समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग कक्षा 10 (Sum of n Terms of Arithmetic Progression Class 10th)

Samaantar Shredhee Ke Pahale n Padon Ka Yog

परिचय

हम जानते हैं कि एक समान्तर श्रेढ़ी में n पद होते हैं और यदि हम समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग (Sum of n Terms of Arithmetic Progression) करना चाहते हैं तो हमें क्या करना चाहिए, हम समान्तर श्रेढ़ी के सभी पदों को जोड़ देंगे लेकिन इसे हल करने में अधिक समय लगेगा। कभी-कभी यह विधि सही उत्तर नहीं देगी, समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों को जोड़ने के लिए, एक आसान हल के लिए एक सूत्र है।

सूत्र से पहले, इसे स्पष्ट रूप से समझने के लिए एक उदाहरण लेते हैं।

मैंने अपने दोस्त को उसकी मदद करने के लिए कुछ पैसे दिए और उसने मुझे किश्तो में पैसे दिए जैसे पहले महीने में उसने मुझे 1000 रुपये दिए, दूसरे महीने में उसने मुझे 2000 रुपये दिए और ऐसे ही आगे भी दिए। उसने इस क्रम में 15 महीने में सारा पैसा दे दिया। अब मैं गणना करना चाहता हूं कि 15 महीने बाद मुझे कितना पैसा मिला? इसलिए मुझे सभी किस्तों को जोड़ना होगा लेकिन इसमें बहुत अधिक समय लगेगा। मैं सभी किस्तों को एक सरल तरीके से कैसे जोड़ सकता हूं? आसानी से जोड़ने का एक सूत्र है। हम सूत्र कैसे प्राप्त कर सकते हैं, आइए देखें?

यदि मैं योग ज्ञात करने के लिए सभी किस्तों को लिखता हूं और योग S द्वारा निरूपित किया जाता है

S = 1000 + 2000 + 3000 +…………………+ 13000 + 14000 + 15000

अब उलटे क्रम में सभी पदों को फिर से लिखते है

S = 15000 + 14000 + 13000 +…………….…+ 3000 + 2000 + 1000

अब दोनों श्रृंखलाओं को जोड़ने पर

S + S = (1000 + 15000) + (2000 + 14000) + (3000 + 13000) + …….+ (13000 + 3000) + (14000 + 2000) + (15000 + 1000)

2S = 16000 + 16000 + 16000 +……….+ 16000 + 16000 + 16000 (15 times)

इसलिये, 2S = 16000⨯15

S = (16000⨯15)/2 = 8000⨯15

S = 120000

इसका मतलब है कि मुझे 15 महीने बाद 1,20,000 रुपये मिलते है।

इसी तरह, उपरोक्त विधि के समान, हम एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग (Sum of n Terms of Arithmetic Progression) ज्ञात करने के लिए सूत्र बना सकते हैं।

सूत्र की उत्पत्ति

हम समान्तर श्रेढ़ी को पहले पद a और सार्व अंतर d के साथ n पदों के लिए निम्नानुसार लिखते हैं।

a, a + d, a + 2d +………..+ a + (n – 1)d 

समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों के योग को S_n द्वारा निरूपित किया जाता है, इसलिए हम लिख सकते है

S_n = a + (a + d) + (a + 2d) + ………..+ [a + (n – 2)d] + [a + (n – 1)d] ………………(1)

उलटे क्रम में सभी पदों को फिर से लिखते है

S_n = [a + (n – 1)d] + [a + (n – 2)d] +……….+ (a + 2d) + (a + d) + a ………………(2)

अब समीकरण (1) और (2) दोनों को जोड़ने पर,

S_n + S_n = [a + a + (n – 1)d] + [(a + d) + a + (n – 2)d] +…..+ [a + (n – 2)d + (a + d)] + [a + (n – 1)d + a]

2S_n = [2a + (n – 1)d] + [a + d + a + nd – 2d] +…..+ [a + nd – 2d + a + d] + [2a + (n – 1)d]

2S_n = [2a + (n – 1)d] + [2a + nd – d] +……………..+ [2a + nd – d] + [2a + (n – 1)d]

2S_n = [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] +……………..+ [2a + (n – 1)d] + [2a + (n – 1)d] { n बार }

2S_n =  [2a + (n – 1)d]⨯n

S_n = [2a + (n – 1)d]⨯n/2 

S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

इसलिये एक समान्तर श्रेढ़ी के पहले n पदों का योग (Sum of n Terms of Arithmetic Progression)

S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

यह ऐसे भी लिख सकते हैं  S_n = n/2[a + a + (n – 1)d]

S_n = n/2[a + a_n]               [∵ n वाँ पद a_n = a + (n – 1)d]

यदि समान्तर श्रेढ़ी में केवल n पद हैं तब    a_n = l (अंतिम पद)

इसलिये,       S_n = n/2[a + l]

