पूर्ण संख्याएँ कक्षा 6 (Whole Number Class 6th)

Poorn Sankhyaen Kaksha 6

परिचय

हम जानते हैं कि गिनती की संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5 ……… की तरह शुरू होती है, ये संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। इसका अर्थ है कि सभी गिनती की संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं। प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के अंतर्गत आती हैं। कक्षा 6 में, पूर्ण संख्याएँ (Whole number class 6^th) इस प्रकार हैं।

परिभाषा

शून्य (0) सहित सभी गिनती की संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं या शून्य (0) सहित प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ कहलाती हैं। इसे W द्वारा निरूपित किया जाता है।

उदाहरण – W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ………}

पूर्ण संख्याओं में भिन्न और दशमलव संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं जैसे 2/3, ½, 3.4, 5.6, आदि।

महत्वपूर्ण बिंदु

• पूर्ण संख्याएँ वास्तविक संख्याएँ होती हैं।
• सभी प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
• शून्य (0) सहित सभी धनात्मक पूर्णांक संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ होती हैं।
• 0 सबसे छोटी पूर्ण संख्या है।

पूर्ण संख्याओं के पूर्ववर्ती और परवर्ती

पूर्ववर्ती – यदि हम किसी संख्या में से 1 घटाते हैं, तो हमें उस संख्या का पूर्ववर्ती प्राप्त होता है। पूर्ण संख्याओं के लिए, 0 के अलावा, प्रत्येक संख्या का पूर्ववर्ती होता है।

उदाहरण – 2 का पूर्ववर्ती = 2 – 1 = 1

11 का पूर्ववर्ती = 11 – 1 = 10

100 का पूर्ववर्ती = 100 – 1 = 99

0 का पूर्ववर्ती = 0 – 1 = -1 (पूर्ण संख्या नहीं है)

परवर्ती – किसी भी संख्या में 1 जोड़ने पर हमें उस संख्या का परवर्ती प्राप्त होता है। पूर्ण संख्याओं के लिए, प्रत्येक संख्या का परवर्ती होता है।

उदाहरण – 0 का परवर्ती = 0 + 1 = 1

56 का परवर्ती = 56 + 1 = 57

4 का परवर्ती = 4 + 1 = 5                     

999 का परवर्ती = 999 + 1 = 1000

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याएँ

हम एक रेखा खींचते हैं और उस पर 0, 1, 2, 3… समान दूरी पर पूर्ण संख्याएँ अंकित करते हैं। वह रेखा पूर्ण संख्याओं के लिए संख्या रेखा होती है।

संख्याओं के बीच की समान दूरी को इकाई दूरी कहते हैं। संख्या रेखा के दायीं ओर पूर्ण संख्याएँ बढ़ती है।

संख्या रेखा पर, पूर्ण संख्या 0 और 1 के बीच की दूरी = 1 इकाई

पूर्ण संख्या 1 और 3 के बीच की दूरी = 2 इकाई

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओ का योग

यदि हम दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ते है तो परिणाम संख्या रेखा पर दोनों संख्याओं के दायीं ओर होगा। आइए 2 और 5 जोड़ें।

2 और 5 को जोड़ने के लिए, हम 2 से शुरू करते हैं और ऊपर की आकृति में दिखाए गए अनुसार दाईं ओर 5 कदम चलते हैं। प्रत्येक कदम 1 इकाई के बराबर है। 5वें तीर का सिरा 7 नंबर पर है, इसलिए 2 और 5 का योग 7 है।

2 + 5 = 7

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओ का घटाव

दो संख्याओं के घटाव में, हम संख्या रेखा के बाईं ओर चलने पर परिणाम प्राप्त करते हैं। आइए एक उदाहरण लेते हैं। 5 में से 3 घटाएं।

5 में से 3 घटाने के लिए, हम 5 से शुरू करते हैं और 3 कदम बाईं ओर चलते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। तीसरे तीर की नोक 2 पर है। इसलिए, 5 में से 3 का घटाव 2 के बराबर है।

5 – 3 = 2

संख्या रेखा पर पूर्ण संख्याओ का गुणन

गुणन में हमें संख्या रेखा के दायीं ओर चलने पर परिणाम मिलता है। लेकिन कदम 1 इकाई के बराबर नहीं होते है, यह संख्याओं पर निर्भर करता है। आइए 4×2 गुणा करें।

हम 0 से शुरू करते हैं और एक बार में 2 इकाइयों के बराबर चलते हैं। हम ऐसे 4 कदम चलते हैं। ऐसी 4 चालें लेने के बाद, अंतिम तीर की नोक 8 पर है। इसलिए, परिणाम 8 है।

4 × 2 = 8

पूर्ण संख्याओं के गुण

(1) संवृत गुण

योग के लिए – दो पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है। इस गुण को योग के लिए संवृत गुण के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण – 1) 2 + 3 = 5 (पूर्ण संख्या)

2) 4 + 7 = 11 (पूर्ण संख्या)

3) 1 + 9 = 10 (पूर्ण संख्या)

घटाव के लिए – दो पूर्ण संख्याओं का अंतर हमेशा एक पूर्ण संख्या नहीं होता है। इसका मतलब है कि घटाव के तहत पूर्ण संख्याएं संवृत नहीं होती हैं।

उदाहरण – 1) 5 – 4 = 1 (पूर्ण संख्या)

2) 6 – 8 = -2 (पूर्ण संख्या नहीं है)

3) 1 – 9 = -8 (पूर्ण संख्या नहीं है)

