बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय (आलेखीय) अर्थ कक्षा 10 [Geometrical (Graphical) Meaning of the Zeroes of the Polynomial Class 10th]

परिचय

हम जानते हैं कि यदि एक बहुपद p(x) है और R इसका शून्यक है तो p(R) = 0 होगा। इसका अर्थ है कि प्रत्येक बहुपद के शून्यक उसे संतुष्ट करते हैं। आइए इसे ज्यामितीय या आलेखीय निरूपण की सहायता से समझते हैं। हम रैखिक बहुपद, द्विघात बहुपद, त्रिघात बहुपद के ज्यामितीय निरूपण और बहुपद के शून्यकों (Zeroes of the Polynomial) के ज्यामितीय अर्थ का भी अध्ययन करेंगे।

1) रैखिक बहुपद के लिए

जैसा कि हम जानते हैं कि रैखिक बहुपद का सामान्य रूप ax + b है और जहाँ a ≠ 0 होता है। आइए हम आलेखीय निरूपण को समझने के लिए रैखिक बहुपद का एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – रैखिक बहुपद 3x + 6 को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

हल – हम जानते हैं कि ग्राफ पेपर में x-अक्ष और y-अक्ष दो अक्ष होते हैं। इसलिए, हम मानते हैं कि दिया गया बहुपद y के बराबर है।

माना y = 3x + 6

अब हम x के विभिन्न मानों के लिए y के विभिन्न मान ज्ञात करेंगे।

x	-1	-3	0
y = 3x + 6	3	-3	6

ग्राफ से हम देख सकते हैं कि रैखिक बहुपद का ग्राफ एक सीधी रेखा है और यदि हम रेखा को बढ़ाते हैं तो यह x-अक्ष को x = -2 पर प्रतिच्छेद करेगी तो बिंदु (-2, 0) होगा।

यदि हम रैखिक बहुपद 3x + 6 का शून्यक सीधे ज्ञात करते हैं।

3x + 6 = 0

3x = -6

x = -6/3

x = -2  

आलेखीय निरूपण की सहायता से, हम यह समझ सकते हैं कि रैखिक बहुपद 3x + 6 का शून्यक उस बिंदु का x-निर्देशांक है जिस बिंदु पर सीधी रेखा y = 3x + 6, x-अक्ष को प्रतिच्छेद करती है।

एक रैखिक बहुपद के सामान्य रूप के लिए,

सामान्य रूप ax + b जहाँ a ≠ 0

ax + b का शून्यक

ax + b = 0

ax = -b

x = -b/a

इसका अर्थ है कि किसी भी रैखिक बहुपद ax + b का शून्यक, बिंदु (-b/a, 0) का x-निर्देशांक होता है, जहां ग्राफ़ (सीधी रेखा) y = ax + b, x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

इसलिए, रैखिक बहुपद में केवल एक शून्यक होता है।

2) द्विघात बहुपद के लिए

द्विघात बहुपद का सामान्य रूप ax² + bx + c है जहाँ a ≠ 0 होता है। आइए द्विघात बहुपद के आलेखीय निरूपण को समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – द्विघात बहुपद x² + 2x – 3 को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

हल – हम जानते हैं कि ग्राफ पेपर में x-अक्ष और y-अक्ष दो अक्ष होते हैं। इसलिए, हम मानते हैं कि दिया गया बहुपद y के बराबर है।

माना y = x² + 2x – 3

अब हम x के विभिन्न मानों के लिए y के विभिन्न मान ज्ञात करेंगे।

x	-1	1	0	-3	-2
y = x2 + 2x – 3	-4	0	-3	0	-3

ग्राफ से, हम देख सकते हैं कि द्विघात बहुपद का ग्राफ एक परवलय है और परवलय का आकार या तो ऊपर की ओर खुला होता है या नीचे की ओर खुला होता है जो द्विघात समीकरण ax² + bx + c में a के मान पर निर्भर करता है कि क्या a > 0 या a < 0 है। ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं (-3, 0) और (1, 0) पर प्रतिच्छेद करता है। अत: x = -3 और x = 1 दो शून्यक हैं।

यदि हम द्विघात बहुपद x² + 2x – 3 के शून्यक सीधे ज्ञात करते हैं।

x² + 2x – 3 = 0

x² + 3x – x – 3 = 0        [गुणनखंड विधि द्वारा]

x(x + 3) – 1(x + 3) = 0

(x + 3)(x – 1) = 0

x + 3 = 0       और         x – 1 = 0

x = -3            और         x = 1 

आलेखीय निरूपण की सहायता से हम समझ सकते हैं कि द्विघात बहुपद x² + 2x – 3 के शून्यक उन दो बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जिन बिंदुओं पर परवलय y = x² + 2x – 3, x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