यदि पहला पद (a) और अंतिम पद ( l ) दिया गया है तो उपरोक्त सूत्र उपयोगी है।

यदि हम उपरोक्त हल किए गए उदाहरण को सूत्र की सहायता से हल करना चाहते हैं तो पहला पद (a) = 1000, अंतिम पद ( l ) = 15000, पदों की संख्या (n) = 15

इसलिए योग होगा  S₁₅ = 15/2[1000 + 15000]

S₁₅ = 15/2[16000]

S₁₅ = 15⨯8000

S₁₅ = 120000

हम देख सकते हैं कि हमने सूत्र की सहायता से इसे बहुत आसानी से हल कर लिया है।

नोट – समान्तर श्रेढ़ी का n वाँ पद, पहले n पदों के योग और पहले (n – 1) पदों के योग के अंतर के बराबर होता है।

अर्थात    a_n = S_n – S_{n – 1}        

चलो इसे सिद्ध करते है

दायाँ पक्ष  =  S_n – S_{n – 1}

= n/2[2a + (n – 1)d] – (n-1)/2[2a + {(n – 1) – 1}d]

= n/2[2a + nd – d] – (n-1)/2[2a + (n – 2)d]

= ½[2an + n²d – nd] – 1/2[2a(n – 1) + nd(n – 1) – 2d(n – 1)]

= ½[2an + n²d – nd – 2a(n – 1) – nd(n – 1) + 2d(n – 1)]

= ½[2an + n²d – nd – 2an + 2a – n²d + nd + 2dn – 2d]

= ½[2a + 2dn – 2d]

= 2/2[a + dn – d]

= a + (n – 1)d

= a_n = बायाँ पक्ष                इति सिद्धम

कुछ उदाहरण –

उदाहरण 1) समान्तर श्रेढ़ी : 1, 10, 19, 28 ………… के पहले 16 पदों का योग ज्ञात करो ।

हल – यहाँ पहला पद (a) = 1, सार्व अंतर (d) = 10 – 1 = 9

पदों की संख्या (n) = 16,    S₁₆ =?

पहले n पदों के योग के सूत्र द्वारा, S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

मान रखने पर,  S₁₆ = 16/2[2⨯1 + (16 – 1)9]

S₁₆ = 8[2 + 15⨯9]

S₁₆ = 8[2 + 135]

S₁₆ = 8[137]

S₁₆ = 1096

इसलिए, पहले 16 पदों का योग 1096 है।             उत्तर

उदाहरण 2) श्रृंखला का योग ज्ञात करें: 10 + 7 + 4 + 1 + ……… .. + (-80)।

हल – यहाँ सार्व अंतर (d) = 7 – 10 = -3

4 – 7 = -3

1 – 4 = -3

सार्व अंतर समान है इसलिए यह एक समान्तर श्रेढ़ी है।

प्रथम पद (a) = 10, अंतिम पद a_n = l = -80, पदों की संख्या (n) =?

n पदों का योग (S_n) =?

पहले हम पदों की संख्या (n) ज्ञात करेंगे

n वाँ पद सूत्र द्वारा,     a_n = a + (n – 1)d

-80 = 10 + (n – 1)(-3)

-80 – 10 = -3n + 3

3n = 90 + 3

n = 93/3 ⇒ n = 31

इसका मतलब है कि दी गई श्रृंखला में 31 पद हैं।

सूत्र द्वारा समान्तर श्रेढ़ी के पहले 31 पदों का योग,   S_n = n/2[a + l ]

S₃₁ = 31/2[10 + (-80)]

S₃₁ = 31/2[10 – 80]

S₃₁ = 31/2[-70] = 31⨯(-35)

S₃₁ = -1085

इसलिए, पहले 31 पदों का योग -1085 है।                उत्तर

उदाहरण 3) समान्तर श्रेढ़ी 19, 21, 23, 25, ……… के कितने पद ले ताकि उनका योग 115 हो जाए।

हल – पहला पद (a) = 19, सार्व अंतर (d) = 21 – 19 = 2, S_n = 115

पदों की संख्या (n) =?

चूंकि,  S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

115 = n/2[2⨯19 + (n – 1)2]

115⨯2 = n[38 + 2n – 2]

230 = 38n + 2n² – 2n

2n² + 36n – 230 = 0

2[n² + 18n – 115] = 0

n² + 18n – 115 = 0

गुणनखंड विधि द्वारा,     n² + 23n – 5n – 115 = 0

n(n + 23) – 5(n + 23) = 0

(n + 23)(n – 5) = 0

अब,      n + 23 = 0        और         n – 5 = 0

n = -23        और         n = 5

चूंकि, हम जानते हैं कि पदों की संख्या (n) नकारात्मक नहीं हो सकती।

तो n = 5 पदों की वांछित संख्या है।

इसका मतलब है कि 5 पद लेने चाहिए ताकि उनका योग 115 हो जाए।                उत्तर

उदाहरण 4) पहले n धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल – हम जानते हैं कि धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, ……………… ..n हैं

यहाँ पहला पद (a) = 1, अंतिम पद ( l ) = n,   S_n = ?

