त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच सम्बन्ध कक्षा 10 (Relationship Between Trigonometric Ratios Class 10th)

Trikonamiteey Anupaaton ke Beech Sambandh

परिचय

हम जानते हैं कि sin ϴ, cos ϴ और tan ϴ का विलोम क्रमशः cosec ϴ, sec ϴ और cot ϴ होता है। इसलिए कुछ सूत्र यहां दिए गए हैं जो त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच सम्बन्ध (Relationship Between Trigonometric Ratios) को दर्शाते है।

सूत्र की उत्पत्ति और व्याख्या

यदि हम △PQR मान ले,

sin ϴ = PQ/PR    और cosec ϴ = PR/PQ

sin ϴ⨯cosec ϴ = (PQ/PR)⨯(PR/PQ)

sin ϴ⨯cosec ϴ = 1

इसीतरह,

1) sin ϴ×cosec ϴ = 1  ⇒   sin ϴ = 1/cosec ϴ और     cosec ϴ = 1/sin ϴ 

2) cos ϴ×sec ϴ = 1   ⇒     cos ϴ = 1/sec ϴ     और     sec ϴ = 1/cos ϴ 

3) tan ϴ×cot ϴ = 1   ⇒    tan ϴ = 1/cot ϴ     और     cot ϴ = 1/ tan ϴ 

4) tan ϴ = sin ϴ/cos ϴ

∵ sin ϴ = PQ/PR         और          cos ϴ = QR/PR

अब sin ϴ/cos ϴ = (PQ/PR) ∕ (QR/PR) = (PQ/PR)×(PR/QR) = PQ/QR = लम्ब/आधार = tan ϴ

इसीतरह,

5) cot ϴ = cos ϴ/sin ϴ    

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

(1) sin² ϴ + cos² ϴ = 1

∵ sin ϴ = PQ/PR     और      cos ϴ = QR/PR [ऊपर दी गई आकृति △PQR से]

बायाँ पक्ष       

sin² ϴ + cos² ϴ

(PQ/PR)² + (QR/PR)² 

PQ²/PR² + QR²/PR²

(PQ² + QR²)/PR²

PR²/PR²  = 1 = दायाँ पक्ष        (पाइथागोरस प्रमेय द्वारा PR² = PQ² + QR²)

(2) 1 + tan² ϴ = sec² ϴ

∵ tan ϴ = PQ/QR   [ऊपर दी गई आकृति △PQR से]

बायाँ पक्ष

1 + tan² ϴ

1 + (PQ/QR)²

(1 + PQ²)/QR²

(QR² + PQ²)/QR² 

PR²/QR² = (PR/QR)² = sec² ϴ = दायाँ पक्ष

वैकल्पिक विधि –

हम जानते है कि,  sin² ϴ + cos² ϴ = 1

दोनों तरफ cos² ϴ से भाग देने पर,

(sin² ϴ/cos² ϴ) + (cos² ϴ/cos² ϴ) = 1/cos² ϴ         ( ∵ tan ϴ = sin ϴ/cos ϴ)

tan² ϴ + 1 = sec² ϴ   

(3) 1 + cot² ϴ = cosec² ϴ

∵ cot ϴ = QR/PQ [ऊपर दी गई आकृति △PQR से] 

बायाँ पक्ष   

1 + cot² ϴ

1 + (QR/PQ)²

(1 + QR²)/PQ² 

(PQ² + QR²)/PQ² 

PR²/PQ² = (PR/PQ)² = cosec² ϴ = दायाँ पक्ष   

वैकल्पिक विधि –

हम जानते है कि,  sin² ϴ + cos² ϴ = 1

दोनों तरफ sin² ϴ से भाग देने पर,

(sin² ϴ/sin² ϴ) + (cos² ϴ/sin² ϴ) = 1/sin² ϴ        (∵ cot ϴ = cos ϴ/sin ϴ)  

1 + cot² ϴ  = cosec² ϴ

नोट  – 1) (sin ϴ)² = sin² ϴ ≠ sin ϴ²

इसका मतलब है (sin ϴ)² को sin² ϴ के रूप में लिखा जा सकता है लेकिन sin ϴ² के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। यह अन्य त्रिकोणमितीय फलनों के लिए भी लागू होता है।

2) त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ निम्न रूप में लिखी जा सकती है।

sin2 ϴ + cos2 ϴ = 1	1 + tan2 ϴ = sec2 ϴ	1 + cot2 ϴ  = cosec2 ϴ
sin2 ϴ = 1 – cos2 ϴ	sec2 ϴ – tan2 ϴ = 1	cosec2 ϴ – cot2 ϴ = 1
cos2 ϴ = 1 – sin2 ϴ	tan2 ϴ = sec2 ϴ – 1	cot2 ϴ = cosec2 ϴ – 1

उदाहरण – यदि sin ϴ = 5/13 है, तो त्रिकोणमितीय अनुपातों के बीच संबंध का उपयोग करते हुए सभी त्रिकोणमितीय फलन ज्ञात कीजिये, जहाँ ϴ एक न्यून कोण है।

हल – यहाँ sin ϴ = 5/13    

हम जानते हैं कि  sin² ϴ + cos² ϴ = 1

(5/13)² + cos² ϴ = 1

cos² ϴ = 1 – (25/169)

cos ϴ = √(169-25)/169 = √(144/169) = 12/13 

∵ sec ϴ = 1/cos ϴ  

sec ϴ = 1 ∕ 12/13 = 13/12  

∵ cosec ϴ = 1/sin ϴ = 1 ∕ 5/13 = 13/5  

∵ 1 + cot² ϴ = cosec² ϴ

cot² ϴ = cosec² ϴ – 1

cot ϴ = √(13/5)² – 1= √169/25 – 1 = √(169-25)/25 = √(144/25) = 12/5  

∵ tan ϴ = 1/cot ϴ

tan ϴ = 1 ∕ 12/5 = 5/12  

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं पर आधारित उदाहरण

उदाहरण 1) सिद्ध कीजिए tan ϴ + cot ϴ = sec ϴ×cosec ϴ

हल – tan ϴ + cot ϴ = sec ϴ×cosec ϴ

बायाँ पक्ष    tan ϴ + cot ϴ

sin ϴ/cos ϴ + cos ϴ/sin ϴ

(sin ϴ⨯sin ϴ + cos ϴ⨯cos ϴ)/cos ϴ⨯sin ϴ

(sin² ϴ + cos² ϴ)/cos ϴ⨯sin ϴ {∵ sin² ϴ + cos² ϴ = 1}

(1/cos ϴ)⨯sin ϴ = sec ϴ × cosec ϴ = दायाँ पक्ष

उदाहरण 2) सिद्ध कीजिए(1 + cot² ϴ)(1 + cos ϴ)(1 – cos ϴ) = 1

हल – (1 + cot² ϴ)(1 + cos ϴ)(1 – cos ϴ) = 1

बायाँ पक्ष   (1 + cot² ϴ)(1 + cos ϴ)(1 – cos ϴ) {∵ 1 + cot² ϴ = cosec² ϴ}

(cosec² ϴ)(1 – cos²ϴ)           {(a+b)(a-b) = a² – b²}

cosec² ϴ×sin² ϴ {∵ 1 – cos² ϴ = sin² ϴ}

(1/sin²ϴ)×sin²ϴ                    {cosec ϴ = 1/sinϴ}

1 = दायाँ पक्ष

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