वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रसार कक्षा 9वीं (Decimal Expansion of Real Numbers Class 9th)

जैसा कि हम जानते हैं कि सभी परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के संग्रह को वास्तविक संख्याएँ कहा जाता है। इस भाग में हम वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Real Numbers) अर्थात परिमेय संख्याओं और अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार का अध्ययन करेंगे। सबसे पहले, हम परिमेय संख्याओं से प्रारंभ करते हैं।

परिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Rational Numbers)

परिमेय संख्याएँ p/q के रूप में होती हैं जहाँ p और q पूर्णांक हैं और q ≠ 0 है। दशमलव प्रसार प्राप्त करने के लिए, हमें विभाजन प्रक्रिया करनी होती है। आइए इसे समझने के लिए कुछ उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण – 20/3, 9/4 और 2/7 का दशमलव प्रसार ज्ञात कीजिए।

हल – हम दशमलव प्रसार के लिए भाग प्रक्रिया करेंगे।

उपरोक्त उदाहरण में, हम तीन चीजें देख सकते हैं और वे हैं –

(1) शेषफल एक निश्चित चरण के बाद या तो 0 होता हैं (9/4 में) या स्वयं को दोहराना शुरू करता हैं (20/3 और 2/7 में)।

(2) शेषफलों की प्रविष्टियाँ जिनकी पुनरावृत्ति हो रही हैं, भाजक से छोटी हैं।

(20/3 में, एक संख्या जो 2 है, शेषफल में स्वयं को दोहरा रही है और वह भाजक 3 से छोटी है)

(2/7 में, छह प्रविष्टियाँ 645132, स्वयं को दोहरा रही हैं, और जो भाजक 7 से छोटी हैं)

(3) यदि शेषफलों की पुनरावृत्ति होती है, तो भागफल में भी अंकों की पुनरावृत्ति होती है।

(20/3 में, भागफल में अंक 6 की पुनरावृत्ति हो रही है)

(2/7 में, भागफल में अंकों 285714 की पुनरावृत्ति हो रही है)

उपरोक्त तीनों बातें p/q (p और q पूर्णांक संख्याएँ और q ≠ 0) के रूप की सभी परिमेय संख्याओं के लिए सत्य हैं। यदि हम p को q से विभाजित करते हैं तो दो स्थितियाँ होती हैं, या तो शेषफल शून्य हो जाता है या कभी भी शून्य नहीं होता है जिसका अर्थ है कि हमें आवर्ती (पुनरावृत्ति) शेषफल प्राप्त होते हैं। आइए प्रत्येक स्तिथि पर अलग से चर्चा करें।

स्थिति I – जब शेषफल शून्य हो जाता है

किसी भी परिमेय संख्या के विभाजन की प्रक्रिया में यदि एक निश्चित चरण के बाद शेषफल 0 प्राप्त होता है तो इस प्रकार के दशमलव प्रसार को सांत दशमलव प्रसार कहते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में 9/4 में, हमें कुछ चरणों के बाद शेषफल 0 प्राप्त होता है और 9/4 का दशमलव प्रसार 2.25 है। यदि हम अन्य उदाहरण लेते हैं, जैसे 3/2 = 1.5, 19/8 = 2.375, 567/10 = 56.7 तो इन सभी उदाहरणों में, दशमलव प्रसार सीमित चरणों के बाद समाप्त हो जाता है।

स्थिति II – जब शेषफल कभी भी शून्य नहीं होता है

भाग देने की प्रक्रिया में, हमें कभी भी किसी भी स्तर पर शेषफल 0 नहीं मिलता है या दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि हमें शेषफल में पुनरावृत्ति वाली प्रविष्टियाँ और भागफल में पुनरावृत्ति वाले अंक मिलते हैं। इस प्रकार के दशमलव प्रसार को असांत आवर्ती (पुनरावृत्ति) दशमलव प्रसार कहते हैं।

उपरोक्त उदाहरण में, 20/3 और 2/7 में, हमें शेषफलों में पुनरावृत्ति वाली प्रविष्टियाँ और भागफल में पुनरावृत्ति वाले अंक मिलते हैं। अन्य उदाहरण हैं 485/3 = 161.666…, 78/9 = 8.666…, 123/11 = 11.181818…, 258/7 = 36.857142857142… इन सभी उदाहरणों में, दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

हम भागफल में पुनरावृत्ति वाले अंकों को उनके ऊपर एक बार लाइन दिखा कर लिख सकते हैं।

20/3 =

2/7 =

485/3 =

78/9 =

123/11 =

258/7 =

उपरोक्त स्पष्टीकरण से पता चलता है कि परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार के लिए केवल दो विकल्प हैं या तो वे सांत है या असांत आवर्ती हैं।

यदि हमें प्रश्नों में दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती दिया गया है और हमें यह सिद्ध करना है कि दशमलव प्रसार एक परिमेय संख्या है तो हम इसे सिद्ध कर सकते हैं, लेकिन कैसे? आइए कुछ उदाहरण लेकर स्वयं की मदद करें।

उदाहरण (1) दर्शाइए कि 1.75489 एक परिमेय संख्या है।

हल – 1.75489 में दशमलव प्रसार समाप्त हो रहा है (सांत दशमलव प्रसार) इसलिए हम इसे आसानी से p/q के रूप में बदल सकते हैं।

1.75489 = 175489/100000

175489/100000 एक परिमेय संख्या है क्योंकि यह p/q के रूप में है जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0 है।    उत्तर

उदाहरण (2) 6.666… = को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0।

हल – 6.666… में दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है इसलिए इसे हल करने के लिए हमें कुछ चरणों का पालन करना होगा।