यहाँ अंतिम पद दिया गया है इसलिए हम इस सूत्र का उपयोग करेंगे S_n = n/2[a + l ]

मान रखने पर,   S_n = n/2[1 + n]

या हम लिख सकते हैं,   S_n = n(n+1)/2   उत्तर

इसका उपयोग सूत्र के रूप में, धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है, यदि पदों की संख्या (n) दी गई हो।

उदाहरण 5) समान्तर श्रेढ़ी के पहले 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका n वाँ पद a_n = 7n – 9 है।

हल – यहाँ n वाँ पद a_n = 7n – 9

पहले हम n वें पद से समान्तर श्रेढ़ी बनायेंगे  

n = 1 के लिए,  a₁ = 7⨯1 – 9 = 7 – 9 = -2

n = 2 के लिए,  a₂ = 7⨯2 – 9 = 14 – 9 = 5

n = 3 के लिए,  a₃ = 7⨯3 – 9 = 21 – 9 = 12

इसलिए समान्तर श्रेढ़ी -2, 5, 12,………………… है।

पहला पद (a) = -2, सार्व अंतर (d) = 5 – (-2) = 5 + 2 = 7

अब सूत्र द्वारा,     S_n = n/2[2a + (n – 1)d]

पहले 10 पदों का योग,     S₁₀ = 10/2[2⨯(-2) + (10 – 1)7]

S₁₀ = 5[-4 + (9)7]

S₁₀ = 5[-4 + 63]

S₁₀ = 5[59]

S₁₀ = 295

इसलिए, दी गई समान्तर श्रेढ़ी के पहले 10 पदों का योग 295 है।                   उत्तर

उदाहरण 6) 350 से 1000 के बीच आने वाली प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो 4 से विभाज्य है।

हल – 350 से 1000 के बीच, 4 से विभाज्य संख्याएँ 352, 356, 360, …………….1000 हैं।

यह श्रृंखला एक समान्तर श्रेढ़ी है जिसमें पहला पद (a) = 352, सार्व अंतर (d) = 356 – 352 = 4 है

अंतिम पद (a_n) = ( l ) = 1000, पदों की संख्या (n) =?

योग ज्ञात करने के लिए हमें पदों की संख्या (n) चाहिए इसलिए पहले हम इसे n वाँ पद सूत्र द्वारा ज्ञात करेंगे,

a_n = a + (n – 1)d

1000 = 352 + (n – 1)4

1000 – 352 = 4n – 4

648 + 4 = 4n

652 = 4n

652/4 = n

n = 163

इसका मतलब है कि 350 से 1000 के बीच 163 पद हैं जो 4 से विभाज्य हैं।

अब सूत्र द्वारा 163 पदों का योग,  S_n = n/2[a + l ]

S₁₆₃ = 163/2[352 + 1000]

S₁₆₃ = 163/2[1352] = 163⨯676

S₁₆₃ = 110188

इसलिए 163 पदों का योग जो 4 से विभाज्य है 110188 है।         उत्तर

उदाहरण 7) एक समान्तर श्रेढ़ी का पहला पद ज्ञात कीजिये जिसके n पदों का योग 3n² – 2n द्वारा दिया गया है। पहले दो पदों का योग, दूसरा पद, तीसरा पद, 11 वां पद और n वाँ  पद भी ज्ञात कीजिए।

हल – यहाँ एक समान्तर श्रेढ़ी के n पदों का योग है,      S_n = 3n² – 2n

n = 1 के लिए,     S₁ = 3(1)² – 2⨯1 = 3 – 2 = 1

तो पहला पद (a) = 1

अब पहले दो पदों का योग n = 2 रखने पर,      S₂ = 3(2)² – 2⨯2 = 3(4) – 4 = 12 – 4 = 8

तो पहले दो पदों का योग 8 है।

दूसरा पद a₂ = S₂ – S₁       [सूत्र द्वारा, a_n = S_n – S_{n – 1}]

a₂ = 8 – 1

a₂ = 7

तो दूसरा पद 7 है।

प्रश्न में, यह समान्तर श्रेढ़ी दी गई है इसलिए सार्व अंतर समान होगा।

पहले दो पदों का सार्व अंतर d = a₂ – a₁ = 7 – 1 = 6

तो तीसरा पद होगा       a₃ = a₂ + d = 7 + 6 = 13

तीसरा पद   a₃ = 13

अब समान्तर श्रेढ़ी : 1, 7, 13,…………..

तो n वाँ पद    a_n = a + (n – 1)d

a_n = 1 + (n – 1)6

a_n = 1 + 6n – 6

n वाँ पद    a_n = 6n – 5 

n = 11 के लिए,          a₁₁ = 6⨯11 – 5

a₁₁ = 66 – 5

अतः 11 वाँ पद      a₁₁ = 61               उत्तर

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