संख्या पद्धति कक्षा 9वीं (Number System Class 9th)

पिछली कक्षाओं में हमने संख्या प्रणाली का अध्ययन किया था। हम संख्याओं के प्रकार, संख्या रेखाएँ और विभिन्न प्रकार की संख्याओं को संख्या रेखा पर निरूपित करना जानते हैं। हमने प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं आदि का अध्ययन किया है। कक्षा 9वीं में हम संख्या प्रणाली के बारे में अधिक अध्ययन करेंगे, लेकिन इससे पहले आइए हम संख्याओं और संख्या रेखाओं के प्रकारों को फिर से याद करें।

संख्याओं के प्रकार

(1) प्राकृत संख्याएँ (Natural Numbers) – 1 से प्रारंभ होने वाली सभी गिनती की संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं या हम यह भी कह सकते हैं कि 1 से ∞ (अनंत) तक की संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृतिक संख्याओं को N द्वारा निरूपित किया जाता है।

(2) पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers) – 0 सहित सभी गिनती की संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं या 0 से ∞ तक की संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। पूर्ण संख्याओं को W द्वारा निरूपित किया जाता है।

(3) पूर्णांक संख्याएँ (Integers) – 0 सहित सभी धनात्मक और ऋणात्मक संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं या सभी ऋणात्मक संख्याओं और पूर्ण संख्याओं का संग्रह पूर्णांक संख्याएँ कहलाती हैं। पूर्णांक संख्याओं को Z द्वारा निरूपित किया जाता है। एक जर्मन शब्द है ‘Zahlen’, जिसका अर्थ है ‘गिनना’, इसीलिए पूर्णांक संख्याओं को Z द्वारा निरूपित किया जाता है। संख्या रेखा पर, धनात्मक संख्याओं को धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ कहा जाता है और ऋणात्मक संख्याओं को ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएँ कहा जाता है।

(4) परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers) – यदि किसी संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, तो वह संख्या परिमेय संख्या कहलाती है, जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0 है। परिमेय संख्याओं को Q द्वारा निरूपित किया जाता है। शब्द ‘ परिमेय (Rational)’ शब्द ‘अनुपात (Ratio)’ से बना है और परिमेय संख्याओं को ‘(Quotient) भागफल’ शब्द के कारण Q द्वारा निरूपित किया जाता है।

संख्याओं से संबंधित कुछ कथन

1. प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है परन्तु प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृत संख्या नहीं होती है। क्योंकि 0 एक प्राकृत संख्या नहीं है।

2. प्रत्येक प्राकृत संख्या या पूर्ण संख्या या पूर्णांक संख्या एक परिमेय संख्या होती है लेकिन प्रत्येक परिमेय संख्या प्राकृत संख्या या पूर्ण संख्या या पूर्णांक संख्या नहीं होती है।

3. सभी प्राकृत संख्याओं को धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ भी कहते हैं।

4. 1 सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है।

5. 0 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।

नोट – 1) सभी प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक संख्याएँ भी परिमेय संख्याएँ हैं क्योंकि इन्हें हम p/q के रूप में लिख सकते हैं। उदाहरण – 5/1, 4/1, 0/1, 1/1, -8/1, -3/1, आदि।

2) जब हम संख्या रेखा पर एक परिमेय संख्या p/q को निरूपित करते हैं, तो हम मान लेते हैं कि q ≠ 0 है और p और q में 1 के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इसका अर्थ है कि p और q सह-अभाज्य संख्याएँ हैं।

3) हम पहले ही अध्ययन कर चुके हैं कि दो परिमेय संख्याओं के बीच की परिमेय संख्या कैसे ज्ञात की जाती है। यदि हमें परिमेय संख्या a और b के बीच कोई परिमेय संख्या ज्ञात करनी है, तो हम a और b को जोड़ते हैं और इसे 2 से विभाजित करते हैं। इसका अर्थ है a+b/2, a और b के बीच की परिमेय संख्या है। इसे एक उदाहरण से समझते हैं।

उदाहरण – 1 और 3 के बीच चार परिमेय संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल – 1 और 3 के लिए सूत्र a+b/2 का उपयोग करने पर।

1 और 3 के बीच की परिमेय संख्या = 1+3/2 = 4/2 = 2 => 1, 2, 3

1 और 2 के बीच की परिमेय संख्या = 1+2/2 = 3/2 => 1, 3/2, 2, 3

2 और 3 के बीच की परिमेय संख्या = 2+3/2 = 5/2 => 1, 3/2, 2, 5/2, 3

अब, 1 और 3/2 के बीच की परिमेय संख्या = (1+3/2)/2 = (2+3/2)/2 = 5/2/2 = 5/4 => 1, 5/4, 3/2, 2, 5/2, 3

इसलिए, 1 और 3 के बीच चार परिमेय संख्याएँ 5/4, 3/2, 2 और 5/2 हैं।             उत्तर

