संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण कक्षा 9वीं (Representation of Real Numbers on the Number Line Class 9th)

पिछली कक्षाओं की जानकारी के अनुसार, हम संख्या रेखा पर विभिन्न प्रकार की संख्याओं के निरूपण से परिचित हैं जैसे प्राकृत संख्याओं, पूर्ण संख्याओं, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं के निरूपण से। इस भाग में, हम अपरिमेय संख्याओं सहित संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं के निरूपण (Representation of Real Numbers on the Number Line) के बारे में सीखेंगे। हम वास्तविक संख्याओं का निरूपण तब करेंगे जब उनका दशमलव प्रसार दिया गया हो।

हम एक आवर्धन कांच (magnifying glass) के माध्यम से संख्या रेखा पर संख्याओं के निरूपण की कल्पना करते हैं। इस विधि को उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रम (process of successive magnification) के रूप में जाना जाता है।

जब दशमलव प्रसार सांत हो (When the Decimal Expansion is Terminating)

यदि किसी वास्तविक संख्या का दशमलव प्रसार सांत है तो हम उस संख्या को संख्या रेखा पर किस प्रकार निरूपित करेंगे? आइए एक उदाहरण की मदद से समझते हैं।

उदाहरण – उत्तरोत्तर आवर्धन का प्रयोग करते हुए, संख्या रेखा पर 4.267 का निरूपण दिखाइए।

हल – चरण I – सबसे पहले, हम पता करेंगे कि दी गई संख्या किन दो संख्याओं के बीच में स्थित है। दी गई संख्या 4.267 है और यह 4 और 5 के बीच स्थित है।

चरण II – उसके बाद, हम संख्या रेखा पर 4 और 5 के बीच के भाग को आवर्धन कांच की सहायता से करीब से देखेंगे। हम जानते हैं कि संख्या रेखा पर किन्हीं दो संख्याओं के बीच 10 बराबर भाग होते हैं। हमारे पास 4 और 5 के बीच 10 बराबर भाग हैं। संख्या 4 के दाईं ओर पहला चिह्न 4.1 को दर्शाता है, दूसरा 4.2 को, और इसी तरह आगे भी दर्शाता है।

चरण III – संख्या 4.267 है और हम जानते हैं कि यह 4.2 और 4.3 के बीच स्थित होगी। अब, हम 4.2 और 4.3 के बीच के भाग पर ध्यान केंद्रित करेंगे और फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 4.21 को दर्शाता है, दूसरा 4.22 को और इसी तरह आगे भी दर्शाता है। आवर्धन कांच की मदद से हम इसे साफ-साफ देख सकते हैं।

चरण IV – फिर से, संख्या 4.267, 4.26 और 4.27 के बीच स्थित होगी। 4.26 और 4.27 के बीच फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 4.261 को दर्शाता है, दूसरा 4.262 को, और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है। तो, इन उपखंडों में सातवाँ चिह्न 4.267 है और यह हमारी अभीष्ट संख्या है। आवर्धन कांच की मदद से फोकस करने पर हम इसे बड़ा और साफ देख सकते हैं।

उपरोक्त प्रक्रिया संख्या रेखा पर सांत दशमलव प्रसार वाली एक वास्तविक संख्या का निरूपण है।

जब दशमलव प्रसार असांत आवर्ती हो (When the Decimal Expansion is Non-terminating Recurring)

आइए, एक उदाहरण की सहायता से समझें, एक वास्तविक संख्या का निरूपण जब उसका दशमलव प्रसार असांत आवर्ती होता है।

उदाहरण – उत्तरोत्तर आवर्धन का प्रयोग करते हुए, संख्या रेखा पर  का दशमलव के 4 स्थानों तक निरूपण दिखाइए।

हल – हमें  को दशमलव के 4 स्थानों तक अर्थात् 3.5555 तक निरूपण दिखाना है।

चरण I – सबसे पहले, हम जानते हैं कि दी गई संख्या 3.5555 दो संख्याओं 3 और 4 के बीच स्थित है।

