समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (व्यापक पद) कक्षा 10 (nth Term of Arithmetic Progression Class 10th)

Samaantar Shredhee Ka n Vaan Pad (Vyaapak Pad)

परिचय

समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (व्यापक पद) (nth Term of Arithmetic Progression) ज्ञात करने के लिए एक सूत्र का उपयोग किया जाता है। सूत्र को समझने के लिए हम समान्तर श्रेढ़ी के व्यापक रूप का प्रयोग करते है जो कि इसप्रकार है।

सूत्र की उत्पत्ति

हमें समान्तर श्रेढ़ी का व्यापक रूप पता हैं जो कि इस तरह दिया जाता है

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d,……………..a + (n – 1)d

यहाँ, हम देख सकते हैं कि पहला पद a है।

दूसरा पद ज्ञात करने के लिए हम पहले पद a में सार्व अंतर d जोड़ रहे हैं या हम कह सकते हैं कि हम सार्व अंतर d को (2 – 1) से गुणा कर रहे हैं और फिर पहले पद a में जोड़ रहे हैं।

a₂ = a + d = a + (2 – 1)d

तीसरा पद ज्ञात करने के लिए, उपरोक्त अनुसार हम सार्व अंतर d को (3 – 1) से गुणा कर रहे हैं और पहले पद a में जोड़ रहे हैं।

a₃ = a + 2d = a + (3 – 1)d

इसी तरह, समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (nth Term of Arithmetic Progression) ज्ञात करने के लिए हम सार्व अंतर d को (n – 1) से गुणा करेंगे और फिर पहले पद a में जोड़ेंगे जैसा व्यापक रूप में भी लिखा गया है।

a_n = a + (n – 1)d

यहाँ, a_n = n वाँ पद या व्यापक पद

a = पहला पद

n = पदों की संख्या

d = सार्व अंतर

यदि किसी समान्तर श्रेढ़ी में परिमित पद हैं तो a_n अंतिम पद को दर्शाता है जिसे l द्वारा भी निरूपित किया जाता है।

कुछ उदाहरण

उदाहरण 1) समान्तर श्रेढ़ी 6, 12, 18, 24, 30 ………… .. का 9 वां पद ज्ञात कीजिये।

हल – यहाँ पहला पद (a) = 6, सार्व अंतर (d) = 12 – 6 = 6

पदों की संख्या (n) = 9,     9 वां पद (a₉) =?

n वाँ पद के सूत्र द्वारा,   a_n = a + (n – 1)d

a₉ = 6 + (9 – 1)6

a₉ = 6 + (8)6 = 6 + 48

a₉ = 54

इसलिए, दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 9 वां पद 54 है।          उत्तर                                  

उदाहरण 2) समान्तर श्रेढ़ी 4, 8, 12, 16 ……… .. का कौन सा पद 464 है?

हल – प्रथम पद (a) = 4, सार्व अंतर (d) = 8 – 4 = 4

n वाँ पद (a_n) = 464, पदों की संख्या (n) =?

सूत्र द्वारा,    a_n = a + (n – 1)d

464 = 4 + (n – 1)4

464 – 4 = 4n – 4

460 = 4n – 4

460 + 4 = 4n

464 = 4n

464/4 = n

n = 116

इसलिए, दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 116 वां पद 464 है।        उत्तर

उदाहरण 3) समान्तर श्रेढ़ी 7, 11, 15, 19…… का n वाँ पद (व्यापक पद) ज्ञात कीजिए।

हल – प्रथम पद (a) = 7, सार्व अंतर (d) = 11 – 7 = 4

n वाँ पद (a_n) =?

n वाँ पद के सूत्र द्वारा,    a_n = a + (n – 1)d

a_n = 7 + (n – 1)4

a­_n = 7 + 4n – 4

a_n = 3 + 4n

इसलिए, समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद a_n = 3 + 4n है।                 उत्तर

उदाहरण 4) समान्तर श्रेढ़ी 1, 8, 15, 22 ……………..204 के पदों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल – यहाँ प्रथम पद (a) = 1, सार्व अंतर (d) = 8 – 1 = 7

n वाँ पद (a_n) = 204, पदों की संख्या (n) =?

