पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratio of Complementary Angles Class 10th)

Poorak Konon Ke Trikonamiteey Anupaat

परिचय

जब दो कोणों का योग 90° होता है तो उन्हें पूरक कोण कहा जाता है। यदि कोई न्यून कोण A है तो उसका पूरक कोण (90° – A) होगा। समकोण त्रिभुज में, पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Complementary Angles) निम्न प्रकार ज्ञात करते है।

सूत्र की उत्पत्ति और व्याख्या

माना △PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसमें ∠Q समकोण है और ∠R न्यून कोण है।

तो   ∠P + ∠R = 90°

∠P + ϴ = 90°

∠P = (90° – ϴ)  

इसलिए ∠P और ∠R पूरक कोण हैं।

अब कोण ϴ के ​​लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

sin ϴ = PQ/PR                 cos ϴ = QR/PR             tan ϴ = PQ/QR                 

cosec ϴ = PR/PQ             sec ϴ = PR/QR            cot ϴ = QR/PQ …………….(1)

कोण (90° – ϴ) के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात 

sin (90° – ϴ) = QR/PR              cos (90° – ϴ) = PQ/PR            tan (90° – ϴ) = QR/PQ               

cosec (90° – ϴ) = PR/QR          sec (90° – ϴ) = PR/PQ            cot (90° – ϴ) = PQ/QR …………..(2)

समीकरण (1) और (2) की तुलना करने पर,

sin (90° – ϴ) = QR/PR = cos ϴ             cos (90° – ϴ) = PQ/PR = sin ϴ     

tan (90° – ϴ) = QR/PQ = cot ϴ                 cot (90° – ϴ) = PQ/QR = tan ϴ

cosec (90° – ϴ) = PR/QR = sec ϴ              sec (90° – ϴ) = PR/PQ = cosec ϴ

इसलिए,

sin (90° – ϴ) = cos ϴ	cos (90° – ϴ) = sin ϴ
tan (90° – ϴ) = cot ϴ	cot (90° – ϴ) = tan ϴ
cosec (90° – ϴ) = sec ϴ	sec (90° – ϴ) = cosec ϴ

नोट – इसका मतलब है कि sin और cos, tan और cot, cosec और sec पूरक कोणों के लिए समान होते हैं।

कुछ उदाहरण –

उदाहरण – 1) हल कीजिये sin 35°/cos 55°

हल – ∵ 55° = 90° – 35°

∴ cos 55° = cos(90° – 35°)         [∵ cos (90° – ϴ) = sin ϴ]

cos 55° = sin 35°

इसलिए,  sin 35°/sin 35° = 1        उत्तर    

उदाहरण – 2) हल कीजिये cos² 50° + cos² 40°

हल – ∵ 50° = 90° – 40°

∴ cos 50° = cos (90° – 40°) = sin 40°

और cos² 50° = sin² 40°

इसलिए,    cos² 50° + cos² 40°       

sin² 40° + cos² 40° = 1        [∵ sin² ϴ + cos² ϴ = 1]  उत्तर

उदाहरण – 3) सिद्ध कीजिए tan 25° tan 55° tan 65° tan 35° = 1

हल – बायाँ पक्ष  = tan 25° tan 55° tan 65° tan 35°

= tan (90° – 65°) tan (90° – 35°) tan 65° tan 35°

= cot 65° cot 35° tan 65° tan 35°

= 1/(tan 65° tan 35°) × tan 65° tan 35°

= 1

= दायाँ पक्ष

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Complementary Angles) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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