निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल कक्षा 10 (Area of the Triangle in Coordinate Geometry Class 10th)

Nirdeshaank Jyaamiti Mein Tribhuj Ka Kshetraphal

परिचय

निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of the Triangle in Coordinate Geometry) ज्ञात करने से पहले, हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के अन्य सूत्र के बारे में जानते है।

हम जानते है, त्रिभुज का क्षेत्रफल यदि उसका आधार और ऊँचाई दी गई है

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½×आधार×ऊँचाई

यदि किसी त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी गई हैं तो त्रिभुज का क्षेत्रफल, हीरोन के सूत्र द्वारा

त्रिभुज का क्षेत्रफल = √s(s-a)(s-b)(s-c)

जहाँ, s = त्रिभुज का अर्द्ध परिमाप

s = (a+b+c)/2

a,b,c = त्रिभुज की तीनों भुजाएँ

सूत्र की उत्पत्ति

निर्देशांक ज्यामिति में त्रिभुज का क्षेत्रफल (Area of the Triangle in Coordinate Geometry), यदि किसी त्रिभुज के तीनों शीर्षो के निर्देशांक दिए गए हैं तो हम उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। आइए देखें कि यह कैसे संभव है।

माना PQR एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष P(x₁,y₁), Q(x₂,y₂) and R(x₃,y₃) हैं। हमने बिंदुओं Q, P और R से x-अक्ष पर क्रमशः QS, PT और RU लंब खींचे हैं।

आकृति में, हम देख सकते हैं कि तीन समलम्ब चतुर्भुज PQST, PRUT और QSUR है ।

यहाँ, ST = x₁ – x₂, TU = x₃ – x₁, SU = x₃ – x₂

QS = y₂, PT = y₁, RU = y₃

इसलिए हम लिख सकते है,

त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = (समलम्ब चतुर्भुज PQST का क्षेत्रफल + समलम्ब चतुर्भुज PRUT का क्षेत्रफल) – समलम्ब चतुर्भुज QSUR का क्षेत्रफल                  —————-(1)

हम जानते है, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल = ½⨯(समान्तर भुजाओं का योग)⨯(उनके बीच की दूरी)

अब समलम्ब चतुर्भुज PQST का क्षेत्रफल = ½⨯(QS+PT)⨯ST

= ½⨯(y₂ + y₁)⨯(x₁ – x₂)

= ½(x₁y₂ – x₂y₂ + x₁y₁ – x₂y₁)  ——————–(2)

समलम्ब चतुर्भुज PRUT का क्षेत्रफल = ½⨯(PT+RU)⨯TU

= ½⨯(y₁+y₃)⨯(x₃ – x₁)

= ½(x₃y₁ – x₁y₁ + x₃y₃ – x₁y₃)  ———————-(3)

समलम्ब चतुर्भुज QSUR का क्षेत्रफल = ½⨯(QS+RU)⨯SU

= ½⨯(y₂+y₃)⨯(x₃ – x₂)

= ½(x₃y₂ – x₂y₂ + x₃y₃ – x₂y₃)  ———————-(4)

समीकरण (1), (2), (3) और (4) से,

त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = ½(x₁y₂ – x₂y₂ + x₁y₁ – x₂y₁) + ½(x₃y₁ – x₁y₁ + x₃y₃ – x₁y₃) – ½(x₃y₂ – x₂y₂ + x₃y₃ – x₂y₃)

= ½[x₁y₂ – x₂y₂ + x₁y₁ – x₂y₁ + x₃y₁ – x₁y₁ + x₃y₃ – x₁y₃ – x₃y₂ + x₂y₂ – x₃y₃ + x₂y₃]

= ½[x₁y₂ – x₂y₁ + x₃y₁ – x₁y₃ – x₃y₂ + x₂y₃]

= ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

इस प्रकार,    त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

कुछ उदाहरण देखिए

उदाहरण 1) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें, जिसके शीर्ष (-1,1), (6, -4) और (-5, -3) हैं।

हल – यहाँ, त्रिभुज के शीर्ष (-1,1), (6, -4) और (-5, -3) हैं।

इसलिए  x₁ = -1, y₁ = 1, x₂ = 6, y₂ = -4, x₃ = -5, y₃ = -3

सूत्र से,

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½[-1{-4 – (-3)} + 6(-3 – 1) + (-5){1 – (-4)}]

= ½[-1{-4 + 3} + 6(-4) + (-5){1 + 4}]

= ½[-1{-1} + (-24) + (-5){5}]

= ½[1 – 24 – 25] = ½[1 – 49] = ½[- 48] = -24 वर्ग इकाई

चूंकि क्षेत्रफल एक धनात्मक माप है, यह नकारात्मक नहीं हो सकता। इसलिए हम केवल धनात्मक माप लेंगे ।

