न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात कक्षा 10 (Trigonometric Ratio of Acute Angles Class 10th)

Nyoon Konon Ke Trikonamiteey Anupaat

परिचय

समकोण त्रिभुज में, किन्हीं दो भुजाओं के अनुपात को त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप में जाना जाता है। प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन का एक अलग अनुपात होता है। हम न्यून कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratio of Acute Angles) निम्न प्रकार ज्ञात कर सकते है।

उत्पत्ति

आधार – कोण ∠C की संलग्न भुजा

लंब – कोण ∠C की सम्मुख भुजा

कर्ण – कोण ∠B (समकोण) की सम्मुख भुजा

उपरोक्त समकोण त्रिभुज में ∠B एक समकोण है और ∠A और ∠C दो न्यून कोण हैं। दोनों न्यून कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात किये जा सकते हैं।

न्यून कोण ∠C के त्रिकोणमितीय अनुपात

माना ∠C = ϴ

1) sin ϴ = लम्ब/कर्ण = AB/AC  

2) cos ϴ = आधार/कर्ण = BC/AC  

3) tan ϴ = लम्ब/आधार = AB/BC                          

4) cosec ϴ = कर्ण/लम्ब = AC/AB  

5) sec ϴ = कर्ण/आधार = AC/BC  

6) cot ϴ = आधार/लम्ब = BC/AB

हम न्यून कोण A के लिए भी सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कर सकते हैं। न्यून कोण A के लिए आधार (∠A की संलग्न भुजा) AB होगा और लम्ब (∠A की सम्मुख भुजा) BC होगा। कर्ण AC ही रहेगा।

नोट – 1) त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय अनुपात न्यून कोण ϴ पर निर्भर करता है, न कि समकोण त्रिभुज के आकार पर।

2) त्रिकोणमितीय अनुपात प्रत्येक न्यून कोण ϴ के लिए अद्वितीय होते हैं।

3) sin ϴ ≠ sin⨯ϴ , cos ϴ ≠ cos⨯ϴ, tan ϴ ≠ tan⨯ϴ

    यह त्रिकोणमितीय फलन और न्यून कोण के बीच गुणा नहीं है।     

4) किसी भी धनात्मक न्यून कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात हमेशा धनात्मक होते हैं।

उदाहरण – 1) △ABC में, ∠C एक समकोण है। भुजा AB = 5 सेमी और BC = 4 सेमी है तो कोण A के सभी त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल –

∵ △ABC एक समकोण त्रिभुज है।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

AC² = AB² – BC²

AC = √(5)² – (4)²

AC = √(25-16) = √9 = 3 सेमी

अब

sin A = BC/AB = 4/5	cosec A = AB/BC = 5/4 (sin A का व्युत्क्रम)
cos A = AC/AB = 3/5	sec A = AB/AC = 5/3 (cos A का व्युत्क्रम)
tan A = BC/AC = 4/3	cot A = AC/BC = 3/4 (tan A का व्युत्क्रम)

उत्तर

उदाहरण – 2) यदि sin ϴ = 24/25 है, तो कोण ϴ के लिए शेष त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात कीजिये।

हल – sin ϴ = 24/25 = लम्ब/कर्ण

यदि हम △ABC को sin ϴ = 24/25 के लिए खींचते हैं

लम्ब = AB और कर्ण = AC

माना AB = 24k, AC = 25k

जहाँ k = समानुपातिकता स्थिरांक                

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा △ABC में,

BC = √(AC)² – (AB)²                 

BC = √(25k)² – (24k)²                              

BC = √625k² – 576k²                      

BC = √49k² 

BC = ±7k

चूंकि कोण ϴ एक धनात्मक न्यून कोण है इसलिए BC धनात्मक होगा।

अब cos ϴ = 7k/25k = 7/25

tan ϴ = 24k/7k = 24/7

cosec ϴ = 25k/24k = 25/24

sec ϴ = 25k/7k = 25/7

cot ϴ = 7k/24k = 7/24 उत्तर

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