बहुपदों पर संक्रियाएँ कक्षा 10 (Operation on Polynomial Class 10th)

Bahupado Par Sankriyaen

बहुपदों पर संक्रियाएँ (Operation on Polynomial), बहुपदों का योग, बहुपदों का घटाव, बहुपदों का गुणा, और बहुपदों का भाग होती है।

• बहुपदों का योग
• बहुपदों का घटाव
• बहुपदों का गुणा
• बहुपदों का भाग

बहुपदों का योग

बहुपदो पर संक्रियाओं (Operation on Polynomial) में, जब हम दो या दो से अधिक बहुपदो को जोड़ते हैं तो केवल समान पद जोड़े जाते हैं इसका अर्थ है कि समान चर और समान घात वाले पद जोड़े जाते हैं। असमान पदों को नहीं जोड़ा जाएगा, वो अपरिवर्तित रहेंगे। जोड़ में, परिणामी बहुपद की घात समान रहती है।

उदाहरण – बहुपदो 3x² + 4xy + 2y² और 5y² – xy + 7x² को जोड़ें।

हल – 3x² + 4xy + 2y² + 5y² – xy + 7x²

(3x² + 7x²) + (4xy – xy) + (2y² + 5y²)

10x² + 3xy + 7y²      उत्तर

बहुपदो का घटाव

बहुपदों का घटाव बहुपदों के योग के समान ही होता है। इसमें समान पदों को घटाया जाता है और असमान पदों में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इसमें भी परिणामी बहुपद की घात वही रहेगी।

उदाहरण – बहुपद 3xy² + 4xy – 6x²y + y³ को 8xy² + 7xy + x²y में से घटाएं।

हल – 8xy² + 7xy + x²y – (3xy² + 4xy – 6x²y + y³)

8xy² + 7xy + x²y – 3xy² – 4xy + 6x²y – y³

(8xy² – 3xy²) + (7xy – 4xy) + (x²y + 6x²y) – y³

5xy² + 3xy + 7x²y – y³ उत्तर

बहुपदों का गुणा

जब दो या दो से अधिक बहुपदों को गुणा किया जाता है तो परिणाम हमेशा उच्च घात वाला बहुपद होता है। लेकिन दो बहुपदों में, यदि एक या दोनों बहुपद अचर बहुपद हों तो घात वही रहेगी। बहुपदों के गुणा में, समान चरों की घातो को घातांक के नियमों द्वारा जोड़ा जाता है।

एकपदी को एकपदी से गुणा करना

दो एकपदी का गुणा करना

उदाहरण – 1) 4x⨯6y = (4⨯6)⨯(x⨯y) = 24xy

2) 3a⨯(-2b) = {3⨯(-2)}⨯(a⨯b) = -6ab

3) 6p²⨯8p = (6⨯8)⨯(p²⨯p) = 48p³

4) x⁴yz²⨯2xy³z = (1⨯2)⨯(x⁴⨯x⨯y⨯y³⨯z²⨯z) = 2x⁵y⁴z³ उत्तर

तीन या अधिक एकपदी का गुणा करना

उदाहरण – 1) 7t⨯2s⨯3r = (7⨯2⨯3)⨯(t⨯s⨯r) = 42tsr उत्तर

2) 4pq⨯5p²q²⨯6p³q³

= (4⨯5⨯6)⨯(p⨯p²⨯p³⨯q⨯q²⨯q³)

= 120p⁶q⁶ उत्तर

3) 2x²y⨯(-4y²z)⨯(-7z²x)⨯2x²yz

= [2x²y⨯(-4y²z)]⨯[(-7z²x)⨯2x²yz]

= (-8x²y³z)⨯(-14x³yz³)

= 112x⁵y⁴z⁴ उत्तर

एकपदी को बहुपद से गुणा करना

एकपदी को द्विपद से गुणा करना

उदाहरण – 1) 2a⨯(3b+4)

वितरण नियम का उपयोग करने पर,

= 2a⨯3b + 2a⨯4

= 6ab + 8a     उत्तर

2) 7xy⨯(y²+5)

= 7xy⨯y² + 7xy⨯5

= 7xy³ + 35xy उत्तर

एकपदी को त्रिपद से गुणा करना

उदाहरण – 1) 3v⨯(4v²+5v+7)