इसलिए, द्विघात बहुपद में दो शून्यक होते हैं।

द्विघात बहुपद में, तीन प्रकार की स्थितियाँ होती हैं जो आलेखीय निरूपण के दौरान उत्पन्न हो सकती हैं।

स्थिति I – जब आलेख x-अक्ष को दो भिन्न बिंदुओं P और P_1­ पर प्रतिच्छेद करता है। इस स्थिति में, द्विघात बहुपद ax² + bx + c के दो शून्यक होते हैं और वे बिंदु P और P₁ के x-निर्देशांक होते हैं।

स्थिति II – इस स्थिति में, आलेख x-अक्ष को ठीक समान बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है। इसका मतलब है कि दो बिंदु एक दूसरे के साथ संपाती होते हैं इसलिए बिंदु P और P₁ एक बिंदु P बन जाएंगे। इसलिए, बिंदु P का x-निर्देशांक द्विघात बहुपद ax² + bx + c का केवल शून्यक होगा।

स्थिति III – इस स्थिति में, ग्राफ किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है, लेकिन यह पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या x-अक्ष के नीचे होता है। अत: इस स्थिति में द्विघात बहुपद ax² + bx + c का कोई शून्यक नहीं होगा।

उपरोक्त स्पष्टीकरण की सहायता से, हम कह सकते हैं कि द्विघात बहुपद में या तो दो शून्यक या एक शून्यक (दो बराबर शून्यक) हो सकते हैं, या कोई शून्यक नहीं हो सकता है। हम यह भी कह सकते हैं कि घात 2 वाले बहुपद में अधिकतम दो शून्यक होते हैं।

3) त्रिघात बहुपद के लिए

जैसा कि हमने अध्ययन किया है कि त्रिघात बहुपद का सामान्य रूप ax³ + bx² + cx + d है, जहाँ a ≠ 0 होता है। त्रिघात बहुपद का आलेखीय निरूपण क्या होगा आइए एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं।

उदाहरण – त्रिघात बहुपद x³ – x को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

हल – मान लीजिए y = x³ – x

अब हम x के विभिन्न मानों के लिए y के विभिन्न मान ज्ञात करेंगे।

x	-2	-1	0	1	2
y = x3 – x	-6	0	0	0	6

ग्राफ से, हम देख सकते हैं कि त्रिघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को तीन बिंदुओं (-1, 0), (0, 0) और (1, 0) पर प्रतिच्छेद करता है। इसलिए, x = -1, x = 0 और x = 1 तीन शून्यक हैं।

यदि हम त्रिघात बहुपद x³ – x के शून्यक सीधे ज्ञात करते है।

x³ – x = 0

x(x² – 1) = 0       

x = 0       और         x² – 1 = 0

x = 0       और         x² = 1

x = 0       और         x = ±√1 = ±1   

x = 0       और         x = +1 और -1

आलेखीय निरूपण की सहायता से, हम यह समझ सकते हैं कि त्रिघात बहुपद x³ – x के शून्यक उन तीन बिंदुओं के x-निर्देशांक हैं जिन बिंदुओं पर ग्राफ़ y = x³ – x, x-अक्ष को प्रतिच्छेद करता है।

इसलिए, त्रिघात बहुपद में तीन शून्यक होते हैं।

आइए कुछ उदाहरणों की सहायता से त्रिघात बहुपदों के बारे में अधिक समझते हैं।

उदाहरण 1) त्रिघात बहुपद x³ को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

हल – मान लीजिए y =x³

x	-2	-1	0	1	2
y = x3	-8	-1	0	1	8

इस उदाहरण में, ग्राफ x-अक्ष को एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है जो मूल बिंदु है। मूल बिंदु के निर्देशांक (0, 0) होते हैं और मूल बिंदु का x-निर्देशांक हमेशा 0 होता है। इसलिए, त्रिघात बहुपद x³ का शून्यक 0 है।

उदाहरण 2) त्रिघात बहुपद x³ – x² को आलेखीय रूप से निरूपित करें।

हल – मान लीजिए y = x³ – x²

x	-2	-1	0	1	2
y = x3 – x2	-12	-2	0	0	4

उपरोक्त उदाहरण में, ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है जो मूल बिंदु (0, 0) और (1, 0) हैं। दोनों बिंदुओं के x-निर्देशांक 0 और 1 हैं। इसलिए, बहुपद x³ – x² के शून्यक 0 और 1 हैं।

उपरोक्त व्याख्या की सहायता से हम कह सकते हैं कि त्रिघात बहुपद में या तो तीन शून्यक या दो शून्यक या एक शून्यक हो सकता है। हम यह भी कह सकते हैं कि घात 3 वाले बहुपद में अधिकतम तीन शून्यक होते हैं।

नोट – सामान्यतः हम कह सकते हैं कि घात n वाले बहुपद में अधिकतम n शून्यक होते हैं।

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