सूत्र द्वारा,    a_n = a + (n – 1)d

204 = 1 + (n – 1)7

204 – 1 = 7n – 7

203 = 7n – 7

203 + 7 = 7n

210/7 = n

n = 30

इसलिए, दी गई समान्तर श्रेढ़ी में 30 पद हैं।              उत्तर

उदाहरण 5) समान्तर श्रेढ़ी 10, 7, 4, 1, -2, -5, -8, -11…… के लिए जाँच कीजिये कि -31 इसका पद है या नहीं।

हल – पहला पद (a) = 10, सार्व अंतर (d) = 7 – 10 = -3

यदि -31 दिए गए AP का पद है, तो इसके लिए पदों की संख्या(n) कोई प्राकृतिक संख्या होगी।

इसलिए n वाँ पद (a_n) = -31   तो   पदों की संख्या(n) =?

n वाँ पद सूत्र,      a_n = a + (n – 1)d

-31 = 10 + (n – 1)(-3)

-31 – 10 = -3n + 3

-41 = -3n + 3

3n = 41 + 3

n = 44/3 = 14.67

चूंकि n का मान दशमलव संख्या है लेकिन n हमेशा AP के लिए एक प्राकृतिक संख्या होती है।

इसलिए, -31 दी गई समान्तर श्रेढ़ी का पद नहीं है।              उत्तर

उदाहरण 6) उस समान्तर श्रेढ़ी को ज्ञात कीजिये जिसका 5 वां पद 9 और 9 वां पद 17 है।

हल – n वाँ पद के सूत्र से,  a_n = a + (n – 1)d

5 वां पद a₅ = a + (5 – 1)d               9 वां पद a₉ = a + (9 – 1)d

9 = a + 4d                                  17 = a + 8d

दोनों समीकरण हल करने पर,

a + 4d = 9 …………………..(1)                            a + 8d = 17 …………………….(2)

प्रतिस्थापन विधि द्वारा,

a + 4d = 9                                                   9 – 4d + 8d = 17

a = 9 – 4d[समीकरण (2) में मान रखने पर]        4d = 17 – 9

a = 9 – 4d ………………(3)                                  d = 8/4

a = 9 – 4⨯2               d = 2 (सार्व अंतर)[समीकरण (3) में मान रखने पर]

a = 9 – 8

a = 1 (पहला पद)

अतः वांछित समान्तर श्रेढ़ी 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19……….. है।               उत्तर

उदाहरण 7) यदि एक समान्तर श्रेढ़ी का 6 वां पद 22 और 30 वां पद 94 है। इसका 25 वां पद  ज्ञात कीजिये।

हल – n वाँ पद के सूत्र से,    a_n = a + (n – 1)d

6 वां पद,  a₆ = 22             30 वां पद,   a₃₀ = 110

a + (6 – 1)d = 22               a + (30 – 1)d = 110

a + 5d = 22                       a + 29d = 110

विलोपन विधि द्वारा हल करने पर,

           -24d = – 72

d = -72/-24

सार्व अंतर     d = 3  

दोनों में से किसी भी समीकरण में d = 3 मान रखने पर,

a + 5d   = 22     

a + 5⨯3 = 22

a = 22 – 15

पहला पद     a = 7

अब 25 वां पद    a₂₅ = a + (25 – 1)d

a₂₅ = 7 + 24⨯3

a₂₅ = 7 + 72

a₂₅ = 79

इसलिए, दी गई समान्तर श्रेढ़ी का 25 वां पद 79 है।          उत्तर

उदाहरण 8) दो अंकों की कितनी संख्याएँ 9 से विभाज्य होती है?