चरण II – उसके बाद, यदि हम आवर्धन कांच की सहायता से 3 और 4 के बीच संख्या रेखा के भाग को करीब से देखें, तो हम देखते हैं कि 3 और 4 के बीच 10 बराबर भाग हैं। संख्या 3 के दाईं ओर पहला चिह्न 3.1 को दर्शाता है, दूसरा 3.2 को और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है।

चरण III – दी गई संख्या 3.5555 है और यह 3.5 और 3.6 के बीच होगी। अब, हम 3.5 और 3.6 के बीच के भाग पर फोकस करते हैं। फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 3.51 को दर्शाता है, दूसरा 3.52 को, और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है। आवर्धन कांच की मदद से हम इसे बड़ा और साफ देख सकते हैं।

चरण IV – दोबारा, संख्या 3.5555 संख्याओं 3.55 और 3.56 के बीच स्थित होगी। 3.55 और 3.56 के बीच फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 3.551 को दर्शाता है, दूसरा 3.552 को, और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है।

चरण V – फिर से, संख्या 3.5555 संख्याओं 3.555 और 3.556 के बीच स्थित होगी। हम आवर्धन कांच की सहायता से इन संख्याओं के बीच फोकस करेंगे और हम देखते हैं कि फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 3.5551 को दर्शाता है, दूसरा 3.5552 को, और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है। पाँचवाँ चिह्न संख्या 3.5555 को दर्शाता है और यही हमारी अभीष्ट संख्या है।

उपरोक्त प्रक्रिया संख्या रेखा पर असांत आवर्ती दशमलव प्रसार वाली एक वास्तविक संख्या का निरूपण है।

जब दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती हो (When the Decimal Expansion is Non-terminating Non-recurring)

आइए, एक उदाहरण की सहायता से समझें, एक वास्तविक संख्या का निरूपण जब उसका दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती है।

उदाहरण – उत्तरोत्तर आवर्धन का प्रयोग करते हुए, संख्या रेखा पर √2 = 1.414213562373095… का दशमलव के 3 स्थानों तक, यानी 1.414 तक निरूपण दिखाइए।

हल – चरण I – हम जानते हैं कि संख्या 1.414 दो संख्याओं 1 और 2 के बीच स्थित है।

चरण II – इसके बाद, हम आवर्धन कांच की सहायता से 1 और 2 के बीच के भाग को करीब से देखते हैं। हम देख सकते हैं कि 1 और 2 के बीच 10 बराबर भाग हैं। संख्या 1 के दाईं ओर पहला चिह्न 1.1 को दर्शाता है, दूसरा 1.2 को, और इसी तरह से आगे भी दर्शाता है।

चरण III – हमारी संख्या 1.414 संख्याओं 1.4 और 1.5 के बीच स्थित होगी। हम 1.4 और 1.5 के बीच के भाग पर फोकस करते हैं और फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 1.41 को दर्शाता है, दूसरा 1.42 को, और इसी तरह आगे भी दर्शाता है।

चरण IV – दोबारा, संख्या 1.414 संख्याओं 1.41 और 1.42 के बीच स्थित होगी। 1.41 और 1.42 के बीच फिर से 10 बराबर भाग हैं। पहला चिह्न 1.411 को दर्शाता है, दूसरा 1.412 को, और इसी तरह आगे भी दर्शाता है। चौथा चिह्न 1.414 को दर्शाता है और यही हमारी अभीष्ट संख्या है।

उपरोक्त प्रक्रिया संख्या रेखा पर असांत अनावर्ती दशमलव प्रसार वाली एक वास्तविक संख्या का निरूपण है।

संख्या रेखा पर √2 और √3 का निरूपण

नोट – उपरोक्त उदाहरणों को हल करने के बाद, हम कह सकते हैं कि प्रत्येक वास्तविक संख्या को संख्या रेखा पर एक अद्वितीय बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है और संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक और केवल एक वास्तविक संख्या का निरूपण करता है।

संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं का निरूपण कक्षा 9वीं (Representation of Real Numbers on the Number Line Class 9th) अंग्रेजी में

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