चरण I – मान लीजिए , x के बराबर है। इसलिए,

x =  = 6.666…      …………. (1)

चरण II – 6.666… में दशमलव के ठीक बाद केवल एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है। अतः, समीकरण (1) को 10 से गुणा करने पर।

10x = 6.666…×10

10x = 66.666…    …………. (2)

चरण III – समीकरण (1) को समीकरण (2) में से घटाने पर।

10x – x = 66.666… – 6.666…

9x = 60

x = 60/9

x = 20/3

x = 20/3, p/q के रूप में है।            उत्तर

नोट – 1) जब हम असांत आवर्ती दशमलव प्रसार को p/q के रूप में व्यक्त करते हैं, तब हमने एक बात देखी होगी कि दशमलव प्रसार में कितने अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है? यदि एक अंक की पुनरावृत्ति हो रही है तो हम 10 से गुणा करेंगे, यदि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है तो हम 100 से गुणा करेंगे, और इसी तरह से आगे भी।

2) दशमलव प्रसार में दशमलव के ठीक बाद पुनरावृत्ति वाले अंक शुरू होने चाहिए, यदि ऐसा नहीं है, तो हमें 10 के गुणकों से गुणा करके दशमलव को पुनरावृत्ति वाले अंकों से ठीक पहले स्थानांतरित करना होगा।

उदाहरण (3) 11.181818… =  को p/q के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0।

हल –

चरण I – माना x = 11.181818…       …………(1)

चरण II – चूंकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, इसलिए हम समीकरण (1) को 100 से गुणा करेंगे।

100x = 11.181818…×100

100x = 1118.181818…        …………..(2)

चरण III – समीकरण (1) को समीकरण (2) में से घटाने पर।

100x – x = 1118.181818… – 11.181818…

99x = 1107

x = 1107/99

x = 123/11

इसलिए, दशमलव प्रसार 11.181818… का p/q रूप 123/11 है।           उत्तर

उदाहरण (4) दर्शाइए कि 0.3454545… =  को p/q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0 है।

हल – चरण I – मान लीजिए x = 0.3454545…    ………..(1)

चरण II – चूंकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है, लेकिन दशमलव के ठीक बाद अंक 3 की पुनरावृत्ति नहीं हो रही है, इसलिए पहले हम समीकरण (1) को 10 से गुणा करके दशमलव को एक स्थान दाईं ओर स्थानांतरित कर देंगे।

10x = 0.3454545…×10

10x = 03.454545…      ………..(2)

चरण III – अब, हम समीकरण (2) को 100 से गुणा करेंगे, क्योंकि दो अंकों की पुनरावृत्ति हो रही है।

100×10x = 3.454545…×100

1000x = 345.454545…     ………….(3)

चरण IV – समीकरण (2) को समीकरण (3) में से घटाने पर।

1000x – 10x = 345.454545… – 3.454545…

990x = 342

x = 342/990

x = 38/110

इसलिए, 0.3454545… का p/q रूप 38/110 है।             उत्तर

उपर्युक्त उदाहरणों की सहायता से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सांत या असांत आवर्ती दशमलव प्रसार वाली प्रत्येक संख्या को p/q (p और q पूर्णांक संख्याएँ हैं और q ≠ 0) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हम अपने परिणामों को निम्नलिखित रूप में लिख सकते हैं:

एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती होता है और हम यह भी कह सकते हैं कि वह संख्या जिसका दशमलव प्रसार सांत या असांत आवर्ती है, एक परिमेय संख्या होती है।

अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार (Decimal Expansion of Irrational Numbers)

उपरोक्त अनुभाग में, हमने अध्ययन किया है कि एक परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत या असांत आवर्ती होता है। इसके आधार पर हम अपरिमेय संख्याओं का दशमलव प्रसार ज्ञात कर सकते हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि अपरिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होते हैं।

अपरिमेय संख्याओं के लिए, हम कह सकते हैं:

एक अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है और हम यह भी कह सकते हैं कि जिस संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है वह अपरिमेय संख्या होती है।

उदाहरण – 1) √2 = 1.41421356237309504880…

2) √3 = 1.732050807568877…

3) 0.10110111011110111110…

4) π = 3.141592653589793238…

नोट – हम अक्सर 22/7 का उपयोग π के अनुमानित मान के रूप में करते हैं, लेकिन π का वास्तविक मान 22/7 के बराबर नहीं है। चूंकि, π = 3.141592653589793238… और 22/7 = 3.142857142857142857…

दशमलव के बाद केवल दो अंक समान हैं लेकिन दशमलव प्रसार समान नहीं हैं। इसलिए, π ≠ 22/7

आइए, अब एक उदाहरण की सहायता से देखते हैं कि अपरिमेय संख्याएँ कैसे ज्ञात की जाती हैं।

उदाहरण – 1/3 और 2/3 के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात कीजिए।

हल – सबसे पहले, हम 1/3 और 2/3 के दशमलव प्रसार ज्ञात करेंगे।

1/3 = 0.333…

2/3 = 0.666…

हमें 0.333… और 0.666… के बीच एक अपरिमेय संख्या ज्ञात करनी है…

हम एक ऐसी संख्या ज्ञात करेंगे जिसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है और इनके बीच में है। ऐसी अनिश्चित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं।

0.505505550… ऐसी अपरिमेय संख्या है जो 1/3 और 2/3 के बीच आती है।           उत्तर

वास्तविक संख्याओं का दशमलव प्रसार कक्षा 9वीं (Decimal Expansion of Real Numbers Class 9th) अंग्रेजी में

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