हल – दो अंको की संख्या = 10 से 99

संख्याएँ जो 9 से विभाज्य होती हैं 18, 27, 36…

यह अनुक्रम समान्तर श्रेढ़ी होगा क्योंकि सभी संख्याएँ 9 से विभाज्य हैं।

पहला पद (a) = 18, सार्व अंतर (d) = 27 – 18 = 9

n वाँ पद (a_n) = 99, पदों की संख्या (n) = ?

सूत्र द्वारा,  a_n = a + (n – 1)d

99 = 18 + (n – 1)9

99 – 18 = 9n – 9

81 + 9 = 9n

n = 90/9

n = 10

इसलिए, दो अंकों की 10 संख्याएँ  9 से विभाज्य होती हैं।         उत्तर

समान्तर श्रेढ़ी में अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद (nth Term of Arithmetic Progression From Last)

यदि हम अंतिम पद ’l’ को पहले पद के रूप में लेते हैं और उत्क्रम (उल्टा) सार्व अंतर – d के रूप में लेते है, तो अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद को निम्न रूप से लिखा जा सकता है।

अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद

a_n =  l + (n – 1)(-d)

a_n = l – (n – 1)d

उदाहरण 9) समान्तर श्रेढ़ी 21, 18, 15, 12 ………………-81 में अंतिम पद (विपरीत ओर) से 16 वां पद ज्ञात कीजिए।

हल – यहाँ अंतिम पद (l) = -81, सार्व अंतर (d) = 18 – 21 = -3, पदों की संख्या (n) = 16

अंतिम पद (विपरीत ओर) से n वाँ पद के सूत्र द्वारा,  a_n = l – (n – 1)d

a₁₆ = -81 – (16 – 1)(-3)

a₁₆ = -81 – (-48 + 3)

a₁₆ = -81 – (-45)

a₁₆ = -81 + 45

a₁₆ = – 36

इसलिए, अंतिम पद से 16 वां पद -36 है।          उत्तर

समान्तर श्रेढ़ी के पदों का चयन कैसे करें यदि नहीं दिए गए है तो –

यदि कोई प्रश्न है जिसमें न तो समान्तर श्रेढ़ी दी गई है और न ही कोई पद दिया गया है और हमें समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात करनी है तो हमें पदों को एक अलग क्रम में चयन करना ​​होगा। अलग क्रम में पदों को चयन करने से हमें आसानी से समान्तर श्रेढ़ी ज्ञात करने में सहायता मिलती है। आइए देखें कि पदों का चयन कैसे करे।

यदि हमें तीन पद मानने हैं तो पद हैं –  a – d, a, a + d

यदि हमें चार पद मानने हैं तो पद हैं –  a – 3d, a – d, a + d, a + 3d

यदि हमें पाँच पद मानने हैं तो पद हैं –  a – 2d, a – d, a, a + d, a + 2d

यदि हमें छः पद मानने हैं तो पद हैं –  a – 5d, a – 3d, a – d, a + d, a + 3d, a + 5d

उदाहरण 10) तीन संख्याएँ समान्तर श्रेढ़ी में हैं यदि उनका योग 15 है और उनका गुणा -55 है तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल – माना वे तीन संख्याएँ जो समान्तर श्रेढ़ी में हैं a – d, a, a + d

तब प्रश्न के अनुसार, योग 15 है  a – d + a + a + d = 15

3a = 15

a = 15/3

a = 5

और गुणा -55 है   (a – d)⨯a⨯(a + d) = -55

(a² – d²)⨯a = -55

∵ a = 5

{(5)² – d²}⨯5 = -55

{25 – d²}⨯5 = -55

125 – 5d² = -55

125 + 55 = 5d²

180 = 5d²

180/5 = d²

d² = 36

d = ±√36

d = ±6

a और d का मान रखने पर। यदि a = 5 और d = +6 है तो संख्याएँ  5 – 6, 5, 5 + 6 ⇒ -1, 5, 11

यदि a = 5 और d = -6 है तो संख्याएँ  5 – (-6), 5, 5 + (-6) ⇒ 11, 5, -1            उत्तर

समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद (व्यापक पद) (nth Term of Arithmetic Progression) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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