गुणन के लिए – दो पूर्ण संख्याओं का गुणन हमेशा एक पूर्ण संख्या होती है। यह गुण गुणन के लिए संवृत गुण है।

उदाहरण – 1) 3 × 7 = 21 (पूर्ण संख्या)

2) 4 × 1 = 4 (पूर्ण संख्या)

3) 6 × 3 = 18 (पूर्ण संख्या)

भाग के लिए – दो पूर्ण संख्याओं का भाग हमेशा एक पूर्ण संख्या नहीं होता है। इसका मतलब है कि विभाजन के तहत पूर्ण संख्याएं संवृत नहीं होती हैं।

उदाहरण – 1) 9 ÷ 3 = 3 (पूर्ण संख्या)

2) 5 ÷ 8 = 5/8 (पूर्ण संख्या नहीं है)                     

3) 1 ÷ 0 = ∞ (अनंत)

(2) क्रमविनिमेय गुण

योग के लिए – किसी भी क्रम में दो पूर्ण संख्याओं का योग हमेशा समान पूर्ण संख्या होता है। यह योग के लिए क्रमविनिमेयता का गुण है।

उदाहरण – 1) 4 + 5 = 5 + 4 = 9 (समान पूर्ण संख्या)

2) 8 + 6 = 6 + 8 = 14 (समान पूर्ण संख्या)

घटाव के लिए – किसी भी क्रम में दो पूर्ण संख्याओं का घटाव हमेशा पूर्ण संख्या नहीं होता है। इसका अर्थ है कि घटाव पूर्ण संख्याओं के लिए क्रमविनिमेय नहीं है।

उदाहरण – 1) 8 – 3 = 5 (पूर्ण संख्या) और 3 – 8 = -5 (पूर्ण संख्या नहीं है)

2) 5 – 1 = 4 (पूर्ण संख्या) और 1 – 5 = -4 (पूर्ण संख्या नहीं है)

गुणन के लिए – किसी भी क्रम में दो पूर्ण संख्याओं का गुणन हमेशा समान पूर्ण संख्या होती है। यह गुणन के लिए क्रमविनिमेयता गुण है।

उदाहरण – 1) 3 × 5 = 5 × 3 = 15 (समान पूर्ण संख्या)

2) 8 × 9 = 9 × 8 = 72 (समान पूर्ण संख्या)

भाग के लिए – किसी भी क्रम में दो पूर्ण संख्याओं का भाग हमेशा पूर्ण संख्या नहीं होता है। इसका अर्थ है कि पूर्ण संख्याएँ विभाजन के लिए क्रमविनिमेय नहीं हैं।

उदाहरण – 1) 4 ÷ 2 = 2 (पूर्ण संख्या) और 2 ÷ 4 = ½ (पूर्ण संख्या नहीं है)

2) 9 ÷ 3 = 3 (पूर्ण संख्या) और 3 ÷ 9 = 1/3 (पूर्ण संख्या नहीं है)

(3) साहचर्य गुण

योग के लिए – यदि a, b और c तीन पूर्ण संख्याएँ हैं तो योग की साहचर्यता होगी

(a + b) + c = a + (b + c)

उदाहरण – (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10

घटाव के लिए – पूर्ण संख्याएँ घटाव के लिए साहचर्य नहीं होती हैं।

(a – b) – c ≠ a – (b – c)

उदाहरण – (2 – 3) – 5 ≠ 2 – (3 – 5)

-1 – 5 ≠ 2 – (-2)

-6 ≠ 2 + 2

-6 ≠ 4

गुणन के लिए – यदि a, b और c तीन पूर्ण संख्याएँ हैं तो गुणन की साहचर्यता होगी

(a × b) × c = a × (b × c)

उदाहरण – (2 × 3) × 5 = 2 × (3 × 5)

6 × 5 = 2 × 15

30 = 30

भाग के लिए – पूर्ण संख्याएँ भाग के लिए साहचर्य नहीं होती हैं।

(a ÷ b) ÷ c ≠ a ÷ (b ÷ c)

उदाहरण – (2 ÷ 3) ÷ 5 ≠ 2 ÷ (3 ÷ 5)

2/3 ÷ 5 ≠ 2 ÷ 3/5

2/3 × 1/5 ≠ 2 × 5/3

2/15 ≠ 10/3

(4) योग पर गुणन का वितरण गुण

यदि a, b और c तीन पूर्ण संख्याएँ हैं तब

a × (b + c) = (a × b) + (a × c)

उदाहरण – 2 × (3 + 5) = (2 × 3) + (2 × 5)

2 × 8 = 6 + 10

16 = 16

इसे योग पर गुणन के वितरण के रूप में जाना जाता है।

(5) तत्समक गुण

योग के लिए – जब किसी पूर्ण संख्या में शून्य (0) जोड़ा जाता है तो परिणाम हमेशा पूर्ण संख्या ही होता है। शून्य (0) को पूर्ण संख्याओं का योगात्मक तत्समक कहते हैं।

उदाहरण – 1) 0 + 4 = 4

2) 7 + 0 = 7

गुणन के लिए – जब 1 को किसी पूर्ण संख्या से गुणा किया जाता है तो परिणाम हमेशा पूर्ण संख्या ही होता है। 1 को पूर्ण संख्याओं का गुणनात्मक तत्समक कहते हैं।

उदाहरण – 1) 1 × 8 = 8

2) 3 × 1 = 3

नोट – तत्समक गुण का उपयोग घटाव और भाग के लिए नहीं किया जा सकता है।

पूर्ण संख्याएँ कक्षा 6 (Whole Number Class 6^th) अँग्रेजी में

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