विभाजन सूत्र कक्षा 10 (The Section Formula Class 10th)

Vibhaajan Sootra

परिचय

निर्देशांक ज्यामिति में, एक समतल में, दो बिंदु जिनके निर्देशांक दिए गए है, एक रेखा द्वारा जुड़े हुए है और एक तीसरा बिंदु भी है जो दोनो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है। तीसरा बिंदु रेखा को दो भागों या खंडों में विभाजित करता है और हमें तीसरे बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करने है। यदि हमे दोनो खंडो के अनुपात और दोनो बिंदुओं के निर्देशांक पता हैं तो हम दोनो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित तीसरे बिंदु के निर्देशांक विभाजन सूत्र (The Section Formula) से आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

इसमें दो स्थितियाँ होती हैं, पहली यह कि तीसरा बिंदु आंतरिक भाग में स्थित हो सकता है (दोनो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा पर) जिसे आंतरिक विभाजन कहा जाता है और दूसरी यह कि तीसरा बिंदु बाहरी भाग में स्थित हो सकता है (दोनों बिंदुओं के बायीं ओर या दाईं ओर) जिसे बाह्य विभाजन कहा जाता है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी का आंतरिक विभाजन

माना कि एक समतल में दो बिंदु A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) स्थित हैं और एक तीसरा बिंदु P(x,y) दोनों बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा को m₁ ∶ m₂ अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हम बिन्दुओ A, B, और P से क्रमशः x – अक्ष पर लंब AE, BC और PD खींचते हैं। हम क्रमशः PD और BC पर लंब AF और PG भी खींचते हैं। आकृति से,

OE = x₁,   OD = x,   OC = x₂,   AE = FD = y₁,   PD = GC = y,   BC = y₂

इसलिए, AF = ED = x – x₁,    PG = CD = x₂ – x,   

PF = PD – FD = y – y₁,    BG = BC – GC = y₂ – y

और PA/PB = m₁/m₂

△AFP और △PGB में,

∠APF = ∠PBG [संगत कोण बराबर होते हैं, क्योंकि PD⊥OX और BC⊥OX, PD∥BC]

∠PAF = ∠BPG [संगत कोण बराबर होते हैं, क्योंकि AF⊥PD और PG⊥BC, AF∥PG]

∠AFP = ∠PGB = 90° [AF⊥PD और PG⊥BC]

तो AAA समरूपता नियम द्वारा, △AFP ∼ △PGB

इसलिए, PA/BP = AF/PG = PF/BG  

उपर्युक्त मान रखने पर,

m₁/m₂ = (x – x₁)/(x₂ – x) = (y – y₁)/(y₂ – y)  

यहाँ, m₁/m₂ = (x – x₁)/(x₂ – x)      और      m₁/m₂ = (y – y₁)/(y₂ – y)   

वज्रगुणा द्वारा हल करने पर,

m₁(x₂ – x) = m₂(x – x₁)       और      m₁(y₂ – y) = m₂(y – y₁)

m₁x₂ – m₁x = m₂x– m₂x₁   और      m₁y₂ – m₁y = m₂y– m₂y₁

m₁x₂ + m₂x₁ = m₂x+ m₁x   और      m₁y₂ + m₂y₁ = m₂y+ m₁y

m₁x₂ + m₂x₁ = x(m₂ + m₁)      और     m₁y₂ + m₂y₁ = y(m₂ + m₁)

(m₁x₂ + m₂x₁)/(m₂ + m₁) = x        और       (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₂ + m₁) = y            

अथवा       x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂)         और           y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

x और y का उपरोक्त मान बिंदु P के वांछित निर्देशांक हैं जो रेखाखण्ड AB को m₁ ∶ m₂ अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

x और y के मान को आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र (The Section Formula for Internal Division) कहा जाता है।

दो बिंदुओं के बीच की दूरी का बाह्य विभाजन

माना कि एक समतल में दो बिंदु A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) स्थित हैं और एक तीसरा बिंदु P(x,y) दोनों बिन्दुओ को मिलाने वाली रेखा को m₁ ∶ m₂ अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

हम बिन्दुओ A, B, और P से क्रमशः x – अक्ष पर लंब AE, BD और PC खींचते हैं। हम PC पर बिन्दुओ A और B से लंब AF और BG भी खींचते हैं। आकृति से,

OE = x₁,   OD = x₂,   OC = x,   AE = FC = y₁,   BD = GC = y₂,   PC = y

इसलिए, AF = EC = x – x₁,    BG = DC = x – x₂,   

PF = PC – FC = y – y₁,    PG = PC – GC = y – y₂

और PA/PB = m₁/m₂

△AFP और △BGP में,

∠APF = ∠BPG [उभयनिष्ठ कोण]

∠PAF = ∠PBG [संगत कोण बराबर होते हैं, क्योंकि AF⊥PC और BG⊥PC, AF∥BG]

∠AFP = ∠BGP = 90° [AF⊥PC और BG⊥PC]

