बहुपदों के शून्यक कक्षा 10 (Zeroes of Polynomials Class 10th)

Bahupado Ke Shoonyak

बहुपदों को हल करना

परिचय

एक बहुपद को हल करने के लिए, हम उस बहुपद को शून्य(0) के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर के मान बहुपद के शून्यक या मूल (Zeroes of Polynomials) कहलाते हैं जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है। यदि बहुपद की घात 1 है तो एक शून्यक होगा और यदि घात 2 है तो दो शून्यक होंगे।

• रैखिक बहुपद को हल करना
• द्विघाती बहुपद को हल करना
• त्रिघाती बहुपद को हल करना

रैखिक बहुपद को हल करना

रैखिक बहुपद में, घात हमेशा 1 होती है इसलिए एक और केवल एक शून्यक होगा। यदि रैखिक बहुपद p(x) है तो बहुपद p(x) का शून्यक ज्ञात करने के लिए हमें समीकरण p(x) = 0 को हल करना होगा।

उदाहरण

उदाहरण 1) बहुपद p(x) = 3x + 2 का शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना p(x) = 0

3x + 2 = 0

3x = – 2

x = -2/3

x = -2/3 बहुपद p(x) = 3x + 2 का शून्यक है।     उत्तर

उदाहरण 2) बहुपद p(y) = 2y – 6 का शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना p(y) = 0

2y – 6 = 0

2y = 6

y = 6/2 

y = 3

बहुपद p(y) = 2y – 6 का शून्यक y = 3 है। उत्तर

नोट – रैखिक बहुपद का मानक रूप ax + b = 0 है जहाँ a ≠ 0 इसलिए शून्यक x = -b/a होगा। हम इससे तुलना करके भी शून्यक ज्ञात कर सकते हैं।

द्विघाती बहुपद को हल करना

द्विघाती बहुपद में घात 2 होती है अत: दो शून्यक होंगे।

उदाहरण

उदाहरण -1) बहुपद x² – 3x के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना p(x) = x² – 3x

अब p(x) = 0

x² – 3x = 0

x(x – 3) = 0

x = 0    और     x – 3 = 0

x = 0    और     x = 3

दो शून्यक x = 0 और x = 3 हैं।       उत्तर

उदाहरण – 2) बहुपद 6x² + 5x – 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना p(x) = 6x² + 5x – 6

अब p(x) = 0

6x² + 5x – 6 = 0

6x² + 9x – 4x – 6 = 0  (गुणनखंड विधि द्वारा) [9−4 = 5 और 9⨯(-4) = -36]

3x(2x+3) – 2(2x+3) = 0

(2x + 3)(3x – 2) = 0

2x + 3 = 0       और     3x – 2 = 0

2x = – 3           और     3x = 2

x = -3/2         और       x = 2/3

ये दिए गए बहुपद के शून्यक हैं।        उत्तर

त्रिघाती बहुपद को हल करना

त्रिघाती बहुपद में, घात 3 होती है इसलिए तीन शून्यक होंगे। त्रिघाती बहुपद को हल करने के लिए सबसे पहले हमें बहुपद को अवरोही क्रम में व्यवस्थित करना होता है फिर हम इसे उभयनिष्ठ पदों या गुणनखंडों द्वारा हल करते हैं।

उदाहरण

उदाहरण – 1) बहुपद x³ + 2x² – x – 2 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना  p(x) =  x³ + 2x² – x – 2

अब p(x) = 0

x³ + 2x² – x – 2 = 0

x²(x + 2) – 1(x + 2) = 0

(x + 2)(x² – 1) = 0

x + 2 = 0       और        x² – 1 = 0

x = -2            और        x² = 1

                                    x = ±√1 

                                    x = ±1

अतः शून्यक x = -2, x = +1 और x = -1 हैं।         उत्तर

नोट – हम दिए गए बहुपद में प्रत्येक शून्यक का मान रखकर उत्तर की जांच कर सकते हैं क्योंकि शून्यक के प्रत्येक मान पर बहुपद का मान 0 होता है।

उदाहरण – 2) बहुपद x³ + 6x² + 11x + 6 के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल – माना p(x) = x³ + 6x² + 11x + 6

इसमें कोई उभयनिष्ठ पद नहीं है।

अतः अचर पद 6 के गुणनखंड = ±1, ±2, ±3 और ±6

अब x = +1 पर,

p(1) = (1)³ + 6(1)² + 11(1) + 6

p(1) = 1 + 6 + 11 + 6

p(1) = 24

∵ p(1) ≠ 0 इसलिए x = +1 इस बहुपद का शून्यक नहीं है।

यहाँ बहुपद के सभी पद धनात्मक हैं इसलिए हम केवल ऋणात्मक गुणनखंडों को लेंगे।

अब x = – 1 पर,

p(-1) = (-1)³ + 6 (-1)² + 11(-1) + 6           

p(-1) = -1 + 6 – 11 + 6

p(-1) = 0

∵ p(-1) = 0 इसलिए x = -1 इस बहुपद का शून्यक है।

अब x = -2 पर,

p(-2) = (-2)³ + 6 (-2)² + 11(-2) + 6

p(-2) = – 8 + 6(4) – 22 + 6

p(-2) = – 8 + 24 – 22 + 6

p(-2) = 0

∵ p(-2) = 0 इसलिए x = -2 इस बहुपद का शून्यक है।

अब x = -3 पर,

p(-3) = (-3)³ + 6 (-3)² + 11(-3) + 6

p(-3) = -27 + 6(9) – 33 + 6

p(-3) = -27 + 54 – 33 + 6

p(-3) = 0

∵ p(-3) = 0 इसलिए x = -3 इस बहुपद का शून्यक है।

∵ दिए गए बहुपद की घात 3 है अत: केवल तीन शून्यक होंगे।

अतः दिए गए बहुपद के शून्यक x = -1, x = -2 और x = -3 हैं।       उत्तर

बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Polynomials) कक्षा 10 अँग्रेजी में

बहुपदों के शून्यक (Zeroes of Polynomials) के बारे में अधिक जानकारी