वितरण नियम का उपयोग करने पर,

= 3v⨯4v² + 3v⨯5v + 3v⨯7

= 12v³ + 15v² + 21v उत्तर

2) x²⨯(9xz+6y²-xyz)

= x²⨯9xz + x²⨯6y² – x²⨯xyz

= 9x³z + 6x²y² – x³yz उत्तर

बहुपद को बहुपद से गुणा करना

द्विपद को द्विपद से गुणा करना

उदाहरण – 1) (2x+3y)⨯(3x+2y)

= 2x⨯(3x+2y) + 3y⨯(3x+2y)

= 2x⨯3x + 2x⨯2y + 3y⨯3x + 3y⨯2y

= 6x² + 4xy + 9xy + 6y²

= 6x² + 13xy + 6y² उत्तर

2) (p²-6qr)⨯(9q²+7r)

= p²⨯(9q²+7r) – 6qr⨯(9q²+7r)

= p²⨯9q² + p²⨯7r – 6qr⨯9q² – 6qr⨯7r

= 9p²q² + 7p²r – 54q³r – 42qr² उत्तर

द्विपद को त्रिपद से गुणा करना

उदाहरण – 1) (a+5)⨯(a²+2a-7)

= a⨯(a²+2a-7) + 5⨯(a²+2a-7)

= a⨯a²+a⨯2a-a⨯7 + 5⨯a²+5⨯2a-5⨯7

= a³+2a²-7a + 5a²+10a-35

= a³+7a²+3a-35 उत्तर

2) (x²-3)⨯(xy+yz+zx)

= x²⨯(xy+yz+zx) – 3⨯(xy+yz+zx)

= x²⨯xy+x²⨯yz+x²⨯zx – 3⨯xy – 3⨯yz – 3⨯zx

= x³y + x²yz + x³z – 3xy – 3yz – 3zx उत्तर

बहुपदों का भाग

बहुपद के विभाजन में, परिणाम कम घात वाला बहुपद होता है और यदि बहुपदों में से एक अचर बहुपद है तो घात वही रहेगी।

एकपदी को एकपदी से विभाजित करना

आसान विभाजन के लिए, हम इस प्रकार के विभाजन में भाज्य और भाजक दोनों का गुणनखंड करते हैं।

उदाहरण – 1) 6x⁴ ÷ 3x

= 2⨯3⨯x⨯x⨯x⨯x/3⨯x = 2⨯x⨯x⨯x = 2x³ उत्तर

2) 72p²q³r ÷ (- 6p⁴q)

= 2⨯2⨯2⨯3⨯3⨯p⨯p⨯q⨯q⨯q⨯r/-2⨯3⨯p⨯p⨯p⨯p⨯q

= 2⨯2⨯3⨯q⨯q⨯r/-p⨯p = 12q²r/-p² उत्तर

बहुपद को एकपदी से विभाजित करना

उदाहरण – 1) (2xy + 6x) ÷ 2x

= (2xy + 6x)/2x = 2x(y + 3)/2x = (y+3) उत्तर

2) (8y³ + 6y² + 12y) ÷ 2y

= (8y³ + 6y² + 12y)/2y = 2y(4y² + 3y+ 6)/2y

=  4y² + 3y+ 6 उत्तर

इसे इस प्रकार भी हल किया जा सकता है = 8y³/2y + 6y²/2y + 12y/2y = 4y² + 3y+ 6

बहुपद को बहुपद से विभाजित करना

उदाहरण – 1) (7a² + 14a) ÷ (a + 2)

= (7a² + 14a)/(a + 2) = 7a(a + 2)/(a + 2) = 7a उत्तर

2) (x⁴ – 5x³ – 24x²) ÷ x(x – 8)

= (x⁴ – 5x³ – 24x²)/x(x – 8) = x²(x² – 5x – 24)/x(x – 8)      

= x(x² – 8x + 3x – 24)/(x – 8)   [(x² – 5x – 24) का गुणनखंड]                                 

= x{x(x – 8) + 3(x – 8)}/(x – 8)                                   

= x(x – 8)(x + 3)/(x – 8) = x(x + 3)      उत्तर

यदि उपरोक्त विधि बहुपद को बहुपद से विभाजित करने में आपकी सहायता नहीं करती है, तो विभाजित करने की एक अन्य विधि भी है जिसे विभाजन एल्गोरिथ्म कहा जाता है।

बहुपदो पर संक्रियाएँ (Operation on Polynomial) कक्षा 10 अँग्रेजी में

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