कार्तीय समतल में दो बिन्दुओं के बीच की दूरी और दूरी सूत्र कक्षा 10 (The Distance Formula Class 10th)

Kaarteey Samatal Mein Do Binduon Ke Beech Kee Dooree Aur Dooree Sootra

निर्देशांक ज्यामिति में, यदि कार्तीय समतल में दो बिंदु स्थित हैं और हमें उनके बीच की दूरी ज्ञात करनी है, तो हम इसे दूरी सूत्र (The Distance Formula) द्वारा ज्ञात कर सकते है। चलो देखते है इसे कैसे ज्ञात कर सकते हैं।

यदि दो बिंदु निर्देशांक अक्ष पर स्थित हैं (चाहे x- अक्ष पर या y- अक्ष पर)

यदि दो बिंदु x- अक्ष या y- अक्ष पर स्थित हैं तो हम दोनों के बीच अंतर लेकर आसानी से उनके बीच की दूरी ज्ञात कर सकते हैं। माना दो बिंदु A और B हैं जो x-अक्ष पर स्थित हैं और दो बिंदु C और D है जो y-अक्ष पर स्थित हैं।

कार्तीय समतल में दो बिन्दुओं के बीच की दूरी और दूरी सूत्र (THE DISTANCE FORMULA)

बिंदु A के निर्देशांक = (2,0) और बिंदु B के निर्देशांक = (7,0)

बिंदु C के निर्देशांक = (0, -3) और बिंदु D के निर्देशांक = (0, -6)

इसका अर्थ है मूलबिंदु से बिंदु A की दूरी OA = 2 इकाई और मूलबिंदु से बिंदु B की दूरी OB = 7 इकाई।

इसलिए बिन्दुओं A और B के बीच की दूरी, यहाँ OB > OA, AB = OB – OA = 7 – 2 = 5 इकाई

इसी प्रकार, OC = -3 इकाई और OD = -6 इकाई (यहां – चिन्ह ऋणात्मक दिशा दर्शाता है)

इसलिए बिन्दुओं C और D के बीच की दूरी, यहाँ OC > OD, CD = OC – OD = -3 – (-6) = -3 + 6 = 3 इकाई

हम पाइथागोरस प्रमेय (बौधायन प्रमेय) की सहायता से बिंदुओ A व C और बिंदुओ B व D के बीच की दूरी भी ज्ञात कर सकते हैं।

सबसे पहले, हम बिंदु A को बिंदु C से और बिंदु B को बिंदु D से मिलायेंगे। अब हम देख सकते हैं कि दो समकोण त्रिभुज ∆AOC और ∆BOD हैं। पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,

∆AOC में, AC² = OA² + OC²

AC = √(2)² + (-3)² = √(4+9) = √13 इकाई

∆BOD में, BD² = OB² + OD²

BD = √(7)² + (-6)² = √(49+36) = √85 इकाई

हमने देखा कि यदि दो बिंदु निर्देशांक अक्षो पर स्थित हैं तो हम उनके बीच की दूरी आसानी से ज्ञात कर सकते हैं।

यदि दो बिंदु निर्देशांक अक्ष पर स्थित नहीं हैं (चतुर्थांश में स्थित है)

माना दो बिंदु P (2,3) और Q (7,5) चतुर्थांश I में स्थित हैं। बिन्दुओं P और Q के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम बिंदु P और Q से क्रमशः x- अक्ष पर लंब PR और QS खींचते है। हम बिंदु P से QS पर लंब PT भी खींचते हैं।

बिंदु R और S के निर्देशांक क्रमशः (2,0) और (7,0) हैं।

यहाँ RS = OS – OR = 7 – 2 = 5 इकाई = PT [∵ RS = PT]

QS = 5 इकाई और PR = 3 इकाई = TS [∵ PR = TS]

QT = QS – TS = 5 – 3 = 2 इकाई

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, △PQT में,

PQ² = PT² + QT² = (5)² + (2)²

PQ = √(25+4)

PQ = √29 इकाई

दूरी सूत्र (The Distance Formula)

आइए हम चतुर्थांश I में स्थित दो बिंदु A(x₁,y₁) और B(x₂,y₂) मानते है और हमें दूरी AB ज्ञात करनी है।

हम क्रमशः बिंदु A और B से x- अक्ष पर लंब AE और BD खींचते हैं और बिंदु A से BD पर लंब AC खींचते हैं।

यहां, ED = (x₂ – x₁) इकाई

चूंकि ED = AC, इसलिए AC = (x₂ – x₁) इकाई और BD = y₂ इकाई

AE = CD = y₁ इकाई और BC = BD – CD = (y₂ – y₁) इकाई

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा △ABC में,

AB² = AC² + BC²

AB²= (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

AB = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

इस सम्बन्ध को दूरी सूत्र (The Distance Formula) कहा जाता है। चूँकि दूरी हमेशा धनात्मक होती है इसलिए हम वर्गमूल का केवल धनात्मक मान लेंगे।

हम यह भी लिख सकते हैं

AB = √(x – निर्देशांकों का अंतर)² + (y – निर्देशांकों का अंतर)²

नोट – 1) मूलबिंदु O (0,0) से बिंदु A (x, y) की दूरी को इस सम्बन्ध के रूप में लिखा जा सकता है

OA = √(x – 0)² + (y – 0)²

OA = √(x² + y²)