दूसरी विधि – चूँकि हमें चार परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं, इसलिए हम 1 और 3 को हर 4+1 = 5 वाली परिमेय संख्याओं के रूप में लिखते हैं।

अर्थात, 1 = 1×5/5 = 5/5 और 3 = 3×5/5 = 15/5

5/5 और 15/3 के बीच परिमेय संख्याएँ = 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5

हमें केवल चार परिमेय संख्याएँ लिखनी हैं। अतः, हम इनमें से कोई भी चार परिमेय संख्याएँ लिख सकते हैं।

इसलिए, 1 और 3 के बीच चार परिमेय संख्याएँ 6/5, 7/5, 8/5 और 9/5 हैं।            उत्तर

4) उपर्युक्त उदाहरण की सहायता से हम समझ सकते हैं कि किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अपरिमित रूप से अनेक परिमेय संख्याएँ होती हैं।

अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

उपरोक्त अनुभाग में, हमने देखा है कि संख्या रेखा पर सभी संख्याएँ परिमेय संख्याएँ हैं या परिमेय संख्याओं के रूप में हैं। क्या संख्या रेखा पर कोई संख्या परिमेय संख्या या p/q के रूप में नहीं है? यदि हाँ, तो इस प्रकार की कितनी संख्याएँ संख्या रेखा पर हैं और उन्हें क्या कहा जाता है? संख्या रेखा पर अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं जो p/q के रूप की नहीं होती हैं। इस प्रकार की संख्याओं को अपरिमेय संख्याएँ कहते हैं।

परिभाषा – ऐसी संख्या जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, एक अपरिमेय संख्या कहलाती है, जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0 है। अपरिमेय संख्याओं को T द्वारा दर्शाया जाता है। इन्हें R\Q द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, जहाँ R वास्तविक संख्याओं को दर्शाता है और Q परिमेय संख्याओं को दर्शाता है। R\Q का अर्थ वास्तविक संख्याओं में परिमेय संख्याओं को छोड़कर संख्याओं का समूह है, जो अपरिमेय संख्याएँ हैं।

उदाहरण – √2, √3, √5, √7, p(3.1415926535897932…….), 1.010010001…, 2.14263245…  , आदि।

नोट – वे संख्याएँ जो वर्गमूल (√) में लिखी जाती हैं, धनात्मक वर्गमूल संख्याएँ होती हैं।

वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers)

संख्या रेखा पर, परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ होती हैं। संख्या रेखा पर कोई संख्या नहीं बची है। संख्या रेखा पर, सभी परिमेय संख्याएँ और अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

परिभाषा ­– सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के समूह को वास्तविक संख्याएँ कहते हैं। वास्तविक संख्याओं को R द्वारा निरूपित किया जाता है। इसका अर्थ है कि वास्तविक संख्या या तो परिमेय या अपरिमेय हो सकती है।

उपरोक्त परिभाषा की सहायता से हम कह सकते हैं कि संख्या रेखा पर, प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक अद्वितीय बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है और प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या को दर्शाता है।

आइए यह देखने के लिए कुछ उदाहरण लें कि एक अपरिमेय संख्या को संख्या रेखा पर कैसे निरूपित किया जा सकता है।

उदाहरण (1) संख्या रेखा पर √2 को निरूपित कीजिए।

हल – √2 को संख्या रेखा पर निरूपित करने के लिए, हम एक वर्ग OABC लेते हैं, जिसकी प्रत्येक भुजा की लंबाई 1 इकाई है।

△OAB में पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

OB² = OA² + AB²

OB² = (1)² + (1)² = 1 + 1 = 2

OB = √2

अब, हम वर्ग OABC को संख्या रेखा पर रखते हैं लेकिन यह सुनिश्चित होना चाहिए कि शीर्ष O शून्य (0) के साथ सम्पाती (के ऊपर) है।

उपरोक्त आकृति में, हम OB = √2 देख सकते हैं। परकार की सहायता से, केंद्र O और त्रिज्या OB लेकर, हम एक चाप BP खींचते हैं, जो संख्या रेखा को बिंदु P पर प्रतिच्छेद करता है। यह बिंदु P संख्या रेखा पर √2 को दर्शाता है।

उदाहरण 2) संख्या रेखा पर √3 को निरूपित कीजिए।

हल – संख्या रेखा पर √3 को निरूपित करने के लिए, पहले, हम √2 को निरूपित करने की प्रक्रिया को दोहराते हैं।

अब, हम इकाई लंबाई की भुजा BD बनाते हैं जो OB के लंबवत है। OD को मिलाने के बाद, हम △OBD में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

OD² = OB² + BD²

OD² = (√2)² + (1)² = 2 + 1 = 3

OD = √3

केंद्र O और त्रिज्या OD लेकर, एक परकार का उपयोग करके, हम एक चाप DQ खींचते हैं, जो संख्या रेखा को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करता है। यह बिंदु Q संख्या रेखा पर √3 को दर्शाता है।

नोट – इसी प्रकार, √(n – 1) को दर्शाने के बाद, हम किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, √n को निरूपित कर सकते हैं।

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