तो AAA समरूपता नियम द्वारा, △AFP ∼ △BGP

इसलिए, PA/PB = AF/BG = PF/PG  

उपर्युक्त मान रखने पर,

m₁/m₂ = (x – x₁)/(x – x₂) = (y – y₁)/(y – y₂) 

यहाँ, m₁/m₂ = (x – x₁)/(x – x₂)     और      m₁/m₂ = (y – y₁)/(y – y₂)    

वज्रगुणा द्वारा हल करने पर,

m₁(x – x₂) = m₂(x – x₁)       और      m₁(y – y₂) = m₂(y – y₁)

m₁x – m₁x₂ = m₂x– m₂x₁   और      m₁y – m₁y₂ = m₂y– m₂y₁

m₁x – m₂x = m₁x₂ – m₂x₁    और      m₁y- m₂y = m₁y₂ – m₂y₁

x(m₁ – m₂) = m₁x₂ – m₂x₁   और      y(m₁ – m₂)  = m₁y₂ – m₂y₁

x = (m₁x₂ – m₂x₁)/(m₁ – m₂)         और           y = (m₁y₂ – m₂y₁)/(m₁ – m₂)

x और y का उपरोक्त मान बिंदु P के वांछित निर्देशांक हैं जो रेखाखण्ड AB को m₁ ∶ m₂ अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

x और y के मान को बाह्य विभाजन के लिए विभाजन सूत्र (The Section Formula for External Division) कहा जाता है।

Note – 1) यदि बिंदु P रेखाखंड AB के मध्य में स्थित है तो यह रेखाखंड को 1 ∶ 1 के समान अनुपात में विभाजित करेगा, तब मध्य बिंदु P के निर्देशांक होंगे

x = (1⨯x₂+1⨯x₁)/1+1         और           y = (1⨯y₂+1⨯y₁)/1+1              

x = (x₂+x₁)/2         और           y = (y₂+y₁)/2

2) बाह्य विभाजन में, यदि m₁ > m₂ तो बिंदु P, दोनों बिंदुओं A और B के दाईं ओर स्थित होगा, और यदि m₂ > m₁ है तो बिंदु P, दोनों बिंदुओं A और B के बाईं ओर स्थित होगा।

3) आंतरिक विभाजन सूत्र में, धनात्मक (+) चिन्ह को ऋणात्मक (-) चिन्ह में बदलकर आंतरिक विभाजन सूत्र को बाह्य विभाजन सूत्र में परिवर्तित किया जा सकता है।

4) यदि बिंदु P रेखाखंड AB को उस अनुपात में विभाजित करता है जो ज्ञात नहीं है तो हम अनुपात को k ∶ 1 के रूप में मान सकते हैं तो बिंदु P के निर्देशांक होंगे [(kx₂+x₁)/k+1, (ky₂+y₁)/k+1]।

कुछ उदाहरण –

उदाहरण 1) उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये, जो बिंदुओ (-2,5) और (3,4) को मिलाने वाले रेखाखंड को 3 ∶ 5 के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

हल – माना P(x,y) वांछित बिंदु है जो बिंदुओ A(-2,5) और B(3,5) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है। इसे हम आकृति से समझ सकते हैं।

यहाँ, x₁ = -2, y₁ = 5, x₂ = 3, y₂ = 4, m₁ = 3, m₂ = 5

आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र द्वारा,

x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂) और y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)          

मान रखने पर,  x = {3⨯3 + 5⨯(-2)}/(3 + 5)     और      y = (3⨯4 + 5⨯3)/(3 + 5)  

x = {9 + (-10)}/8       और       y = (12 + 15)/8

x = {9 – 10}/8     और       y = 27/8

x = -1/8      और      y = 27/8

इसलिए, वांछित निर्देशांक (-1/8, 27/8) हैं।            उत्तर

उदाहरण 2) उस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिये जो बिंदुओं (-1,-2) और (-2,4) को मिलाने वाले रेखाखण्ड को 3 ∶ 2 के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।

हल – माना वांछित बिंदु P(x,y) है।

यहाँ, x₁ = -1, y₁ = -2, x₂ = -2, y₂ = 4, m₁ = 3, m₂ = 2

बाह्य विभाजन के लिए विभाजन सूत्र द्वारा,

x = (m₁x₂ – m₂x₁)/(m₁ – m₂)     और       y = (m₁y₂ – m₂y₁)/(m₁ – m₂)

मान रखने पर,  x = {3⨯(-2) – 2⨯(-1)}/(3 – 2)    और     y = {3⨯4 – 2⨯(-2)}/(3 – 2) 

x = {-6 + 2}/1     और     y = {12 + 4}/1

x = -4     और     y = 16

इसलिए, वांछित बिंदु के निर्देशांक (-4,16) है।               उत्तर

उदाहरण 3) y-अक्ष बिंदुओ (-4,1) और (2,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में विभाजित करता है।