2) दूरी सूत्र (The Distance Formula) इस रूप में भी लिखा जा सकता है

AB = √(x₁ – x₂)² + (y₁ – y₂)²

क्योंकि किसी भी अंतर का वर्ग, चाहे ऋणात्मक हो या धनात्मक हो, हमेशा धनात्मक ही होता है।

कुछ उदाहरण लेते हैं –

उदाहरण 1) बिन्दुओ P(2,9) और Q(7, -3) के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल – माना इसकी तुलना P(x₁,y₁) और Q(x₂,y₂) से करें तो

x₁ = 2, y₁ = 9, x₂ = 7, y₂ = -3

दूरी सूत्र (The Distance Formula) द्वारा, PQ = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

PQ = √(7 – 2)² + (-3 – 9)²

PQ = √(5)² + (-12)²

PQ = √(25 + 144)

PQ = √169

PQ = 13 इकाई

इसलिए, बिन्दुओं P और Q के बीच की दूरी 13 इकाई है। उत्तर

उदाहरण 2) x का मान ज्ञात करें यदि बिन्दुओं (1,3) और (x, 7) के बीच की दूरी 5 इकाई है।

हल – माना दिए गए बिंदु A(1,3) और B(x, 7) हैं।

दूरी AB = 5 इकाई, यहाँ x₁ = 1, y₁ = 3, x₂ = x, y₂= 7

दूरी सूत्र द्वारा, AB = √(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²

मान रखने पर, 5 = √(x – 1)² + (7 – 3)²

5 = √(x²-2x+1) + (4)² [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]

5 = √(x²-2x+1) + 16

5 = √(x²-2x+17)

दोनों ओर वर्ग करने पर,

(5)² = {√(x²-2x+17)}²

25 = x² – 2x + 17

x² – 2x + 17 = 25

x² – 2x + 17 – 25 = 0

x² – 2x – 8 = 0

x² – 4x + 2x – 8 = 0 [गुणनखंड विधि द्वारा]

x(x – 4) + 2(x – 4) = 0

(x – 4)(x + 2) = 0

(x – 4) = 0 और (x + 2) = 0

x = 4 और x = -2

इसलिए, x के मान 4 और -2 हैं। उत्तर

उदाहरण 3) दर्शाइये कि बिंदु (-2,1), (2,4) और (5,-2) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं।

हल – माना बिंदु P (-2,1), Q (2,4) और R (5,-2) एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। हम दूरी PQ, QR और PR ज्ञात करेंगे।

दूरी सूत्र द्वारा,

PQ = √{2 – (-2)}² + (4 – 1)² = √{2+2}² + (3)² = √{4}²+9 = √(16+9) = √25 = 5

QR = √(5 – 2)² + (-2 – 4)² = √(3)² + (-6)² = √(9+36) = √45 = 6.71 (लगभग)

PR = √{5 – (-2)}² + (-2 – 1)² = √{5+2}² + (-3)² = √{7}²+9 = √(49+9) = √58 = 7.62 (लगभग)

हम जानते हैं कि त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओ का योग हमेशा तीसरी भुजा से अधिक होता है।

यहां, किन्हीं भी दो दूरियों का योग तीसरी दूरी से अधिक है, इसलिए दिए गए बिंदु एक त्रिभुज के शीर्ष हैं। उत्तर

उदाहरण 4) दर्शाइये कि बिंदु S (-2,5), T (-4,4), U (-1, -2) और V (1, -1) एक आयत के शीर्ष हैं।

हल –

यह सिद्ध करने के लिए कि यह एक आयत है हम सभी चार भुजाओं और दोनों विकर्णों की दूरीयाँ ज्ञात करेंगे और यदि सम्मुख भुजाओं की दूरीयाँ समान है और दोनों विकर्णों की दूरीयाँ समान है तो यह एक आयत होगा। तो दूरी सूत्र द्वारा,

ST = √{-4 – (-2)}² + (4 – 5)² = √{-4+2}² + (-1)² = √{-2}²+1 = √(4+1) = √5

TU = √{-1 – (-4)}² + (-2 – 4)² = √{-1+4}² + (-6)² = √{3}²+36 = √(9+36) = √45

UV = √{1 – (-1)}² + {-1 – (-2)}² = √{1+1}² + {-1+2}² = √{2}²+{1}² = √(4+1) = √5

VS = √(-2 – 1)² + {5 – (-1)}² = √(-3)² + {5+1}² = √9+{6}² = √(9+36) = √45

यहां, सम्मुख भुजाएँ समान हैं।

अब विकर्ण

SU = √{-1 – (-2)}² + (-2 – 5)² = √{-1+2}² + (-7)² = √{1}²+49 = √(1+49) = √50

TV = √{1 – (-4)}² + (-1 – 4)² = √{1+4}² + (-5)² = √{5}²+25 = √(25+25) = √50

तो विकर्ण भी बराबर हैं।

इसलिए, S, T, U और V एक आयत के शीर्ष हैं। उत्तर

उदाहरण 5) यदि बिंदु (x, y) बिंदुओं (5, -4) और (-1,6) से समान दूरी पर है, तो x और y के बीच संबंध ज्ञात कीजिए।

हल – माना बिंदु A(x, y) बिंदुओं P(5, -4) और Q(-1,6) से समान दूरी पर है।