इसलिए, त्रिभुज का क्षेत्रफल = 24 वर्ग इकाई                 उत्तर

उदाहरण 2) त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल ज्ञात करें जो शीर्षो A (2,5), B (7,4) और C (-4,7) द्वारा बनाया गया है।

हल – यहाँ,  x₁ = 2, y₁ = 5, x₂ = 7, y₂ = 4, x₃ = -4, y₃ = 7

अब त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½[2(4 – 7) + 7(7 – 5) + (-4)(5 – 4)]

= ½[2(– 3) + 7(2) + (-4)(1)]

= ½[– 6 + 14 – 4]

= ½[4] = 2 वर्ग इकाई

इसलिए, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल = 2 वर्ग इकाई                 उत्तर

उदाहरण 3) एक त्रिभुज के शीर्ष (3,2), (0,4) और (-3,6) हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल – यहाँ,   x₁ = 3, y₁ = 2, x₂ = 0, y₂ = 4, x₃ = -3, y₃ = 6

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½[3(4 – 6) + 0(6 – 2) + (-3)(2 – 4)]

= ½[3(– 2) + 0 + (-3)(– 2)]

= ½[– 6 + 6] = ½[0] = 0 वर्ग इकाई

यहाँ, त्रिभुज का क्षेत्रफल 0 है इसका अर्थ है कि प्रश्न में दिए गए तीनों शीर्ष त्रिभुज नहीं बनाते हैं या हम कह सकते हैं कि दिए गए बिंदु संरेखी (एक ही रेखा में) हैं।            उत्तर

नोट – यदि तीन बिंदु दिए गए हैं और हमें यह जाँचना है कि वे संरेखी हैं या नहीं तो हम इसे त्रिभुज के क्षेत्रफल सूत्र की सहायता से जाँच सकते हैं। यदि किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य (0) है तो इसका मतलब है कि दिए गए तीन बिंदु आपस में संरेखी हैं और यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है (≠0) तो इसका अर्थ है कि दिए गए तीन बिंदु असंरेखी हैं।

उदाहरण 4) जांचें कि क्या तीन बिंदु (-1,2), (-2,3) और (-3,4) संरेखी हैं या नहीं।

हल – यह जांचने के लिए कि तीन बिंदु (-1,2), (-2,3) और (-3,4) संरेखी हैं या नहीं, हम त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र की सहायता से ज्ञात करेंगे कि ये तीन बिंदु त्रिभुज बनाते हैं या नहीं।

यहाँ,     x₁ = -1, y₁ = 2, x₂ = -2, y₂ = 3, x₃ = -3, y₃ = 4

त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

= ½[-1(3 – 4) + (-2)(4 – 2) + (-3)(2 – 3)]

= ½[-1(– 1) + (-2)(2) + (-3)( – 1)]

= ½[1 – 4 + 3] = ½[0] = 0

चूंकि दिए गए तीन बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य(0) है, इसलिए ये बिंदु संरेखी हैं।             उत्तर

उदाहरण 5) P का मान ज्ञात करें यदि बिंदु (2, -1), (P, -2) और (4, -3) संरेखी हैं।

हल – चूँकि बिंदु (2, -1), (P, -2) और (4, -3) संरेखी हैं, इसलिए इन बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य(0) होगा।

यहाँ,  x₁ = 2, y₁ = -1, x₂ = P, y₂ = -2, x₃ = 4, y₃ = -3  

त्रिभुज का क्षेत्रफल = 0

½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)] = 0

½[2{-2 – (-3)} + P{-3 – (-1)} + 4{-1 – (-2)}] = 0

½[2{-2 + 3} + P{-3 + 1} + 4{-1 + 2}] = 0

½[2{1} + P{-2} + 4{1}] = 0

½[2 – 2P + 4] = 0

½[6 – 2P] = 0

6 – 2P = 0

6 = 2P

6/2 = P

P = 3

इसलिए, P का मान 3 है।                उत्तर

इस पर आधारित कुछ प्रश्न

Q 1) किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र को लिखिए यदि उसके शीर्ष दिए गए हैं।

उत्तर –  त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½[x₁(y₂ – y₃) + x₂(y₃ – y₁) + x₃(y₁ – y₂)]

Q 2) हम त्रिभुज के क्षेत्रफल की सहायता से कैसे जांच सकते हैं कि तीन बिंदु संरेखी है या नहीं?

उत्तर – यदि उन तीन बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य (0) है, तो हम कह सकते हैं कि तीन बिंदु संरेखी हैं और यदि त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य नहीं है (≠0) तो तीन बिंदु असंरेखी हैं।

Q 3) संरेखी और असंरेखी बिंदु क्या हैं?

उत्तर – संरेखी बिंदु – यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं, तो उन्हें संरेखी बिंदु कहा जाता है।

असंरेखी बिंदु – यदि तीन या तीन से अधिक बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं, तो उन्हें असंरेखी बिंदु कहा जाता है।

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