क्षेत्रमिति प्रश्नोत्तर (The Mensuration Q & A)

प्रश्न 1) क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर – किसी बंद आकृति से घिरे सतह के माप को क्षेत्रफल कहते हैं। क्षेत्रफल को वर्ग इकाई में मापा जाता है।

प्रश्न 2) सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है यदि वे दोनों एक ही आधार पर और समान समानांतर रेखाओं के बीच बने हों।

उत्तर –

माना △ABC और समांतर चतुर्भुज ABCD एक ही आधार AB पर और समान समानांतर रेखाओं AB और CD के बीच स्थित हैं।

हमें सिद्ध करना है, △ABC का क्षेत्रफल = ½ (समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल)

हम भुजा CD को बिंदु E तक बढ़ाते हैं और BE को मिला कर एक अन्य समांतर चतुर्भुज ABEC प्राप्त करते हैं।

अब, समांतर चतुर्भुज ABCD और ABEC एक ही आधार AB और समान समानांतर रेखाओं AB और ED पर बने हैं इसलिए इनका क्षेत्रफल बराबर होगा।

इसलिए, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = समांतर चतुर्भुज ABEC का क्षेत्रफल ………………….(1)

समांतर चतुर्भुज ABEC विकर्ण BC द्वारा दो त्रिभुजों △ABC और △BEC में विभाजित है। अब, △ABC और △BEC में,

AB = EC (समानांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

BE =AC (समानांतर चतुर्भुज में सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)

BC = BC (दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ भुजा)

SSS नियम से, △ABC ≅ △BEC

इसलिए, △ABC का क्षेत्रफल = △BEC का क्षेत्रफल ………………….(2)

परंतु △ABC का क्षेत्रफल = ½ (समांतर चतुर्भुज ABEC का क्षेत्रफल) ………………….(3) [समीकरण (2) से]

समीकरण (1) और (3) से,

△ABC का क्षेत्रफल = ½ (समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल)       इति सिद्धम।

प्रश्न 3) दर्शाइए कि एक त्रिभुज की एक माध्यिका उसे समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

उत्तर –

मान लीजिए PQR एक त्रिभुज है और PS इसकी एक माध्यिका है।

तो, S, QR का मध्यबिंदु होगा और QS = SR

हमें सिद्ध करना है कि, △PQS का क्षेत्रफल = △PRS का क्षेत्रफल

हम PM ⊥ QR खींचते हैं, जिससे हम दोनों त्रिभुजों की उँचाई प्राप्त करते है।

अब, △PQS का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

= ½ × QS × PM

= ½ × SR × PM [⸪ QS = SR] ………..(1)

△PRS का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊँचाई

= ½ × SR × PM …………….(2)

समीकरण (1) और (2) से,

△PQS का क्षेत्रफल = △PRS का क्षेत्रफल               इति सिद्धम।

प्रश्न 4) निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या होता है?

उत्तर – निर्देशांक ज्यामिति में, यदि एक त्रिभुज ABC दिया गया है और उसके शीर्षों के निर्देशांक A(x₁, y₁), B(x₂, y₂), और C(x₃, y₃) हैं। तब

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

प्रश्न 5) त्रिभुज का क्षेत्रफल अधिकतम कब होता है?

उत्तर – हमे त्रिभुज का क्षेत्रफल पता हैं यदि उसकी ऊँचाई और आधार दिया गया हो।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2×आधार×ऊँचाई या (आधार×ऊँचाई)/2

जब आधार और ऊँचाई की माप अधिकतम होगी तो क्षेत्रफल अधिकतम होगा। इस स्थिति में त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है।

प्रश्न 6) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल क्या होता है?

उत्तर – त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल जब तीनों भुजाएँ दी हुई हों। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए हम हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हैं।

हीरोन के सूत्र द्वारा त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s – a)(s – b)(s – c)

जहाँ, s = दिए गए त्रिभुज ABC का अर्ध-परिमाप

a, b, और c = त्रिभुज की तीन भुजाएँ, a = भुजा BC, b = भुजा AC, और c = भुजा AB

एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जब उसकी ऊँचाई और आधार दिया गया हो।

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 1/2×आधार×ऊँचाई या (आधार×ऊँचाई)/2

प्रश्न 7) क्या त्रिभुज का क्षेत्रफल ऋणात्मक हो सकता है?

उत्तर – त्रिभुज का क्षेत्रफल कभी भी ऋणात्मक नहीं हो सकता क्योंकि क्षेत्रफल एक धनात्मक राशि है। निर्देशांक ज्यामिति में, कभी-कभी हमें क्षेत्रफल का मान ऋणात्मक मिलता है लेकिन ऋणात्मक चिह्न त्रिभुज के शीर्षों की दिशा दिखाता है, ऋणात्मक क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 8) क्या त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो सकता है?

उत्तर – आम तौर पर त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं हो सकता यदि त्रिभुज पहले से बना हो। लेकिन निर्देशांक ज्यामिति में, यदि तीन बिंदु दिए गए हैं और हमें दिए गए तीन बिंदुओं से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। हम सूत्र का उपयोग करके उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं और यदि हमें क्षेत्रफल 0 प्राप्त होता है। इस स्थिति में, दिए गए तीन बिंदु कोई त्रिभुज नहीं बनाते हैं क्योंकि वे एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं। इन तीन बिन्दुओं को संरेख बिन्दु कहते हैं।

प्रश्न 9) क्या निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ऋणात्मक हो सकता है?

उत्तर – निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं हो सकता। यदि हमें निर्देशांक ज्यामिति में ऋणात्मक क्षेत्रफल मिलता है तो ऋणात्मक चिह्न त्रिभुज के शीर्षों की दिशा दर्शाता है, ऋणात्मक क्षेत्रफल नहीं।

प्रश्न 10) क्या आप त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर – हाँ, हम हीरोन के सूत्र या आधार-ऊँचाई के सूत्र की सहायता से त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

प्रश्न 11) त्रिभुज के क्षेत्रफल का क्या अर्थ होता है?

उत्तर – त्रिभुज के क्षेत्रफल का अर्थ तीन बंद रेखाखंडों से घिरा भाग होता है।

प्रश्न 12) क्या किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके परिमाप से छोटा हो सकता है?

उत्तर – जैसा कि हम जानते हैं कि क्षेत्रफल और परिधि दो अलग-अलग माप हैं। क्षेत्रफल को वर्ग इकाई में मापा जाता है और परिधि को दूरी इकाई में मापा जाता है। इसलिए तकनीकी रूप से हम दोनों की तुलना नहीं कर सकते। यदि हम दोनों की संख्यात्मक रूप से तुलना करें तो संभव है कि क्षेत्रफल परिमाप से छोटा हो सकता है।

प्रश्न 13) क्या त्रिभुज का क्षेत्रफल दशमलव हो सकता है?

उत्तर – हाँ, एक त्रिभुज का क्षेत्रफल दशमलव में प्राप्त हो सकता है।

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