हल – हम जानते हैं कि y- अक्ष पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक (0, y) रूप में होते हैं।

इसलिए माना बिंदु P(0,y), बिंदुओ (-4,1) और (2,2) को मिलाने वाले रेखाखंड को m₁ ∶ m₂ अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।

यहाँ हम केवल x-निर्देशांक के लिए आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र का उपयोग करेंगे क्योकि यह बिंदु P के लिए शून्य है।

x₁ = -4, y₁ = 1, x₂ = 2, y₂ = 2  

आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र द्वारा, x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂)  

0 = m₁⨯2 + m₂⨯(-4)/(m₁ + m₂)        

0 = 2m₁ – 4m₂

4m₂ = 2m₁

4/2 = m₁/m₂

m₁/m₂ = 2/1

इसलिए, अनुपात m₁ ∶ m₂ = 2 ∶ 1 है।              उत्तर

उदाहरण 4) बिंदु (4,5), बिंदुओ (3,1) और (2,-6) को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।

हल – मान लें कि अनुपात k ∶ 1 है और बिंदु P(4,5), बिंदुओ A(3,1) और B(2,-6) को मिलाने वाले रेखाखंड को बाह्य रूप से विभाजित करता है।

यहाँ, x₁ = 3, y₁ = 1, x₂ = 2, y₂ = -6, x = 4, y = 5, m₁ = k, m₂ = 1

तो बाह्य विभाजन के लिए विभाजन सूत्र द्वारा, x = (m₁x₂ – m₂x₁)/(m₁ – m₂)

4 = (k⨯2 – 1⨯3)/(k – 1)  

4(k – 1) = 2k – 3

4k – 4 = 2k – 3

4k – 2k = – 3 + 4

2k = 1

k = 1/2

इसलिए, अनुपात k ∶ 1 = 1 ∶ 2 है।                उत्तर

नोट – 1) उपरोक्त उदाहरण में, हम अनुपात ज्ञात करने के लिए y – निर्देशांक का भी उपयोग कर सकते हैं।

2) हम दूरी सूत्र का उपयोग करके दूरी PA और PB का अनुपात लेकर भी अनुपात ज्ञात कर सकते हैं।

उदाहरण 5) यदि बिंदु P (4,2) बिंदुओ A (1,2) और B को मिलाने वाले रेखाखंड को 2 ∶ 5के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है तो बिंदु B के निर्देशांक ज्ञात करें।

हल – माना बिंदु B के निर्देशांक (x₂,y₂) हैं।

यहाँ, x = 4, y = 2, x₁ = 1, y₁ = 2, m₁ = 2, m₂ = 5

तो आंतरिक विभाजन के लिए विभाजन सूत्र द्वारा,

x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂)      और      y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

4 = 2⨯x₂ + 5⨯1/(2 + 5)        और      2 = 2⨯y₂ + 5⨯2/(2 + 5)            

4 = 2x₂ + 5/7       और       2 = 2y₂ + 10/7

4⨯7 = 2x₂ + 5      और      2⨯7 = 2y₂ + 10

28 – 5 = 2x₂         और      14 – 10 = 2y₂

23 = 2x₂       और       4 = 2y₂

23/2 = x₂      और      4/2 = y₂

x₂ = 23/2     और       y₂ = 2

इसलिए, बिंदु B के निर्देशांक (23/2, 2) हैं।              उत्तर                          

उदाहरण 6) वह अनुपात ज्ञात कीजिये जिसमें रेखा 3x + y = 9, बिन्दुओ (1,3) और (2,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करती है।

हल – माना रेखा 3x + y = 9, बिन्दुओ (1,3) और (2,7) को मिलाने वाले रेखाखंड को बिंदु P(x,y) पर अनुपात k ∶ 1 में आंतरिक रूप से विभाजित करती है।

यहाँ, x₁ = 1, y₁ = 3, x₂ = 2, y₂ = 7, m₁ = k, m₂ = 1

अब विभाजन सूत्र द्वारा, बिंदु P के निर्देशांक होंगे

x = (m₁x₂ + m₂x₁)/(m₁ + m₂)      और      y = (m₁y₂ + m₂y₁)/(m₁ + m₂)

x = (k⨯2 + 1⨯1)/(k + 1)       और       y = (k⨯7 + 1⨯3)/(k + 1)

x = (2k + 1)/(k+1)       और       y = (7k + 3)/(k+1)

चूंकि बिंदु P रेखा 3x + y = 9 पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक इसे संतुष्ट करेंगे।

3x + y = 9

3(2k + 1/k+1) + (7k + 3/k+1) = 9

{3(2k + 1)+(7k + 3)}/(k+1) = 9       [लसप = (k+1)]

6k + 3 + 7k + 3 = 9(k+1)

13k + 6 = 9k + 9

13k – 9k = 9 – 6

4k = 3

k/1 = 3/4

इसलिए वांछित अनुपात k ∶ 1 = 3 ∶ 4 होगा।              उत्तर

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