7 + √2)²

सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (√a + √b)² = (√a)² + 2√ab + (√b)² = a + 2√ab + b

(√7)² + 2×√7×√2 + (√2)²

7 + 2√14 + 2

9 + 2√14            उत्तर

(4) (8 – √3)(√2 + 1)

सर्वसमिका का उपयोग करने पर, (√a + √b)(√c + √d) = √ac + √ad + √bc + √bd

8×√2 + 8×1 – √3×√2 – √3×1

8√2 + 8 – √6 – √3          उत्तर

हर का परिमेयकरण

हमने संख्या रेखा पर अपरिमेय संख्याओं के निरूपण का अध्ययन किया है लेकिन यदि अपरिमेय संख्या हर में है जैसे 1/√3, 1/√2, 5/√7, आदि तो ये संख्याएँ संख्या रेखा पर कहाँ निरूपित होंगी? इन संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करना काफी कठिन होगा। यदि अंश एक अपरिमेय संख्या है और हर एक परिमेय संख्या है, तो संख्या रेखा पर निरूपित करना आसान होगा।

हर को परिमेय संख्या में बदलने के लिए हम वर्गमूल की सर्वसमिका की सहायता से हर का परिमेयकरण करते हैं। आइए कुछ उदाहरणों की मदद से समझते हैं।

उदाहरण (1) 1/√3 के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल – हम जानते हैं कि √a×√a = a

इसका अर्थ है √3 को एक परिमेय संख्या में बदलने के लिए, हम इसे √3 से गुणा करेंगे। लेकिन दी गई संख्या समान रहनी चाहिए इसलिए हम 1/√3 को √3/√3 से गुणा करेंगे जो हमें एक समतुल्य व्यंजक देगा।

1/√3 × √3/√3 = 1×√3 / √3×√3           (⸪ √3/√3 = 1)

√3/3

इस रूप में, संख्या रेखा पर 1/√3 को निरूपित करना आसान है। यह 0 और √3 के बीच तीसरा भाग होगा। उत्तर

उदाहरण (2) 2 / 3+√2 के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल – 2 / 3+√2 को 3 – √2 से गुणा और भाग करने पर,

2 / 3+√2 × 3-√2 / 3-√2

2×(3-√2) / (3+√2)×(3-√2)

सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + √b)(a – √b) = (a)² – (√b)² = a² – b

2(3-√2) / (3)² – (√2)²

2(3-√2) / 9 – 2

2(3-√2) / 7

या, 6-2√2 / 7               उत्तर

नोट – उपरोक्त उदाहरण में, हम 3+√2 को 3-√2 से गुणा करके परिमेय संख्या में बदलते हैं। संख्या वही है लेकिन चिन्ह अलग है क्योंकि यह एक सर्वसमिका (a + √b)(a – √b) = (a)² – (√b)² = a² – b बनाता है। यह सर्वसमिका हमें एक परिमेय संख्या देगी। यदि हम समान चिह्न वाली संख्या से गुणा करते हैं, तो हमें हर में परिमेय संख्या नहीं मिलेगी।

उदाहरण (3) 1 / √5-√7 के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल – 1 / √5-√7 को √5+√7 से गुणा और भाग करने पर,

1 / √5-√7 × √5+√7 / √5+√7

1×(√5+√7) / (√5-√7)×(√5+√7)

सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (√a + √b)( √a – √b) = (√a)² – (√b)² = a – b

√5+√7 / (√5)² – (√7)²

√5+√7 / 5 – 7

√5+√7 / -2            उत्तर

उदाहरण (4) 3 / 4+3√2 के हर का परिमेयकरण कीजिए।

हल – 3 / 4+3√2 को 4 – 3√2 से गुणा और भाग करने पर,

3 / 4+3√2 × 4-3√2 / 4-3√2

3×(4-3√2) / (4+3√2)×(4-3√2)

सर्वसमिका का प्रयोग करने पर, (a + √b)(a – √b) = (a)² – (√b)² = a² – b

3×(4-3√2) / (4)² – (3√2)²

3×(4-3√2) / 16 – 9×2

3×(4-3√2) / 16 – 18

3×(4-3√2) / -2

(3/-2)(4-3√2)

या, (-3/2)(4-3√2)             उत्तर

यदि किसी व्यंजक का हर वर्गमूल में हो या हर में कोई पद वर्गमूल में हो, तो उसे ऐसे तुल्य व्यंजक में बदलने की प्रक्रिया जिसका हर एक परिमेय संख्या हो, हर का परिमेयकरण कहलाता है।

वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ कक्षा 9वीं (Operations on Real Numbers Class 9th) अंग्रेजी में

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